四川省成都市武侯区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份四川省成都市武侯区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．若正比例函数的图象经过点，则k的值为（ ）
A．B．C．2D．3
2．下列四个数中，最小的数是（ ）
A．﹣πB．﹣2C．D．
3．在某校八年级举办的数学“讲题比赛”中，有9名选手进入决赛，他们的成绩各不相同，其中一名选手想知道自己能否进入前5名，除了知道自己的成绩外，他还需要了解这9名选手成绩的（ ）
A．平均数B．中位数C．方差D．极差
4．在平面直角坐标系中，画出一次函数的图象，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．若点P在第二象限内，且到x轴的距离为6，到y轴的距离为2，那么点P的坐标是（ ）
A．B．C．D．
6．下列说法是真命题的是（ ）
A．若，则点一定在第一象限内
B．作线段
C．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
D．立方根等于本身的数是0和1
7．如图，在数轴上，点O是原点，点A表示的数是2，在数轴上方以为边作长方形，以点C为圆心，的长为半径画弧，在原点右侧交该数轴于点P，则点P表示的数是（ ）
A．1B．C．D．
8．我国明代《算法统宗》书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据题意可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．比较大小： ．（选填“＞”、“=”、“＜”）
10．点关于原点的对称点的坐标是 ．
11．如图，已知，，则的度数为 ．

12．若直线与的交点的坐标为，则方程的解为 ．
13．如图，一架秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.5m，将它往前推送1.5m（水平距离BC＝1.5m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1m，秋千的绳索始终拉直，则绳索AD的长是 m．
三、解答题
14．（1）计算：；
（2）解方程组：．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为，点P关于y轴的对称点为，现将先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点．
(1)请在图中画出点，，连接，，，则点的坐标为 ，点的坐标为 ；
(2)试判断的形状，并说明理由．
16．在杭州第十九届亚运会射击比赛中，中国射击队以16金9银4铜排在射击金牌榜和奖牌榜首位，并刷新三项世界纪录．某射击队要从甲、乙两名射击运动员中挑选一人参加一项比赛，在最近的10次射击选拔赛中，他们的成绩（单位：环）如下．
甲运动员10次射击成绩如图：
乙运动员10次射击成绩如表：
分析上述数据，得到下表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空： ， ， ；
(2)若从甲、乙两名运动员中选取一名参加比赛，你认为选择谁更合适？请说明理由．
17．如图，直线l：交x轴于点，将直线l向下平移4个单位长度，得到的直线分别交x轴，y轴于点B，C．
(1)求a的值及B，C两点的坐标；
(2)点M为线段上一点，连接并延长，交直线l于点N，若是等腰三角形，求点M的坐标．
18．在四边形中，，，点E是边上一点，连接，将沿直线翻折得到，射线交边于点G．
(1)如图1，求证：；
(2)当时．
（i）如图2，若四边形的面积为24，且当点G与D重合时，，求的长；
（ⅱ）在边上取一点H，连接，使得，若的面积是的面积的2倍，求的长．
四、填空题
19．若，则代数式的值的平方根为 ．
20．如图，在平面直角坐标系中，点M，N在直线上，过点M，N分别向x轴，y轴作垂线，交两坐标轴于点A，B，C，D，若，，则k的值为 ．
21．已知关于x，y的方程组的解中的x，y的值分别为等腰直角三角形的一条直角边和斜边的长，则 ．
22．如图，在中，，平分交边于点D，．在边上取一点E，连接，将线段平移后得到线段，连接，则线段的长的最小值是 ．
23．在平面直角坐标系中，给出如下定义：对于以为底边的等腰及外一点C，若，直线中，其中一条经过点O，另一条与的腰垂直，则称点C是的“关联点”．如图，已知点，，，则点就是的“关联点”．若点是的“关联点”，则线段的长是 ．

五、解答题
24．某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量x（千克）的一次函数，现已知李明带了60千克的行李费，交了行李费5元；张华带了90千克的行李，交了行李费10元．
（1）写出y与x之间的函数表达式．
（2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？
25．如图，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点A，点B在x轴的负半轴上，且．
(1)求直线l的函数表达式；
(2)点P是直线l上一点，连接，将线段绕点B顺时针旋转得到．
