福建省泉州市泉港区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份福建省泉州市泉港区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．
3．用配方法解方程时，配方后正确的方程是（ ）
A．B．C．D．
4．以2和为根的一元二次方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，分别在正方形边上取点，并以的长分别作正方形．已知．设正方形的边长为，阴影部分的面积为，则与满足的函数关系是（ ）

A．一次函数关系B．二次函数关系C．正比例函数关系D．反比例函数关系
6．小明利用中国古代“计里画方”（比例缩放和直角坐标网格体系）的方法测量涂岭镇下炉村的下炉石佛（泉港景点打卡：玉笏朝天）的高度．如图所示，“玉笏朝天”的高度记为，“玉笏朝天”在照板“内芯”上的高度记为，小明的眼睛点与在同一水平线上，则下列结论中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．中国对联，文辞精炼，既是一种生动的艺术表现形式，又是一种我国优秀的文化遗产，一直为广大人民群众所喜爱、欣赏．若将回文联的上联“处处飞花飞处处”中的每一字分别写在一张卡片上，并从这些卡片中随机抽出一张卡片，则抽到“处”的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，，则的长为（ ）
A．B．5C．6D．15
9．如图，在半中，尺规作图的作法如下：①分别以弦的端点为圆心，适当的等长为半径作弧，两弧相交于点；②连结交于点，并延长交半于点．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．当时，函数与的图象有且只有一个交点，其中为常数．则的取值为（ ）
A．或B．C．D．
二、填空题
11．在实数中，最小的实数是 ．
12．从一个装有红、白、黄三种色球的袋中任取出球，已知取出白球与黄球的概率都是，则取出红球的概率为 ．
13．如图，与的位似中心是点，相似比为，则 ．
14．若与是关于的方程的两根，则 ．
15．如图，是的外接圆．若，则 度．

16．如图，抛物线交轴正半轴于点，交轴于点，线段轴交抛物线于点，则的面积是 ．
三、解答题
17．计算：．
18．如图，线段与相交于点．求证：．
19．近年来，我国高度重视芯片产业的发展，在技术创新的推动下，芯片产业实现了快速发展．某企业2021年芯片产量为1.5亿颗，2023年芯片产量达到3.84亿颗．试求该企业这两年芯片产量的年平均增长率．
20．古塔，是中国千年文明史的载体之一，为城市山林增光添彩．如图，为测量一座古塔的高度，一架遥控无人机飞到点处测得到古塔顶部的仰角为，到其底部处的俯角为，到处的距离为．试求出该古塔的高度．（结果可保留根式）
21．某校普查了“必胜班”同学在毕业班晚会上，从歌舞类节目、语言类节目、戏曲类节目、其他类节目（包括魔术、武术、杂技等）等四种类型中选择一种观看的意愿，并根据调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，其中歌舞类节目、语言类节目、戏曲类节目、其他类节目（包括魔术、武术、杂技等）等四种类型分别用A、B、C、D表示．根据以上信息，解答下列问题：

(1)请求出这次被调查的“必胜班”的学生人数：
(2)甲、乙两人拟从A、B、C、D四种类中任选一种类型节目作为首场演出，请利用画树状图或列表的方法，试求两人恰好选中同一种类型节目的概率．
22．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若，且该方程的两个实数根的积为12，求的值．
23．如图，在菱形中，于．
(1)尺规作图：求作，使得分别切于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，设分别交于点，连接．求证：．
24．若点在四边形内部，且点到四边形的一条边的两个端点距离相等时，称点为该边的“等距点”．例如：如图1，点在四边形内部，且，则称点为边的“等距点”．

