人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆精品一课一练

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题型一：利用均值不等式求最值
题型二：利用焦半径范围求最值
题型三：椭圆上一点到定点距离最值问题
题型四：椭圆上一点到直线距离最值问题
题型五：椭圆有关向量积最值问题
题型六：声东击西，利用椭圆定义求最值
典型例题
题型一：利用均值不等式求最值
【例1】已知，是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为（ ）．
A．13B．12C．25D．16
【答案】C
【解析】
【分析】
根据椭圆定义可得，利用基本不等式可得结果.
【详解】
由椭圆方程知：；根据椭圆定义知：，
（当且仅当时取等号），
的最大值为.
故选：C.
【例2】（2022·安徽·高二阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆上的动点，，，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由椭圆的定义可得；
利用基本不等式，若 ，则，当且仅当时取等号.
【详解】
根据椭圆的定义可知，，即，
因为，，
所以，
当且仅当，时等号成立.
故选：A
【题型专练】
1.（2022·河南·辉县市第一高级中学高二期末（文））设是椭圆上一点，、是椭圆的两个焦点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
利用椭圆的定义以及基本不等式可求得的最小值.
【详解】
在椭圆中，，，，
由椭圆定义可得，，
由余弦定理可得
，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：A.
2．（2022·全国·高二课时练习）已知 P ( m ， n) 是椭圆上的一个动点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意求得的范围，及，从而可得，从而可得出答案.
【详解】解：因为P ( m ， n) 是椭圆上的一个动点，
所以，
且，则，
则，
因为，所以，
所以，
即.
故选：B.
3.（2022·全国·高三专题练习）已知点P在椭圆上，为椭圆的两个焦点，求的取值范围．
【答案】.
【分析】由椭圆的定义，可得，进而可得，然后利用二次函数的性质即得.
【详解】由题可知，，
因为，
∴时，有最大值，或时，有最小值，
即的取值范围为.
题型二：利用焦半径范围求最值
【例1】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C：（）的右焦点，点是椭圆C上的一个动点．求证：．
【答案】详见解析.
【分析】利用椭圆方程及两点间公式可得，再根据椭圆的有界性即证.
【详解】由，可得，
∴，又，
∴，
即.
【例2】（2021·山西吕梁·一模（理））已知为椭圆的左焦点，P为椭圆上一点，则的取值范围为_________．
【答案】[1,3]
【分析】设出点P的坐标，由两点间的距离公式求出，进而根据点在椭圆上将式子化简，最后求出范围.
【详解】由题意，，设，则，所以，因为，所以的范围是.
故答案为：.
【例3】（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二开学考试（文））已知椭圆，点，为椭圆上一动点，则的最大值为____.
【答案】
【分析】设点，可得出，其中，利用二次函数的基本性质可求得的最大值.
【详解】设点，则，可得，其中，
，
当且仅当时，取得最大值.
故答案为：.
【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知点是椭圆+=1上的动点（点不在坐标轴上），为椭圆的左，右焦点，为坐标原点；若是的角平分线上的一点，且丄，则丨丨的取值范围为（ ）
A．（0，）B．（0，2）
C．（l，2）D．（，2）
【答案】A
【分析】延长、相交于点，连接，利用椭圆的定义分析得出，设点，求出的取值范围，利用椭圆的方程计算得出，由此可得出结果.
【详解】如下图，延长、相交于点，连接，
因为，
因为为的角平分线，所以，，则点为的中点，
因为为的中点，所以，，
设点，由已知可得，，，
则且，且有，
，
故，
所以，.
故选：A.
【题型专练】
1.平面内有一长度为4的线段，动点P满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题可得动点在以为焦点，长轴长为6的椭圆上，
，
则可得的最小值为，最大值为，
的取值范围是.
故选：A.
2.已知动点在椭圆上，若点的坐标为，点满足，且，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】由题意知 ，所以，解得，所以为椭圆的右焦点，由题意知点是以为圆心，为半径上的圆上一动点，且所以
，因的最小值为，所以
3.已知是椭圆上的动点，且与的四个顶点不重合，，分别是椭圆的左、右焦点，若点在的平分线上，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
作出辅助线，得到，求出的取值范围，从而求出的取值范围.
【详解】
如图，直线与直线相交于点N，
由于PM是的平分线，且，即PM⊥，
所以三角形是等腰三角形，
所以，点M为中点，
因为O为的中点，
所以OM是三角形的中位线，
所以，
其中，
因为P与的四个顶点不重合，设，则，
则，
所以，又，
所以，
∴的取值范围是.
故选：D.