（ⅰ）当点Q落在y轴上时，连接，求点P的坐标及四边形的面积；
（ⅱ）作直线，，两条直线在第一象限内相交于点C，记四边形的面积为，的面积为，若，求点Q的坐标．
26．【阅读理解】
定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
该定理可以通过以下方法进行证明．
已知：如图1，在中，点，分别是边，的中点，连接．
求证：，．
证明：建立如图2所示的平面直角坐标系，其中点与原点重合，点在轴正半轴上，则点．
设，，
点，分别是，的中点，
点的坐标为①，点的坐标为②．
点和点的③坐标相同，
轴．即．
又由点和的坐标可得的长为④．
．
请完善以上证明过程，并按照番号顺序将相应内容填写在下列横线上：
① ；② ；③ ；④ ．
【联系拓展】
如图3，在中，，是线段上的动点（点不与，重合），将射线绕点顺时针旋转得到射线，过作于点，点是线段的中点，连接．
（1）若，，，求的长；
（2）请探究线段与之间满足的数量关系．
成绩/环
6
7
8
9
10
出现次数
1
2
2
2
3
平均数
众数
方差
甲运动员10次射击成绩
a
乙运动员10次射击成绩
b
c
参考答案：
1．A
【分析】本题主要考查了正比例函数图象上的点，将点的坐标代入函数关系式，即可求出答案．
【详解】因为正比例函数的图象经过点，
所以，
解得．
故选：A．
2．D
【分析】本题主要考查了实数的大小比较，先确定各数的值，再比较得出答案．
【详解】由，，可知，
所以最小．
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义，熟知这些概念的解题的关键．9名选手的中位数是第5名的成绩，想要知道自己的成绩是否能进入前5名，只需知道自己的成绩和全部成绩的中位数即可解答．
【详解】解：由于总共有9个人，且他们的决赛成绩各不相同，第5名的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道9名学生成绩的中位数．
故选：B．
4．C
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，一次函数，当直线经过一、三象限，当直线经过二、四象限，当直线与y轴正半轴有交点，直线与y轴负半轴有交点．根据一次函数的性质进行判断即可．
【详解】解：∵中，，
∴函数图象经过一、三、四象限，且与x轴的交点坐标为，与y轴的交点为．
故选：C．
5．B
【分析】此题考查了坐标系中点坐标特点，点到对坐标轴的距离，正确掌握点到x轴的距离是点纵坐标的绝对值，到y轴的距离是点横坐标的绝对值是解题的关键．
【详解】∵点P在第二象限内，
∴点P的横坐标为负数，纵坐标为正数，
∵点P到x轴的距离为6，到y轴的距离为2，
∴点P纵坐标为6，横坐标为，
∴点P的坐标是，
故选：B．
6．C
【分析】此题考查真命题：正确的命题是真命题，正确掌握象限内坐标特点，命题的定义，三角形外角性质，立方根的性质是解题的关键，据此依次判断即可．
【详解】A.若，则或，故点在第一象限或第三象限，故不符合题意；
B.作线段是作图，没有做出判断，不是命题，故不符合题意；
C.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，正确，是真命题，故符合题意；
D.立方根等于本身的数是0和，不是真命题，故不符合题意；
故选：C．
7．D
【分析】此题考查勾股定理，根据长方形的性质得到，由此，利用勾股定理求出长度即可．
【详解】连接，
∵长方形，，
∴，
∴，
∴，
∴点P表示的数是，
故选：D．
8．A
【分析】设竿长x尺，绳索长y尺，根据第一次用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，第二次将绳索对折去量竿，就比竿短5尺，则可得方程组．
【详解】解：由题意可得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．本题要注意前后两次绳和杆的数量关系．
9．＞
【分析】将两数分别平方进行比较即可
【详解】解：，，
∵12＞11，
∴＞．
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．两个正无理数比较，被开方数大的比被开方数小的大；一个有理数与一个开方开不尽的数比较，常通过比较它们的平方（或立方）的大小来比较或都化成带根号的数比较被开方数的大小．
10．
【分析】此题考查关于原点对称的点的坐标特征：横纵坐标都互为相反数，熟记此特点是解题的关键．
【详解】点关于原点的对称点的坐标是，
故答案为：
11．
【分析】由，可得，再由两直线平行，同旁内角互补，即可求出的度数，本题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是：熟练掌握相关定理．
【详解】，
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
，
，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查的知识点是一次函数与一元一次方程，一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练的掌握一次函数与一元一次方程，一次函数的图象和性质，由交点坐标就是该方程的解可得答案．
