2021-2022学年浙江省杭州市上城区开元中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年浙江省杭州市上城区开元中学八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列垃圾分类的标志中是中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

2. 若式子有意义，则的值可以为

A.  B.  C.  D.

3. 在▱中，，则的度数是

A.  B.  C.  D.

4. 下列各式中错误的是

A.  B.  C.  D.

5. 如果一个多边形的内角和等于它的外角和的倍，则这个多边形是

A. 三角形 B. 四边形 C. 六边形 D. 八边形

6. 用反证法证明命题“三角形中，至少有一个内角大于或等于”时，首先应该假设这个三角形中

A. 有一个内角小于 B. 有一个内角大于
C. 每一个内角都小于 D. 每一个内角都大于

7. 某校坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少，据统计，今年的近视学生人数是前年近视学生人数的设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为，则

A.  B.
C.  D.

8. 如图，四边形是菱形，点、分别在边、上，且，，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

9. 对于一元二次方程，下列说法：若，则；若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；若是方程的一个很，则一定有成立；若是一元二次方程的根，则其中正确的

A.  B.  C.  D.

10. 如图，▱的对角线，交于点，平分，交于点，且，，连接，下列结论：；；；，其中成立的个数为

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二．填空题（本题共6小题，共24分）

11. 计算 ______．
12. 已知一元二次方程的一个根是，则______．
13. 如果一个三角形的三边长都是一元二次方程的根，那么这个三角形的面积等于______．
14. 已知是平行四边形两条对府线的交点，，，，则的周长为______．
15. 如图，在平行四边形中，平分，，连接，是的中点，连接，若，则          ．
     

16. 如图，将矩形纸片的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙、无重叠的四边形若，，则 ______ ．
    
    
     

三．解答题（本题共7小题，共66分）

17. 解方程：
    ；
    ．
18. 计算：
    ：
    ．
19. 某水果店老板进行杨梅销售，已知杨梅进价为元千克，若售价为元千克，则每天可售出千克：若售价为元千克，则每天可售出千克．每天销售量千克与售价元千克之间存在一次函数关系．
    求出关于的一次函数关系式；
    若杨梅售价不得高于元千克，该店主销售杨梅每天要获得元的毛利润，则销售单价应定为多少元千克？毛利润销售额进货成本
20. 如图，▱的对角线，交于点，点，分别是，的中点．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，，，求四边形的周长．
21. 如图，在正方形中．点起对能线上一点．过点作于点交边，于点，连结，．
    求证：；
    若正方形的边长为，当与的面积相等时，求的长．
     

22. 请阅读下列材料：
    我们可以通过以下方法求代数式的最小值．
    ，
    
    当时，有最小值．
    请根据上述方法，解答下列问题：
    Ⅰ，则的值是______；
    Ⅱ求证：无论取何值，代数式的值都是正数；
    Ⅲ若代数式的最小值为，求的值．
23. 如图，在菱形中，于点．
    若，，求菱形的周长；
    连结交于点；
    若，求证：．
    设四边形和的面积分别是和，若，，求线段的长．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此可得结论．
本题主要考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解题关键．
 

2.【答案】

【解析】解：根据题意知，
解得，
所以的值可以为．
故选：．
先根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
故选：．
由平行四边形的性质可得，由平行线的性质可求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：、，无法合并，原题计算错误，符合题意；
B、，原题计算正确，不合题意；
C、，原题计算正确，不合题意；
D、，原题计算正确，不合题意；
故选：．
直接利用二次根式的混合运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

5.【答案】

【解析】解：设多边形的边数为，依题意，得
，
解得，
故选：．
边形的内角和可以表示成，外角和为，根据题意列方程求解．
本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．
 

6.【答案】

【解析】解：用反证法证明命题“三角形中，至少有一个内角大于或等于”时，首先应该假设这个三角形中每一个内角都小于，
故选：．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

7.【答案】

【解析】解：依题意，得：．
故选：．
根据今年的近视学生人数是前年近视学生人数的，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
在和中，
，
≌，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
由菱形的性质可得，，，由“”可证≌，可得，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求，即可求解．
本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明≌是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：若，则是方程的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：，故正确；
方程有两个不相等的实根，
，

则方程的判别式，
方程必有两个不相等的实根，
故正确；
是方程的一个根，
则，
，
若，等式仍然成立，
但不一定成立，
故不正确；
若是一元二次方程的根，
则由求根公式可得：，
，
，
故正确．
故正确的有，
故选：．
根据一元二次方程根的判别式及根的定义逐个判断排除．
本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：四边形为平行四边形，，
，，，
，，
平分，
，
且，
为等边三角形，
，
，
，
，
，故正确；
，，
，
，
，故错误；
，故正确；
，，
是的中点，
：：，
：：，
：：，
：：，
，故正确．
故选：．
结合平行四边形的性质可证明为等边三角形，由可判定，证明，可判定；由平行四边形的面积公式可判定；利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判定．
本题主要考查平行线的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，灵活运用三角形的面积解决问题是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：原式．
故答案是．
直接计算即可．
本题考查了二次根式的乘方．掌握乘方的含义是关键．
 