题型三：椭圆上一点到定点距离最值问题
【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的长轴长为，短轴长为，则椭圆上任意一点到椭圆中心的距离的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】不妨设椭圆的焦点在轴上，设点，则，且有，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】不妨设椭圆的焦点在轴上，则该椭圆的标准方程为，
设点，则，且有，
所以，.
故选：A.
【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知点是椭圆上的任意一点，过点作圆：的切线，设其中一个切点为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，得到，利用椭圆的范围求解.
【详解】解：设，
则，
，
，
因为，
所以，即，
故选：B
【例3】（2022·重庆市实验中学高二阶段练习）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】
将求最小值的问题，转化为求点到圆心距离最小值的问题，结合点满足椭圆方程，转化为二次函数求最值即可.
【详解】
不妨设点为，，则，则
设圆的圆心为，则坐标为
则的最小值，即为的最小值与圆的半径之差.
又
当时，，当且仅当时取得等号；
故.
故答案为：.
【题型专练】
1.（2021·陕西·长安一中高二期中（文））设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为________.
【答案】
【分析】根据题意，结合椭圆的几何性质，以及两点间的距离公式，即可求解.
【详解】根据题意，易知，设，则，即，
故，
因为，所以当时，.
故答案为：.
2.已知椭圆的焦点，过点引两条互相垂直的两直线、，若为椭圆上任一点，记点到、的距离分别为、，则的最大值为（ ）
A．2 B．C．D．
【答案】
【解析】由题意知 ，所以，解得，所以椭圆的方程为，设，因为，且，所以又因，所以，
所以因为，所以当时，的最大值为
3.（多选题）已知点是椭圆：上的动点，是圆：上的动点，则（ ）
A．椭圆的短轴长为1B．椭圆的离心率为
C．圆在椭圆的内部D．的最小值为
【答案】BC
【解析】
【分析】
AB.利用椭圆的方程求解判断；C.由椭圆方程和圆的方程联立，利用判别式法判断；D.利用圆心到点的距离判断.
【详解】
解：因为椭圆方程为：，
所以，故A错误，B正确；
由，得，
因为，
所以椭圆与圆无公共点，又圆心在椭圆内部，
所以圆在椭圆内部，故C正确；
设，
则，
当时，取得最小值，则的最小值为，故D错误，
故选：BC
4．（全国·高二课前预习）点、分别在圆和椭圆上，则、两点间的最大距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设点，利用二次函数的基本性质可求得点到圆心的最大距离，结合圆的几何性质可求得结果.
【详解】圆的圆心为，半径为，
设点，则且，
，当且仅当时，等号成立，
所以，.
故选：C.
5．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆的的焦点为是C上的动点，直线经过椭圆的一个焦点，的周长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求的最小值和最大值．
【答案】(1)；(2)最小值为2，最大值为4.
【分析】(1)由给定条件求出半焦距c，再由的周长列出方程再经计算即得；
(2)设出点P的坐标，求出关于的函数关系及的范围，求得函数最值即可.
【详解】(1)显然椭圆的焦点在x轴上，直线交x轴于点，于是得椭圆的焦点，即半焦距，
而的周长为，则有，解得，，
所以椭圆的标准方程为；
(2)设椭圆上的点，于是有，即，，
令坐标原点为O，则O是线段F1F2的中点，于是得，
因此，当时，，当或时，，
所以的最小值为2，最大值为4.
题型四：椭圆上一点到直线距离最值问题
两种思路：法一：设椭圆参数方程，即设椭圆上一点为，用点到直线的距离公式
法二：利用直线与椭圆相切，联立方程，利用判别式，求出切线，再求两直线间距离
【例1】（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）椭圆上的点到直线：的距离的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据椭圆的形式，运用三角代换法，结合点到直线距离公式、辅助角公式进行求解即可.
【详解】
由，设，
设点到直线：的距离，
所以有，
其中，
所以当时，有最小值，
故选：C
【例2】（2022·全国·高二专题练习）椭圆上的点到直线的距离的最大值为______.
【答案】
【分析】设与直线平行的直线与椭圆相切，然后将直线方程代入椭圆方程中，由可求出的值，再利用两平行线间的距离公式可求得结果
【详解】设与直线平行的直线与椭圆相切，
由得，
由得，，解得
设直线与直线的距离为，
当时，直线为，则，
当时，直线为，则，
因为，
所以椭圆1上的点到直线的距离的最大值为.
故答案为：
【例3】（2021·浙江·慈溪市浒山中学高二阶段练习）设点在椭圆上，点在直线上，则的最小值为___________.
【答案】12
【分析】对椭圆进行三角换元，进而代入所求式子，再利用放缩法进行化简，最后通过辅助角公式结合三角函数的性质求得答案.
