广东省中山市第一中学2024届高三第二次调研数学试题（学生及教师版）

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命题人：李虎 郝友 审核人： 李文东
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数，（），若为纯虚数，则的值为（ ）
A. 2B. 1C. 0D.
2. 已知正方形边长为4，为边的中点，为边上一点，若，则=
A. 5B. 3C. D.
3. 已知集合，集合，则（ ）
A. B.
C D.
4. 已知，，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知等比数列的公比为，为其前n项和，且，则当取得最大值时，对应的为（ ）
A. B. C. D.
6. 教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应不超过.经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（参考数据：）（ ）
A. 11分钟B. 13分钟C. 15分钟D. 17分钟
7. 在四面体PABC中，AP，AB，AC两两垂直，，若四面体PABC内切球的半径不小于，则AC的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知圆D是以圆上任意一点为圆心，半径为1的圆，圆与圆D交于A，B两点，则当最大时，的面积为（ ）
A. 2B. C. D. 1
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 轴截面为等腰直角三角形的圆锥，其侧面展开图的圆心角的弧度数为
B. 若，则
C. 已知为锐角，，角的终边上有一点，则
D. 在范围内，与角终边相同的角是和
10. 在某班中，男生占，女生占，在男生中喜欢体育锻炼的学生占，在女生中喜欢体育锻炼的学生占，从这个班的学生中任意抽取一人.则下列结论正确的是（ ）
A. 抽到的学生是男生且喜欢体育锻炼的概率为
B. 抽到的学生喜欢体育锻炼的概率为
C. 若抽到的学生喜欢体育锻炼，则该学生是男生的概率为
D. 若抽到的学生喜欢体育段炼，则该学生是女生的概率为
11. 斜圆锥顾名思义是轴线与底面不垂直类似圆锥的锥体．如图，斜圆锥的底面是半径为2的圆，为直径，是圆周上一点，且满足．斜圆锥的顶点满足与底面垂直，是中点，是线段上任意一点．下列结论正确的是（ ）
A. 存在点，使得
B. 在劣弧上存在一点，使得
C. 当时，平面
D. 三棱锥体积最大值为
12. 已知函数，下列说法中正确的有（ ）
A. 函数的极大值为
B. 函数在点处切线方程为
C.
D. 若曲线与曲线无交点，则的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若的二项展开式的第7项为常数项，则__________.
14. 已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，则an＝________；
15. 若正四棱台的上、下底边长分别为2、4，侧面积为，则该棱台体积为__________.
16. 已知函数，若函数f（x）在区间，各恰有一极值点，求实数a的取值范围为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知各项均为正数的等比数列的首项.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列的前项和，证明：.
18. 在中，角的对边分别为，
（1）求；
（2）设边的中线，且，求的面积．
19. 已知和均是等腰直角三角形，既是的斜边又是的直角边，且，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点.

（1）求证：.
（2）在线段上是否存在点，使得与平面所成的角的正弦值为.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
20. 杭州亚运会吉祥物为一组名为“江南忆”的三个吉祥物“宸宸”，“琮琮”，“莲莲”，聚焦共同的文化基因，蕴含独特的城市元素．本次亚运会极大地鼓舞了中国人民参与运动的热情．某体能训练营为了激励参训队员，在训练之余组织了一个“玩骰子赢礼品”的活动，他们来到一处训练场地，恰有20步台阶，现有一枚质地均匀的骰子，游戏规则如下：掷一次骰子，出现3的倍数，则往上爬两步台阶，否则爬一步台阶，再重复以上步骤，当队员到达第7或第8步台阶时，游戏结束．规定：到达第7步台阶，认定失败；到达第8步台阶可赢得一组吉祥物．假设平地记为第0步台阶．记队员到达第步台阶的概率为（），记．
（1）投掷4次后，队员站在的台阶数为第阶，求的分布列；
（2）①求证：数列（）是等比数列；
②求队员赢得吉祥物的概率．
21. 已知椭圆方程为（），离心率为且过点.
（1）求椭圆方程；
（2）动点在椭圆上，过原点的直线交椭圆于A，两点，证明：直线、的斜率乘积为定值；
（3）过左焦点的直线交椭圆于，两点，是否存在实数，使恒成立？若存在，求此时的最小值；若不存在，请说明理由.
22. 已知函数，其中是自然对数的底数．
（1）讨论的单调性；
（2）若，设关于的不等式对恒成立时的最大值为，求的取值范围．扫码加微信，进微信交流群
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