山东省济南市平阴县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份山东省济南市平阴县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．榫卯是古代中国建筑、家具及其它器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传奇；凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，下图是某个部件“卯”的实物图，它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
2．如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的对应周长之比是（ ）
A．B．C．D．
3．下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（ ）

A．米B．米C．米D．米
5．据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（ ）

A．B．C．D．
7．如图，在中，弦相交于点P，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
8．为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为（ ）

A．B．C．D．
9．如图，在平面直角坐标系中，点、在函数的图象上，分别以、为圆心，为半径作圆，当与轴相切、与轴相切时，连结，，则的值为（ ）
A．3B．C．4D．6
10．若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是三倍点”，在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为 ．
12．若，则的值为 ．
13．若是关于的方程的一个解，则的值是 ．
14．已知二次函数的顶点坐标为 ．
15．如图，在ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为 ．
16．如图，在反比例函数的图象上有等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 ．

三、解答题
17．计算：．
18．解方程：
19．在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动，有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，求证：．
20．贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚为起点，沿途修建、两段长度相等的观光索道，最终到达山顶处，中途设计了一段与平行的观光平台为．索道与的夹角为，与水平线夹角为，两处的水平距离为，，垂足为点．（图中所有点都在同一平面内，点在同一水平线上）

(1)求索道的长（结果精确到）；
(2)求水平距离的长（结果精确到）．
（参考数据：，，，）
21．某校举办“我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解该校九年级学生周末在家的劳动情况，随机调查了九年级1班的所有学生在家劳动时间（单位：小时），并进行了统计和整理，绘制如图所示的不完整统计图．根据图表信息回答以下问题：
(1)九年级1班的学生共有______人，补全条形统计图；
(2)已知类学生中恰好有2名女生3名男生，现从中抽取两名学生做劳动交流，请用列表或画树状图的方法，求所抽的两名学生恰好是一男一女的概率．
22．当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，它们的关系如下表：
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)该商家每天想获得2160元的利润，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？
23．如图，中，以为直径的交于点D，是的切线，且，垂足为，延长交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
24．如图，一次函数与函数为的图象交于两点．

(1)求这两个函数的解析式；
(2)根据图象，直接写出满足时x的取值范围；
(3)点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标．
25．如图①，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；
(3)如图②，当点从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作，交AC于点E，作，垂足为点D．当m为何值时，面积最大，并求出最大值．
26．问题背景：一次小组合作探究课上，小明将一个正方形和等腰按如图1所示的位置摆放（点B、C、E在同一条直线上），其中．小组同学进行了如下探究，请你帮助解答：
(1)初步探究
如图2，将等腰绕点C按顺时针方向旋转，连接，．请直接写出与的关系 ；
(2)如图3，将（1）中的正方形和等腰分别改成菱形和等腰，其中，其他条件不变，求证：；
(3)深入探究
如图4，将（1）中的正方形和等腰分别改成矩形和，其中且，其它条件不变．
①探索线段与的关系，说明理由；
②连接，若，直接写出 ．
类别
劳动时间x
A
B
C
D
E
销售单价x（元）
20
25
30
销售量y（件）
200
150
100
参考答案：
1．A
【分析】本题考查了几何体的三视图，熟练掌握俯视图是从几何体的上面观察得到的图形是解题的关键．
【详解】根据题意，得其俯视图如图所示
，
故选A．
2．B
【分析】根据相似三角形对应边的比叫相似比，周长的比等于相似比解答即可．
【详解】解：两个相似三角形对应边之比是，
两个相似三角形的相似比为，
它们的周长比为．
故选：B．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，关键是熟练掌握相似三角形对应边的比叫相似比，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
3．B
【分析】根据一次函数和反比例函数的性质，逐项分析即可得到答案．
【详解】解：A、 ，，y随x的增大而增大，不符合题意；
B、 ，，y随x的增大而减小，符合题意；
C、 ，，在每个象限内，y随x的增大而减小，不符合题意；
D、 ，，在每个象限内，y随x的增大而增大，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质，是解题的关键．
4．B
【分析】根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案.
【详解】解：小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，
，米.
，
米.
故选： B .
【点睛】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义.余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比.
5．B
【分析】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可．
【详解】设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，
根据题意得，．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
6．C
【分析】直接根据位似图形的性质即可得．
【详解】解：∵的位似比为2的位似图形是，且，
，即，
故选：C．
【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．
7．A
【分析】根据圆周角定理，可以得到的度数，再根据三角形外角的性质，可以求出的度数．
【详解】解：，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理、三角形外角的性质，解答本题的关键是求出的度数．
8．B
【分析】先画树状图，再根据概率公式计算即可．
【详解】设三部影片依次为A、B、C，根据题意，画树状图如下：