【详解】由题意，设，则
，当且仅当时取“=”.
故答案为：12.
【题型专练】
1．（2022·甘肃·兰州一中高二期中（文））已知实数x，y满足方程，则的最大值为________．
【答案】
【分析】利用三角换元法，再用辅助角公式，结合三角函数的性质可求出答案.
【详解】因为，所以
令，
则，
所以的最大值为.
故答案为：
2．（2022·全国·高二专题练习）椭圆：上的点到直线的距离的最小值为_____.
【答案】
【分析】设点的坐标为，利用点到直线的距离公式及辅助角公式计算可得.
【详解】解：设点的坐标为，其中，
则点到直线的距离
，其中，
当时，等号成立．
所以取得最小值．
故答案为：
3.（2022·四川遂宁·高二期末（理））如图，设P是圆上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上的一点，且．
(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C方程；
(2)求点M到直线距离的最大值.
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）设点， 根据题意得到，代入即可求解；
（2）设平行于直线且与相切的直线，联立方程组，根据与C相切时，求得，得到的方程，结合两平行线间的距离公式，即可求解.
（1）解：设点， 由，可得，即，又因为点在圆上，代入可得，整理得，即点M的轨迹方程.
（2）解：设平行于直线且与相切的直线，联立方程组，整理得，当与C相切时，则满足，解得，即，所以的方程为或，所以点M到直线距离的最大值.
4．（2020·海南·高考真题）已知椭圆C：过点M（2，3）,点A为其左顶点，且AM的斜率为 ，
（1）求C的方程；
（2）点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
【答案】（1）；（2）18.
【分析】(1)由题意分别求得a,b的值即可确定椭圆方程；
(2)首先利用几何关系找到三角形面积最大时点N的位置，然后联立直线方程与椭圆方程，结合判别式确定点N到直线AM的距离即可求得三角形面积的最大值.
【详解】(1)由题意可知直线AM的方程为：，即.
当y=0时，解得，所以a=4，
椭圆过点M(2，3)，可得，
解得b2=12.
所以C的方程：.
(2)设与直线AM平行的直线方程为：，
如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.
联立直线方程与椭圆方程，
可得：，
化简可得：，
所以，即m2=64，解得m=±8，
与AM距离比较远的直线方程：，
直线AM方程为：，
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，
利用平行线之间的距离公式可得：，
由两点之间距离公式可得.
所以△AMN的面积的最大值：.
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
题型五：椭圆有关向量积最值问题
【例1】（2022·黑龙江·佳木斯一中高二期中）已知P为椭圆上任意一点，EF为圆任意一条直径，则的取值范围为（ ）
A．[8，12]B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可得圆心恰好是椭圆的右焦点，将化简得，由椭圆的性质可知，从而可求出的取值范围
【详解】
由，得，则，
圆的圆心恰好是椭圆的右焦点，圆的半径为2，
因为
，
因为P为椭圆上任意一点，为椭圆的右焦点，
所以，即，
所以，所以，
所以的取值范围为，
故选：C
【例2】（2022·全国·高三专题练习）已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆E上任一点，则的取值范围是____________
【答案】
【分析】求出焦点坐标，设出（），利用向量的数量积的坐标表示和椭圆方程表达出，结合的取值范围，得到的取值范围.
【详解】由，，解得：，所以，不妨令，，因为P是椭圆E上任一设点，设（），则，即，其中，因为，所以，，所以的取值范围是.
故答案为：
【例3】（2022·全国·高三专题练习）已知点满足，点A，B关于点对称且，则的最大值为（ ）
A．10B．9C．8D．2
【答案】C
【分析】利用向量的加法运算求出，根据向量数量积基底模式求出，
再用两点间的距离公式及点在椭圆上即可求解.
【详解】由椭圆定义可得点在椭圆上，因为点A，B关于点对称，所以，而，因为，
所以当时取得最大值3，所以的最大值为.
故选:C．
【题型专练】
1.（2022·山东·高三开学考试）在椭圆上有两个动点，为定点，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】由题意得，然后转化为椭圆上的点P到点的距离的问题处理，根据二次函数的最值可得所求．
【详解】解：由题意得．
设椭圆上一点，则，
，又，
当时，取得最小值．
故选：C．
2.（2022·全国·高三专题练习多选题）已知椭圆的左､右焦点为､，点为椭圆上的点不在轴上），则下列选项中正确的是（ ）
A．椭圆的长轴长为
B．椭圆的离心率
C．△的周长为
D．的取值范围为
【答案】ACD
【分析】根据椭圆的方程，求出，，，判断A，B，C的正误，对于D，设出，表示出的解析式，求出其范围，判断正误即可.
