陕西省西安市阎良区教育局2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试卷

这是一份陕西省西安市阎良区教育局2023-2024学年高二上学期期末质量检测数学试卷，共15页。试卷主要包含了记为等比数列的前项和，下列不等式中,成立的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间120分钟,满分150分
一、单项选择题(共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1.设是等差数列的前项和,且,则公差
A.1B.2C.5D.6
2.向量,若,则
A.B.
C.D.
3.若直线与垂直,则实数
A.B.C.D.
4.已知函数在的附近可导,且,则在处的切线方程为
A.B.
C.D.
5.过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点,则
A.B.C.D.
6.记为等比数列的前项和.若,则
A.B.C.D.
7.空间四边形OABC中,,点在OA上,,点为BC的中点,则
A.B.
C.D.
8.下列不等式中,成立的是
A.B.C.D.
二、多项选择题(共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.)
9.过点(0.2)作与圆相切的直线,则直线的方程为
A.B.C.D.
10.已知函数在处取得极大值,则实数的值可以是
A.3B.1C.-3D.-1
11.已知数列中,,则
A.B.
C.D.
12.已知三棱锥是边长为2的正三角形,为PA中点,,则下列结论正确的是
A.B.异面直线CE与AB所成角的余弦值为
C.CE与平面ABC所成角的正弦值为D.三棱锥外接球的表面积为
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若等比数列满足,且公比,则____________.
14.某汽车启动阶段的路程函数为,则秒时,汽车的加速度是___________.
15.已知椭圆的焦点分别,点为椭圆的上顶点.直线与椭圆的另一个交点为.若.则椭圆的标准方程为___________.
16.如图，以AB为直径的圆有一内接梯形ABCD,且.若双曲线以A,B为焦点,且过C,D两点,则当梯形的周长最大时,双曲线的离心率为___________.
四、解答题:本题共6小题,70分,其中第17题10分,其余均12分。
17.在等差数列中,.
(1)求的通项公式;
(2)若,求数列的前项和.
18.在等差数列中,已知公差且成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)求的值.
19.已知函数.
(1)若,求函数的单调区间;
(2)若函数在上是单调递减,求实数的取值范围
20.如图,已知平面平面.
(1)连接AD,求证:;
(2)求AD与平面BDC所成角的大小;
21.已知函数.
(1)若且仅存在两个整数,使得,求的取值范围;
(2)讨论零点的个数.
22.已知椭圆的离心率为,过椭圆的右焦点并垂直于轴的直线PM交椭圆于P,M（点P位于轴上方)两点,且(为坐标原点)的面积为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线交椭圆于异于点两点,且直线PA与PB的斜率之积为,求点到直线距离的最大值.
西安市阎良区教育局2023-2024学年度第一学期期末质量检测
高二数学参考答案及评分意见
1.B【解析】因为等差数列的,公差为,
所以,即,解得,
所以.故选B.
2.C【解析】因为向量,且,则设,即，则有,则,解得.故选C.
3.D【解析】由题意可得,则.故选D.
4.A【解析】由题知,函数在处的切线斜率为-2,又切线过点,代入点斜式有:,即.故选A.
5.C【解析】不妨设过焦点的直线方程为,,直线方程与抛物线方程联立,消去并整理得,由韦达定理得，,,故C正确.故选C.
6.B【解析】设等比数列的公比为,则由解得所以,所以,故选B.
7.B【解析】由图可知:,即.故选B.
8.C【解析】对于,若,则,得,而不成立,故错误;
对于,若,则,得,而不成立,故B错误;
对于,若,则,得,整理得,,设,
,故时,单调递增,
时,单调递减,所以,,得,故C正确;
对于,若,则,得,则有,设,由上可证得,单调递减,所以,,而,故,得,得到,所以,,最后得到,即,不符题意,故D错误.
故选C.
9.BC【解析】圆即,则圆心为,半径为1,易知点在圆外,显然是圆的其中一条切线.
当切线斜率存在时,设切线方程为即,则,解得,所以切线方程为.综上,切线方程为或.故选.
10.AD【解析】因为,
故,
由函数在处取得极大值,
可得,解得或,
当时,,
此时当时,,
当时,,
则函数在处取得极大值,符合题意;
当时,,
此时当时,,
当时,,
则函数在处取得极大值,符合题意,
故或,故选AD.
11.BD【解析】由题意,,,
数列是以3为周期的周期数列.
对于错误；
对于,B正确;
对于C,,C错误；
对于,由递推关系式知,
正确.故选BD.
