2023-2024学年福建省福州八中高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省福州八中高二（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在等差数列{an}中，若a1=1，a2+a4=10，则a20=( )
A. 38B. 39C. 40D. 41
2.为抛物线y2=2px(p>0)的焦点与椭圆x29+y25=1的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为( )
A. x=−1B. x=1C. x=2D. x=−2
3.若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2−8x−6y+m=0内切，则m=( )
A. 25B. 9C. −9D. −11
4.在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+bx(a,b为常数)过点P(2,−5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则( )
A. a=−1，b=2B. a=1，b=2
C. a=−1，b=−2D. a=1，b=−2
5.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，一条渐近线为l，过点F2且与l平行的直线交双曲线C于点M，若|MF1|=3|MF2|，则双曲线C的离心率为( )
A. 2B. 3C. 5D. 3
6.已知函数f(x)=(2−x)ex−ax在(0,5)上为减函数，则a的取值范围是( )
A. (−∞,5e)B. [5e,+∞)C. (1,+∞)D. [1,+∞)
7.如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小正三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小正三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基三角形.设An是第n次挖去的小正三角形面积之和(如A1是第1次挖去的中间小正三角形面积，A2是第2次挖去的三个小正三角形面积之和)，则( )
A. A2= 364
B. An是等差数列
C. An= 316(34)n
D. 前n次挖去的所有小正三角形面积之和为 34[1−(34)n]
8.已知函数f(x)=lnxx，直线l：y=a(2x−1)，若有且仅有一个整数x0，使得点P(x0,f(x0))在直线l上方，则实数a的取值范围是( )
A. [ln2,ln3)B. (ln2,ln3]C. [ln315,ln26)D. (ln315,ln26]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知C：x2+y2−6x=0，则下述正确的是( )
A. 圆C的半径r=3B. 点(1,2 2)在圆C的内部
C. 直线l：x+ 3y+3=0与圆C相切D. 圆C′：(x+1)2+y2=4与圆C相交
10.已知数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的是( )
A. 若Sn=2n2+1，则{an}是等差数列
B. 若Sn=(12)n−1，则{an}是等比数列
C. 若{an}是等差数列，则S199=199a100
D. 若{an}是等比数列，则S99⋅S101>S1002
11.已知F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)和双曲线E：x2a02−y2b02=1(a0>0,b0>0)的公共左，右焦点，P(在第一象限)为它们的一个交点，且∠F1PF2=60°，直线PF2与双曲线交于另一点Q，若|PF2|=2|F2Q|，则下列说法正确的是( )
A. △PF1Q的周长为16a5B. 双曲线E的离心率为 133
C. 椭圆C的离心率为 135D. |PF1|=4|PF2|
12.已知a>0，b>0且ea+lnb>a+b，则下列结论一定正确的是( )
A. a>bB. ea>bC. ea+b>2D. a+lnb>0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若直线l1：2x+my+1=0与直线l2：m2x−y+12=0垂直，则实数m的值为______．
14.设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)=f′(π3)sinx+csx，则f′(5π6)= ______．
15.已知双曲线C2：y22−x2=1的上、下焦点分别为F1，F2.点P在x轴上，线段PF1交C于Q点，△PQF2的内切圆与直线QF2相切于点M，则线段MQ的长为______．
16.若数列{an}的前n项和为Sn，bn=Snn，则称数列{bn}是数列{an}的“均值数列”.已知数列{bn}是数列{an}的“均值数列”且bn=n，设数列{1 an+ an+1}的前n项和为Tn，若12(m2−m+ 3−3)b>0)的右焦点F( 3,0)，长半轴长与短半轴长的比值为2．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设B为椭圆C的上顶点，直线l：y=x+m(m≠1)与椭圆C相交于不同的两点M，N，若BM⊥BN，求直线l的方程．
21.(本小题12分)
已知数列{an}满足anan+2=12an+1(n∈N*)，a1=1．
(1)证明：数列{1an}为等差数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)若记bn为满足不等式(12)n0，f(x)单调递增；
x∈(e,+∞)，f′(x)0，
又lnxx>a(2x−1)有且仅有一个正整数解，故2是唯一的正整数解，即ln22>a(4−1)ln33≤a(6−1)⇒ln315≤a9，则点(1,2 2)在圆的外部，选项B错误；
圆心到直线x+ 3y+3=0的距离d=|3+0+3| 1+3=3，则直线与圆相切，选项C正确；
C与C′的圆心距d= (−1−3)2+02=4，由于10，b>0且ea+lnb>a+b，故A不一定成立，
取a=1，b=1e，e1+ln1e=e−1，a+b=1+1e，
满足a>0，b>0且ea+lnb>a+b，但a+lnb=1+ln1e=0，故D不一定成立；
令f(x)=ex−x，则f′(x)=ex−1，
当x>0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，
当x0且ea+lnb>a+b，
∴ea−a>b−lnb⇔ea−a>elnb−lnb⇔f(a)>f(lnb)，
当a>lnb>0，∴ea>elnb=b>e0=1，故B满足题意，
，∴ea>b，ea+b>2，
当a>0>lnb，此时0b，故C满足题意，
故选：BC．
13.【答案】0或12
【解析】解：由两条直线垂直可得2m2−m=0，解得m=0或12．
故答案为：0或12．
写出两条直线垂直的充要条件，解出m的值．
本题考查两条直线垂直的性质的应用，属于基础题．
14.【答案】1
【解析】解：因为f(x)=f′(π3)sinx+csx，所以f′(x)=f′(π3)csx−sinx，
令x=π3，则f′(π3)=f′(π3)csπ3−sinπ3，即f′(π3)=12f′(π3)− 32，
解得f′(π3)=− 3，所以f′(x)=− 3csx−sinx，
所以f′(56π)=− 3cs56π−sin56π=− 3×(− 32)−12=1．
故答案为：1．
根据题意，求导可得f′(x)，令x=π3，即可得到f′(π3)，然后代入计算，即可得到结果．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
15.【答案】 2
【解析】解：设|QM|=x，|F2M|=y，则|QN|=x，|F2H|=y，
因为|PF1|=|PF2|，∴|NF1|=|HF2|，
故x+|QF1|=y，
由双曲线的定义可知|QF2|−|QF1|=2a=2 2，即x+y−|QF1|=2a，
解得：x=a= 2．
故答案为： 2．
根据内切圆，可得切线长相等，根据双曲线定义，可列出式子即可求解．
本题主要考查双曲线的几何性质，属于基础题．
16.【答案】(−1,2)
【解析】解：由题意，可知bn=Snn=n，
即Sn=n2，n∈N*，
则当n=1时，a1=S1=1，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2−(n−1)2=2n−1，
∵当n=1时，a1=1也符合上式，
∴an=2n−1，n∈N*，
∴1 an+ an+1=1 2n−1+ 2n+1
= 2n−1− 2n+1( 2n−1+ 2n+1)( 2n−1− 2n+1)
= 2n+1− 2n−12，
∴Tn=1 a1+ a2+1 a2+ a3+…+1 an+ an+1
= 3−12+ 5− 32+…+ 2n+1− 2n−12
= 2n+1−12，
故不等式12(m2−m+ 3−3)