故相同的概率为．
故选B．
【点睛】本题考查了画树状图法计算概率，熟练掌握画树状图法是解题的关键．
9．C
【分析】过点分别作轴的垂线，垂足分别为，交于点，得出的横坐标为，的纵坐标为，设，，则，根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，交于点，
依题意，的横坐标为，的纵坐标为，设，
∴，
则，
又∵，，
∴
∴（负值已舍去）
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，反比例函数的性质，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
10．D
【分析】由题意可得：三倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求出．
【详解】解：由题意可得：三倍点所在的直线为，
在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在的范围内，和至少有一个交点，
令，整理得：，
则，解得，
，
∴，
∴或
当时，，即，解得，
当时，，即，解得，
综上，c的取值范围是，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数交点问题，熟练掌握相关性质是关键．
11．/
【分析】直接利用概率公式求解即可．
【详解】解：由题意，从装有10个球的不透明袋子中，随机取出1个球，则它是绿球的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查求简单事件的概率，理解题意是解答的关键．
12．
【分析】本题考查比例的性质，先根据题意得到，然后代入约分是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】将代入方程中，解关于字母的一元一次方程即可解题．
【详解】将代入方程中得，
，
解得：，
故答案为：3．
【点睛】本题考查一元二次方程的解、解一元一次方程等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
14．
【分析】二次函数的顶点坐标是，根据抛物线的顶点式解答．
【详解】解：二次函数的顶点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是关键．
15．
【分析】先求解 再利用线段的和差可得答案．
【详解】解：由题意可得：

同理：

故答案为：
【点睛】本题考查的是锐角的正切的应用，二次根式的减法运算，掌握“利用锐角的正切求解三角形的边长”是解本题的关键．
16．
【分析】求出…的纵坐标，从而可计算出…的高，进而求出…，从而得出的值．
【详解】当时，的纵坐标为8，
当时，的纵坐标为4，
当时，的纵坐标为，
当时，的纵坐标为，
当时，的纵坐标为，
…
则；
；
；
；
…
；
，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合应用，解题的关键是求出．
17．
【分析】根据零指数幂、算术平方根的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的意义，计算即可．
【详解】解：原式，
，
．
【点睛】本题考查了零指数幂、算术平方根的定义、特殊角的三角函数值、绝对值的意义．本题的关键是注意各部分的运算法则，细心计算．
18．x1=4，x2=-1
【分析】运用因式分解法可得．
【详解】解：

∴x-4=0或x+1=0
∴x1=4，x2=-1
【点睛】考核知识点：解一元二次方程．运用因式分解法解方程是关键．
19．见解析
【分析】本题考查的是相似三角形的判定，矩形的性质及翻折变换，先根据图形翻折变换的性质得出，故可得出，再由可得出，据此可得出结论．
【详解】证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
由折叠的性质可知，
∴
∴，
∴．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据的余玄直接求解即可得到答案；
（2）根据、两段长度相等及与水平线夹角为求出C到的距离即可得到答案；
【详解】（1）解：∵两处的水平距离为，索道与的夹角为，
∴；
（2）解：∵、两段长度相等，与水平线夹角为，
∴，，
∴；