【详解】关于x的方程的解，即直线与的交点横坐标，
所以方程的解为，
故答案为．
13．2.5
【分析】设绳索AD的长为x m，则AB=AD=x m，AC=AD-CD=（x-0.5）m，再由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解：∵BF⊥EF，AE⊥EF，BC⊥AE，
由平行线间距离处处相等可得：CE=BF=1m，
∴CD=CE-DE=1-0.5=0.5（m），而
设绳索AD的长为x m， 则AB=AD=x m，AC=AD-CD=（x-0.5）m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
即（x-0.5）2+1.52=x2， 解得：x=2.5（m），
即绳索AD的长是2.5m，
故答案为：2.5．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理得出方程是解题的关键．
14．（1）10；（2）
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据二次根式混合运算法则进行计算即可；
（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
把①代入②得：，
整理得：，
得：，
解得：，
得：，
解得：，
∴方程组的解为：．
15．(1)图见解析；；
(2)是等腰直角三角形；理由见解析
【分析】本题主要考查了轴对称作图，平移作图，勾股定理及其逆定理，解题的关键是数形结合，熟练掌握平移和轴对称的性质．
（1）根据轴对称的性质和平移特点作出点，，然后再连接，，，写出点，的坐标即可；
（2）根据勾股定理和逆定理进行解答即可．
【详解】（1）解：如图，点，即为所求作的点，，．
故答案为：；．
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
∵，，
又∵，
∴是等腰直角三角形．
16．(1)9；；10
(2)选择甲更合适；理由见解析
【分析】本题主要考查了平均数、众数的定义，解题的关键是熟练掌握定义．
（1）根据平均数、众数的定义进行求解即可；
（2）根据平均数、众数和方差进行解答即可．
【详解】（1）解：平均数为：，
甲运动员10次射击成绩出现次数最多的是9环，乙运动员10次射击成绩出现次数最多的是10环，
∴甲运动员的射击成绩的众数是，乙运动员的射击成绩的众数是．
故答案为：9；；10．
（2）解：从甲、乙两名运动员中选取一名参加比赛，选择甲更合适；
因为甲、乙运动员射击成绩的平均数相同，但甲成绩的方差比乙成绩的方差较小，甲的成绩比较稳定，所以选择甲更合适．
17．(1)，
(2)点M的坐标为或或
【分析】（1）将点代入，求出a的值得到直线l的解析式，及平移后的直线解析式，再求出与坐标轴交点即可；
（2）分三种情况讨论：若时，时，时，分别求出点M的坐标．
【详解】（1）将点代入，得
，
∴，
∴直线l的解析式为，
将直线l向下平移4个单位长度，得到的直线为，
当时，；当时，，
∴；
（2）当时，则，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
当时，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，则，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴
综上，点M的坐标为或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，直线与坐标轴的交点，等腰三角形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用等，分类讨论是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)（i）；（ⅱ） 或
【分析】（1）根据折叠得出，根据平行线的性质得出，证明，根据等腰三角形的判定得出；
（2）（i）根据四边形的面积为24得出，求出，设，则，，根据勾股定理得出，即，求出即可得出答案．
（ⅱ）证明，得出，根据的面积是的面积的2倍，，，得出，设，则，分两种情况：当点H在点E的左侧时，当点H在点E的右侧时，画出图形，求出结果即可．
【详解】（1）证明：根据折叠可知，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：（i）∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
设，则，
∴，
根据折叠可知，，，
∴，
在中，根据勾股定理得：
，
即，
解得：，
∴．
（ⅱ）根据题意得：，，，
由（1）得：，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵的面积是的面积的2倍，，，
∴，
设，则，
当点H在点E的左侧时，如图所示：
∴，
∴，
根据折叠可知，，
∴，
∵，
∴，
解得：，负值舍去，
∴；
当点H在点E的右侧时，如图所示：
∴，
∴，
根据折叠可知，，
∴，
∵，
∴，
解得：，负值舍去，
∴；
综上分析可知，当的面积是的面积的2倍时，或．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意分类讨论．