12.【答案】

【解析】解：关于的一元二次方程的一个根是，
把代入得：，
，
，
故答案为：．
把代入得出方程，求出方程的解即可．
本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，关键是能根据题意得出一个关于的方程．
 

13.【答案】

【解析】解：解方程，得．
一个三角形的单边均满足方程，
该三角形是以为边长的等边三角形，
该三角形的面积为：．
故答案是：．
通过解方程求得该三角形为等边三角形，利用三角形的面积公式解答即可．
本题主要考查了一元二次方程的解的定义和三角形的面积，解题时注意不要解错方程并且熟练掌握等边三角形求面积的方法即可．
 

14.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
的周长．
故答案为：．
由平行四边形的性质：对角线互相平分可求出，的长，再由的长可知即可求出的周长．
本题主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分．
 

15.【答案】

【解析】解：在平行四边形中，，
．
平分，
，
，
．
，
．
是的中点，
是的中位线，
，
，
．
故答案为．

根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解，即可得，利用等腰三角形的性质可得，进而可得是的中位线，根据三角形的中位线的性质可求解．
本题主要考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，证明是的中位线是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：，，
，
同理可得：，
四边形为矩形．
，，
．
故答案为：．
利用三个角是直角的四边形是矩形易证四边形为矩形，那么由折叠可得的长即为边的长．
主要考查学生对翻转、折叠矩形、三角形等知识的掌握情况．错误的主要原因是空间观念以及转化的能力不强，缺乏简单的逻辑推理能力．
 

17.【答案】解：，
，
，
或，
所以，；
，
，
，
或，
所以，．

【解析】先移项把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；
先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 

18.【答案】解：

；


．

【解析】先化简，再算加减即可；
先进行化简，二次根式的乘法，再算加减即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

19.【答案】解：设与的函数关系式为：，
把，代入得：
，
解得：，
与的函数关系式为：；
设每天获利元，

，
当时，有，
解得舍或，
答：销售单价应定为元千克．

【解析】直接利用待定系数法求出一次函数解析式，进而得出答案；
先表示出每天的获利，进而根据题意列出二次函数解析式，再由函数值求得自变量的值．
此题主要考查了列函数解析式以及一次函数应用，正确掌握待定系数法和正确列出函数解析式是解题的关键．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，，
点，分别是，的中点，
，分别是和的中位线，
，，
，，
四边形是平行四边形；
解：，，
，，
，
，
，
，
四边形的周长．

【解析】根据平行四边形的性质得到，，，，根据三角形中位线的性质得到，，根据平行四边形的判定可证得结论；
由勾股定理求得，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到，进而可求得结论．
本题主要考查了平行四边形的性质和判定，三角形中位线的性质，直角三角形斜边的中线的性质，勾股定理，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到是解决问题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形为正方形，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：设，，，，
与的面积相等，
，
整理得，解得，舍去，
．

【解析】利用正方形的性质得到，再证明≌得到，然后根据线段垂直平分线的性质得到结论；
设，根据等腰直角三角形的性质得到，，利用三角形面积公式得到，然后解方程即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，关键在于证明三角形全等．
 

22.【答案】解：Ⅰ；
Ⅱ证明：

．
，
的最小值是，
无论取何值，代数式的值都是正数；
Ⅲ

．
，
的最小值是，
，
解得．

【解析】

【分析】
本题考查了配方法的应用和非负数的性质．配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为 ，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． Ⅰ 根据配方的过程求得 、 的值代入求值即可；
Ⅱ 先利用完全平方公式配方，再根据偶次方非负数的性质列式求解；
Ⅲ 先利用完全平方公式配方，再根据偶次方非负数的性质列式求解．
【解答】
解： Ⅰ


，
， ，
．
故答案是 ；
Ⅱ 见答案；
Ⅲ 见答案．   

23.【答案】解：，
，
四边形是菱形，
，
在中，，
，解得：负值舍去，
，
菱形的周长是；

证明：连接，连接交于点，

四边形是菱形，
平分，，，
，
，
，
，，
平分，
平分，
，
，，
在与中，

≌，
；

连接，连接交于点，

四边形是菱形，
，，平分，，
，
，
≌，
，，
四边形和的面积分别是和，，
，
，
，
，
，

设，则，

在中，，

即，

解得：，即，

在中，．

【解析】由得，根据菱形的性质可得，在中，根据勾股定理求出，即可得菱形的周长；
连接，连接交于点，根据菱形的性质可得平分，，，可得，由得，可得平分，根据三角形角平分线的性质可得平分，利用可证≌，由全等三角形的性质即可得出结论；
接，连接交于点，先证明，则，，由可得，可得出，根据勾股定理求出，得到，设，在中，利用勾股定理列出方程，求出值，得到，根据勾股定理求出的长．
本题考查四边形综合题，考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的角平分线的性质、勾股定理、三角形面积，锐角三角函数等知识；熟练掌握菱形的性质，学会添加常用辅助线，证明三角形全等是解题的关键．