(1)如图1，四边形中，于点，求证：点是边的“等距点”．
(2)如图2，点是矩形边的“等距点”，．
①当时，请求出的值；
②设分别为，试求的最大值．
25．在平面直角坐标系中，点在过点的抛物线上．
(1)请求出的值；
(2)若满足时，都有．试求的取值范围；
(3)当时，点恰好在该抛物线上．请求的取值范围．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查代数式混合运算，涉及同底数幂的除法运算、整式加法运算、幂的乘方运算和二次根式性质等知识，根据相关运算法则逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、根据同底数幂的除法运算法则，，计算错误，不符合题意；
B、由于不是同类项，不能合并，故计算错误，不符合题意；
C、根据幂的乘方运算法则，，计算错误，不符合题意；
D、根据二次根式性质，计算正确，符合题意；
故选：D．
2．A
【分析】本题考查无理数估算，涉及无理数性质，根据，即可得到答案，熟练掌握无理数的估算方法是解决问题的关键．
【详解】解：，
，
故选：A．
3．B
【分析】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．方程左右两边都加上4，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．
【详解】解：，
∴，
，
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系可得出，，取找出b、c的值，由此即可得出以2、为根的一元二次方程，理解根与系数的关系是解决问题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程的根为2和
则，，
∴当时，，，
∴该一元二次方程可以为．
故选：C．
5．A
【分析】本题考查函数关系的识别，完全平方公式，列函数关系式，根据题意表示出、的长度，再结合阴影部分的面积等于以的长的正方形的面积之差可得，理解题意，列出函数关系式是解决问题的关键．
【详解】解：由题意可得：，，
则阴影部分的面积为，
即：，为一次函数，
故选：A．
6．B
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．根据题意可得：，从而可得，然后证明A字模型相似，从而利用相似三角形的性质即可解答．
【详解】解：由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴A，C，D不正确，B正确，
故选：B．
7．D
【分析】本题主要考查了概率公式，正确记忆概率所求情况数与总情况数之比是解题关键．
【详解】解：“处处飞花飞处处”中“处”有4个，
∴抽到“处”的概率为，
故答案为：D．
8．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，解题的关键是熟悉相似三角形的性质．根据相似三角形的判定及性质即可求．
【详解】解：∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴即，
∴．
故选：C．
9．C
【分析】本题考查了垂经定理，勾股定理，锐角三角函数等，根据作图过程可知垂直平分，用勾股定理解求出，再根据余弦函数的定义即可求解．
【详解】解：由题意知，
，
由作图过程可知垂直平分，
在中，由勾股定理得，
，
故选C．
10．A
【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数性质是解题的关键．
利用直线与（，n为常数）的图象有且只有一个交点，有根的判别式求出c的值，即可求出直线的解析式；
【详解】将代入，
整理得：，
当时，函数与的图象有且只有一个交点，
有一个实数根，
即，
解得：，
把代入与中得，，
把代入与中得，，
当或时，函数与的图象有且只有一个交点，
故选：A．
11．
【分析】此题主要考查了实数的大小比较．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
根据题意可得，最小的实数为 ．
【详解】∵，，，且，
∴，
∴，
∴最小的实数是．
故答案为：．
12．/
【分析】本题考查了概率公式，用减去取出白球与黄球的概率即可求解，掌握概率公式是解题的关键．
【详解】解：∵取出白球与黄球的概率都是，
∴取出红球的概率为，
故答案为：．
13．9
【分析】本题考查位似，涉及位似性质、相似与位似关系等知识，根据位似得到，利用相似比列式求解即可得到答案，熟练掌握位似与相似的关系是解决问题的关键．
【详解】解：与的位似中心是点，
，
相似比为，
，即，解得，
故答案为：．
14．1
【分析】本题考查根与系数的关系，涉及一元二次方程根与系数的关系，根据题意得到，解方程即可得到答案，熟记一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
【详解】解：与是关于的方程的两根，
，解得，
故答案为：．
15．
【分析】此题考查圆周角定理和等腰三角形等边对等角的性质，连接，根据圆周角定理求出，再根据等腰三角形的定义求出答案，熟记圆周角定理并运用是解题的关键．
【详解】连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图像与性质、抛物线与坐标轴交点、图像上对称点坐标、三角形面积等知识，根据，得到，由二次函数图像与性质求出、，计算出的面积即可得到答案，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示，轴，
，
，则，
，
抛物线交轴正半轴于点，交轴于点，
，对称轴为直线，
轴，
，则，
，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及特殊角的三角函数、二次根式加减乘除运算，先求出特殊角的三角函数、再运用二次根式混合运算求解即可得到答案，熟练掌握二次根式混合运算法则是解决问题的关键．
【详解】解：
．
18．证明见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定，根据题中线段长度，得到比例式，再由，结合三角形相似的判定即可得到答案，熟练掌握三角形相似的判定定理是解决问题的关键．
【详解】证明：，
，
，
又，
．
19．该企业这两年芯片产量的年平均增长率为
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设该企业这两年芯片产量的年平均增长率为，根据“2021年芯片产量为1.5亿颗，2023年芯片产量达到3.84亿颗”，列出方程，即可求解．
【详解】解：设该企业这两年芯片产量的年平均增长率为，依题意得
，
，
，
（不合题意，舍去）
答：该企业这两年芯片产量的年平均增长率为．
20．该古塔的高度为米
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用－仰角俯角，熟练掌握直角三角形中锐角三角函数关系是解题关键．分别在和中利用锐角三角函数关系得出，的长，进而求出该古塔的高度．
【详解】解：过点作交于点，则，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
，
答：该古塔的高度为米．
21．(1)50人
(2)
【分析】本题考查概率综合，涉及一步概率及两步概率问题求解，熟记简单概率公式，掌握一步概率与两步概率问题解法是解决问题的关键．
（1）根据条形统计图及扇形统计图数据关联，即可得到答案；
（2）画树状图，得到全部可能结果及满足要求的事件结果，根据简单概率公式求解即可得到答案．
【详解】（1）解：，
答：被调查的“必胜班”的学生人数为50人；
（2）解：画树状图如下：