【详解】椭圆，
，
椭圆的长轴长为，故A正确，
椭圆的离心率，故B错误，
的周长为：，故C正确，
设，则，且，
故，
又，则，
故，
故的取值范围是，故D正确，
故选：ACD.
3．（2022·全国·高三专题练习）已知是椭圆的两个焦点，分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点在线段上，则的最小值为__________.
【答案】
【分析】由题可设，则，然后利用数量积坐标表示及二次函数的性质即得.
【详解】由题可得，，
设，因为点P在线段AB上，
所以，
∴，
∴当时，的最小值为.
故答案为：.
4.（2015·山西大同市·高二期末（理））设、分别是椭圆的左、右焦点，若Q是该椭圆上的一个动点，则的最大值和最小值分别为
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】A
【详解】试题分析：设，由题得，所以，
，因为在椭圆上，所以所以，所以当有最小值；或时，有最大值
题型六：声东击西，利用椭圆定义求最值
此种类型题目，一般要利用椭圆定义，转化为三点共线问题，利用三角形两边之和大于第三边，或者两边之差小于第三边解决
【例1】（2022·辽宁·高二期中）动点分别与两定点，连线的斜率的乘积为，设点的轨迹为曲线，已知，，则的最小值为（ ）
A．4B．8C．D．12
【答案】B
【解析】
【分析】
求出轨迹方程，根据椭圆的定义，可得，当经过点时，最短.
【详解】
设动点 的坐标为 ，则
整理后得： ，动点 的轨迹为椭圆，左焦点为，右焦点为 ，
，如下图所示，当经过点时，最短，此时
故选：B
【例2】已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点坐标为，则的最大值为（ ）
A．B．13C．3D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
利用椭圆的定义求解.
【详解】
如图所示：
，
故选：B
【例3】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆：内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求：
(1)的最大值与最小值；
(2)的最大值与最小值．
【答案】(1)最大值为，最小值为
(2)最大值为，最小值为
【解析】
【分析】
(1)由题意可知：根据三角形的性质，即可求得然后得到的最大值与最小值；
(2)利用椭圆的定义表示出，根据椭圆的定义及三角形三边的关系，即可求得答案．
(1)
由椭圆可知，，，
则，，
则，当且仅当、、三点共线时成立，
所以，
所以的最大值与最小值分别为和；
(2)
，，，
设是椭圆上任一点，由，，
，
等号仅当时成立，此时、、共线，
由，
，
等号仅当时成立，此时、、共线，
故的最大值与最小值为．
【题型专练】
1.（2022·全国·高二专题练习）已知点和，是椭圆上的动点，则最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设左焦点为，为椭圆右焦点，利用椭圆定义转化，然后利用平面几何的性质得最大值．
【详解】
解：椭圆，所以为椭圆右焦点，设左焦点为，
则由椭圆定义，
于是.
当不在直线与椭圆交点上时，､､三点构成三角形，于是，
而当在直线与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有，
在第三象限交点时有.
显然当在直线与椭圆第三象限交点时有最大值，其最大值为
.
故选：A.
2.（2022·全国·高二专题练习）已知为椭圆的左焦点，是其内一点，为椭圆上的动点，则的最大值为__，最小值为__.
【答案】
【解析】
【分析】
设为椭圆右焦点，设左焦点为，在椭圆内，由椭圆定义，结合当在直线与椭圆交点上时和当在直线与椭圆交点，分别求得其最大值与最小值，即可求解.
【详解】
设为椭圆右焦点，设左焦点为，在椭圆内，
则由椭圆定义，
当在直线与椭圆交点上时，在轴的上方时，，取得最小值，最小值为：；
当在直线与椭圆交点，在轴的下方时，有最大值，
其最大值为.
故答案为：，.
3.（2022·四川·成都七中高二期末（文））已知点，是椭圆内的两个点，M是椭圆上的动点，则的最大值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】
结合椭圆的定义求得正确答案.
【详解】
依题意，椭圆方程为，所以，
所以是椭圆的右焦点，设左焦点为，
根据椭圆的定义可知，
，
所以的最大值为.
故答案为：
4．（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆内部，点在椭圆上，则可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
作出图形，设直线交椭圆于点、，利用椭圆定义可得，利用点分别与点、重合时取得最小值和最大值可求得的取值范围，即可得出合适的选项.
【详解】
在椭圆中，，，，则、，如下图所示：
设直线交椭圆于点、，且，
由椭圆定义可得，则，故，
当点与点重合时，此时取得最小值，即，
当点与点重合时，此时取得最大值，即.
因此，的取值范围是.
故选：ABC.