【点睛】本题考查解直角三角形解决实际应用题，解题的关键是熟练掌握几种三角函数．
21．(1)50；图见解析
(2)
【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，利用画树状图或列表法求解随机事件的概率，掌握以上基础知识是解本题的关键；
（1）由C等级的人数除以其百分比可得总人数，再求解B，D等级的人数，再补充条形图即可；
（2）先画树状图，得到所有等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可．
【详解】（1）解：总人数为：（人），
∴B等级的人数为：（人）．
D等级的人数为：（人），
补全条形统计图如下：
．
（2）列树状图如下：
由图可知，一共有20中等可能的情况，其中恰为一男一女的情况有12种，
∴所抽的两名学生恰好是一男一女的概率是．
22．(1)y与x之间的函数关系式为：
(2)应将销售单价定为22元
【分析】（1）由于每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，将值代入函数关系式，即可求出答案．
（2）由题意将利润用含的式子表示出来，求出的值，再从中选取最小值即可．
【详解】（1）解：设商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，
根据题意可得：，
解得：，
故y与x之间的函数关系式为：；
（2）解：根据题意可得：，
整理得：，
，
解得：（不合题意，舍去），，
答：应将销售单价定为22元．
【点睛】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，正确列出等量关系是解题的关键．
23．(1)见解析
(2)12
【分析】本题考查了切线的定义，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确画出辅助线是解题的关键．
（1）连接，根据切线的定义得出，则，得出，再根据，得出，则，即可求证；
（2）连接，通过证明，得出，即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵是圆的直径，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
24．(1)，
(2)
(3)点P的坐标为或
【分析】（1）将代入可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将和点B坐标代入即可求出一次函数解析式；
（2）直线在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求；
（3）设点P的横坐标为，代入一次函数解析式求出纵坐标，将代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出，再根据面积为3列方程求解即可．
【详解】（1）解：将代入，可得，
解得，
反比例函数解析式为；
在图象上，
，
，
将，代入，得：
，
解得，
一次函数解析式为；
（2）解：，理由如下：
由（1）可知，
当时，，
此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为，
即满足时，x的取值范围为；
（3）解：设点P的横坐标为，
将代入，可得，
．
将代入，可得，
．
，
，
整理得，
解得，，
当时，，
当时，，
点P的坐标为或．
【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题，考查求一次函数解析式、反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合思想．
25．(1)
(2)点Q坐标，或或；
(3)时，有最大值，最大值为．
【分析】（1）将，代入，待定系数法确定函数解析式；
（2）由二次函数，求得点，设点，点，分类讨论：当为边，为对角线时，当为边，为对角线时，运用平行四边形对角线互相平分性质，构建方程求解；
（3）如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F，
可证，；运用待定系数法求直线解析式，直线 解析式；设点，，则，，，，运用解直角三角形，中，，，中，，可得，，；中，，可得，，，，于是，从而确定时，最大值为．
【详解】（1）将，代入，得
，解得
∴抛物线解析式为：
（2）二次函数，当时，
∴点
设点，点，
当为边，为对角线时，
∵四边形为平行四边形，
∴，互相平分
∴解得，（舍去）或
点Q坐标；
当为边，为对角线时，
同理得，
解得，或，
∴
∴点Q坐标或
综上，点Q坐标，或或；
（3）如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F，
∵，
∴
∴
∵
∴，同理可得
设直线的解析式为：
则，解得
∴直线：
同理由点，，可求得直线 ：
设点，，
则，，，
中，，
∴，
中，
∴，解得，
∴
∵
∴；
中，
∴，解得，
∴
∵
∴
∴，
即．
∵
∴时，，有最大值，最大值为．
【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，平行四边形的性质，一元二次方程求解，解直角三角形，结合动点运动情况，分类讨论是解题的关键．
26．(1)，
(2)见解析
(3)①；②500
【分析】（1）先证明，得出，进而证明；
（2）由得出，再由菱形得出，又，可证明，即可得出；
（3）①由得，又，得，即可得出与的关系；
②利用相似三角形的性质求出的长度及，进而得出，再利用勾股定理及等量代换得出，即可求出的值．
【详解】（1）解：如图2，与交于点M，与交于点N，
∵四边形是正方形，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）解：如图3，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：①如图4，，
理由：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图5，连接，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：500．
【点睛】本题考查了相似图形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理并会灵活应用是解决问题的关键．