∵两人任选一种类型节目作为首场演出共有16种可能的结果，恰好选中一种类型有4种可能，
（两人恰好选中同一种类型节目），
答：恰好选中一类节目的概率为．
22．(1)见解析
(2)
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式及一元二次方程的解法是解本题的关键．
（1）表示出根的判别式，判断其值大于等于0即可得证；
（2）利用因式分解法可得，再由“该方程的两个实数根的积为12”可求得，计算即可求出m的值．
【详解】（1）证明：，
，
无论取何值时，，即，
原方程总有两个实数根；
（2）解：，即：，
，
该方程的两个实数根的积为12
，
，
，
．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、圆周角定理，灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解题的关键；
（1）先作的垂直平分线，得到的中点O然后以O点为圆心，为半径作圆，则根据切线的判定方法可得到、分别切于点P、D；
（2）先利用圆周角定理得到，，再证明，在证，然后利用相似三角形的性质可得到结论．
【详解】（1）的为所求作的圆，
（2）证明：连接
，
为直径，
，
，
由作图得，是的切线，为的直径
，
，
，
又，
，
，
．
24．(1)见解析
(2)①或；②
【分析】（1）由，，可证明，可得，即可证明结论；
（2）过点作直线交于于，连结，
①结合“等距点”定义可知点在矩形边和的垂直平分线上，先证明四边形是矩形，结合其性质证明，得，设，则，列出方程即可求解；
②根据正切值的定义得，，可得，即，设，则，得，由二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：于点，
，
又，则，
，
点是边的“等距点”；
（2）过点作直线交于于，连结，
①点是矩形边的“等距点”，
，
又直线，
直线是矩形边的中垂线，
点在矩形边和的垂直平分线上，
，
矩形中，，

，
，
交于于，
，
又矩形中，，
四边形是矩形，
，
，
．，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
解得，
当时，，
当时，，
的值为或；
②于，
在中，
在中，
设，则
当时，有最大值25
有最大值
当时，的最大值是．
【点睛】本题考查矩形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，正切的定义，二次函数，解一元二次方程等知识，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
25．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，根据二次函数的基本性质进行分类讨论是解决问题的关键．
（1）点代入抛物线解析式即可求解；
（2）根据函数解析式得抛物线开口向上，离对称轴越近，y值越大，即点比较靠近对称轴，得，即可解答；
（3）根据、的坐标可得抛物线的对称轴为，可知点在对称轴左侧，在对称轴右侧，关于对称轴直线的对称点为，根据求得，再分当都在对称轴左侧时，当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，两种情况分别讨论即可求解．
【详解】（1）解：将代入得：
解得，，
；
（2）抛物线的对称轴，
，
，
抛物线的开口向上，，
点比较靠近对称轴，
又，
的中点在对称轴的右侧，，
，
，
又，
；
（3）抛物线的对称轴，
都在该抛物线上，
抛物线的对称轴为，
，
，
，解得，
，
在对称轴左侧，在对称轴右侧，
关于对称轴直线的对称点为，
，
，
解得，
①当都在对称轴左侧时，
随的增大而减小，且，
，
解得，
，
②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，
，
比到对称轴直线的距离大，
，
解得：，
又，
满足的条件是，
综上所述，或．