19．
【分析】利用完全平方公式分解，代入x的值计算得到的值，再根据平方根定义求出答案．
【详解】∵
∴，
∴代数式的值的平方根为，
故答案为．
20．
【分析】本题主要考查了求一次函数解析，解题的关键是熟练掌握一次函数性质，设点M的坐标为，则点N的坐标为，把M，N的坐标代替直线，求出k的值即可．
【详解】解：设点M的坐标为，则点N的坐标为，
∵点M，N在直线上，
∴，
得：，
故答案为：．
21．/
【分析】本题考查勾股定理、解二元一次方程组等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．求出方程组的解，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】解：由，
解得 ，
∵，
∴n为直角边长，为斜边长，
由题意：，
解得：，或（舍去）
故答案为：．
22．
【分析】如图，过点D作于点M，于点N，过点A作于点G，过点F作于点T，连接，求出的值，可得结论．
【详解】如图，过点D作于点M，于点N，过点A作于点G，过点F作于点T，连接，
∵平分，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴的最小值为，
故答案为
【点睛】本题考查平移性质，角平分线的性质定理，勾股定理，直角三角形30度角的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用垂线段最短解决最值问题．
23．/
【分析】此题考查了勾股定理，过点Q作轴于点A，利用勾股定理求出，利用面积法求出的长，勾股定理求出，得到，再根据勾股定理求出线段的长．
【详解】如图，过点Q作轴于点A，

∵是的“关联点”， ，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为．
24．（1）行李费y（元）关于行李质量x（千克）的一次函数关系式为；y=x-5；（2）旅客最多可免费携带30千克的行李．
【分析】（1）首先设行李费y（元）关于行李质量x（千克）的一次函数关系式为y=kx+b．
根据李明带了60千克的行李费，交了行李费5元；张华带了90千克的行李，交了行李费10元，代入联立成方程组，解得k、b的值．
（2）根据（1）中的函数表达式，要想让旅客免费携带行李，即满足y≤0，求得x的最大值．
【详解】（1）设行李费y（元）关于行李质量x（千克）的一次函数关系式为y=kx+b
由题意得，解得k=，b=-5
∴该一次函数关系式为y=x-5
（2）∵x-5≤0，
解得：x≤30
∴旅客最多可免费携带30千克的行李．
【点睛】考点：一次函数的应用．
25．(1)
(2)（i）点P的坐标为，四边形的面积是18；（ii）
【分析】（1）根据，得到点A的坐标，代入直线解析式即可得到直线l的函数表达式；
（2）（i）设，过P作轴于点D，证明，根据全等三角形的性质可得P、Q的坐标，即可求解；
（ii）设，过C作轴于点F，过P作轴于点D，过点Q作轴于点E，证明，根据全等三角形的性质可得Q的坐标，可得，则，可得，利用待定系数法求出直线的解析式，则，再利用待定系数法求出直线的解析式，联立解析式得出，由此得到点Q的坐标．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
将点代入，
得，
∴，
∴直线l的函数表达式；
（2）（ⅰ）设，过P作轴于点D，
∵，
∴B点的坐标为，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴点P的坐标为，点Q的坐标为，
∴；
（ⅱ）设，过C作轴于点F，过P作轴于点D，过点Q作轴于点E，
同理得，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，得，
∴，
∴，
∴点Q的坐标为
【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了全等三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式等知识，解题的关键是正确作辅助线构造全等三角形解决问题．
26．[阅读理解] ①；②；③纵；④；[联系拓展]（1）见解析；（2）
【分析】本题考查了几何图形的变换，三角形全等的判定和性质，三角形的中位线，中点坐标公式，关键是构造三角形的中位线．
[阅读理解]
点，分别是，的中点，根据中点坐标公式可求中点坐标，完成填空．
[联系拓展]
（1）连结，是等边三角形，证明，，三点共线，是的中位线，可求的长是的一半．
（2）在射线上截取，连结，．是的中位线，，再证，，可得与的关系．
【详解】解：[阅读理解]
①是的中点，，，
．
②，，是的中点，
．
③点和点的纵坐标相同．
④．
故答案为：①；②；③纵；④．
[联系拓展]
（1）是的中点，，
，
，
，
．
，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，三点在同一直线上，为的中点．
为的中点，
是的中位线，
．
，
，
．
（2）在射线上截取，连结，．
，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，，
，
．
，
，
，
，
，，
．
，
．