12.ACD【解析】选项,在三棱锥中,是边长为2的正三角形,取AC的中点,连接PF,BF,则.又,所以平面平面PBF,所以.故正确;
选项,因为,所以平面PAC,所以.
在三棱锥中,是边长为2的正三角形,所以三棱锥为正三棱锥,所以PA,所以.
以为原点,的正方向分别为为x、y、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
则,.
所以.
设异面直线CE与AB所成的角为,
则
即异面直线CE与AB所成角的余弦值为.故错误;
选项.
设平面ABC的一个法向量为,则不妨取,则.
设CE与平面ABC所成的角为,
则
即CE与平面ABC所成的角的正弦值为.故正确;
选项,把三棱锥补形为正方体,则三棱锥的外接球即为正方体的外接球.
设其半径为,因为正方体的外接球满足,所以.
所以球的表面积为.故D正确.故选ACD.
13.20【解析】,故答案为20.
14.26【解析】设汽车的速度函数为,则,所以秒时,汽车的加速度是.
【解析】如图,过点作轴的垂线,垂足为,
由定义知,,因为,所以,易知,
所以,又,,
所以,所以,
将代入得,解得,所以,所以椭圆方程为.故答案为.
【解析】连接AC,设,圆的半径为,
则,作于点,
所以,
梯形的周长.
当,即时,有最大值5R,
这时,,
.故答案为.
17.解:(1)设数列的公差为,
则…………………………………………………………….2分
解得…………………………………………………………………………4分
故.……………………………………………………5分
(2)由(1)知,
则,……………………7分
所以.
……………………………………………………………………………………………10分
18.解:(1) ……………………………………2分
又成等比数列,所以,………………………3分
化简得,解得或,又,所以-1, ……………………5分
可得数列的通项公式.………………………………6分
(2)由(1)得,由,得,
由,得.…………………………………………………………7分
设数列的前项和为,
所以…………9分
所以.……………………………………………………12分
19.解:(1)当时,,
,令,得.……………………………………………………1分
所以的单调递减区间是,单调递增区间是…………………………4分
(2)由函数在上是减函数,知恒成立,…………………………5分
由恒成立可知恒成立,则分
设,则,
由知,
函数在上递增,在上递减,10分在处取得极大值,也是最大值,
.………………………………………………………………12分
20.(1)证明:作垂足为,连接OD,因为平面平面平面ABC,所以平面DBC.
又,
所以与全等,所以…………………………………………2分
又平面DBC,所以OA,OC,OD两两垂直.
以OD,OC,OA所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
设,则…………………………………4分
则.
所以.………………………………………………6分
.所以.……………………………………………………………7分
(2)解:由(1)知,
平面BDC的一个法向量为……………………………………………………9分
设AD与平面BDC所成角为,
则.………………………………11分
因为,所以AD与平面BDC所成角.……………………………………12分
21.解:(1)令,其中,
则,
当时,,此时函数单调递减,
当时,,此时函数单调递增,且当时,;当时, ……3分
由可得,作出函数,的图象如下图所示：
因为有且只有两个整数,使得则满足不等式的整数只有两个,所以即………………………………………………………………5分
解得.……………………………………………………………………………………6分
(2)考查当直线与函数相切时,实数的值,设切点坐标为,则切线斜率为,所求切线方程为,即,所以,,解得或………………………………………………8分
当时,;当时,.
当时,直线与函数的图象只有一个公共点;
当或时,直线与函数的图象有2个公共点;
当或时,直线与函数的图象只有1个公共点;
当时,直线与函数的图象无公共点.………………………………………11分
综上所述,当时,函数无零点;
当或或时,函数f(x)有1个零点;
当0时,函数f(x)有2个零点.…………………………………………………………12分
22.解:(1)由题意可得,
由题意可得…………………………………………………………………………1分
且,
解得,………………………………………………………………………………………3分
椭圆的方程为.……………………………………………………………………………4分
(2)由(1)可得,
当直线斜率不存在时,设方程为,则,,此时,化简得,又,解得或1(舍去),此时到直线的距离为…………6分
设直线斜率存在时,设,设其方程为,联立可得
且整理可得…………………………………………………………7分
,且,,整理可得…………………9分
整理可得,
整理可得0,
即或……………………………10分
若,则直线方程为,直线恒过,与点重合,………………11分
若,则直线方程为,直线恒过定点到直线的距离的最大值为|PQ|,|PQ|的值为,由于,
点到直线距离的最大值为………………………………………………………………12分