2023-2024学年天津市宁河区高二上学期期末考试数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年天津市宁河区高二上学期期末考试数学试题（含解析），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.直线 3x−y−1=0的倾斜角为
( )
A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘
2.双曲线x216−y29=1的焦距为是
( )
A. 7B. 2 7C. 5D. 10
3.在等比数列an中，a3⋅a7=4，则a2⋅a8=( )
A. 2B. 4C. 8D. 16
4.圆C1：x−22+y−12=9与圆C2：x+22+y2=4的位置关系是
( )
A. 相交B. 相离C. 内切D. 内含
5.若数列an的前n项和Sn=2n2+n+1，则下列结论正确的是
( )
A. an=4n−1B. an=3n+1
C. an=7n−3D. an=4,n=14n−1,n>1
6.已知等差数列an的前n项和为Sn，若a1=−9，公差d=2，则Sn的最小值为
( )
A. −45B. −35C. −25D. −15
7.设椭圆的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，其中一个焦点在抛物线y2=12x的准线上，且椭圆上的任意一点到两个焦点的距离的和等于10，则椭圆的方程为
( )
A. x2100+y264=1B. x2100+y236=1C. x225+y216=1D. x225+y29=1
8.已知抛物线x2=2pyp>0上一点Mm,1到焦点的距离为52，则其焦点坐标为
( )
A. 32,0B. 0,32C. 34,0D. 0,34
9.设点F为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线C的渐近线交于A,B两点(均异于点O).若AB=OF，则双曲线C的离心率为
( )
A. 2B. 3C. 2D. 5
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.已知数列an满足a1=12，an=1−1an−1，n≥2,n∈N∗，则a6= ．
11.双曲线x24−y23=1的渐近线方程是 ．
12.若直线3x−4y−1=0与圆x2+y2−4x+m=0相切，则实数m的值为 ．
13.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，则点A1到直线B1E的距离 ．
14.有下列命题：
①抛物线y2=−2x的准线方程为x=12；
②已知直线过两点2,0，1, 3，则此直线的斜率是− 3；
③若方程x2m−2+y24−m=1表示双曲线，则实数m的取值范围是4,+∞．
其中正确命题的序号为 (把正确的答案都填上)．
15.数列an的前n项和为Sn，Sn=2an−2n∈N∗，则an= ；设数列an2的前n项和为Tn，则Tn= ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知圆心为C的圆经过A−1,0，B3,0两点，且圆心C在直线l：y=2x上.
(1)求圆C的标准方程；
(2)若过点2,−1且平行于l的直线与圆C相交于M，N两点，求弦MN的长．
17.(本小题12分)
已知数列an是等差数列，满足a3+a4+a5=21，a6=11，数列bn是首项为1的等比数列，且9b1，3b2，b3成等差数列．
(1)求an，bn的通项公式；
(2)设cn=an+bn，求数列cn的前n项和Snn∈N∗．
18.(本小题12分)
如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为BB1的中点．
(1)求证：BD//平面AC1E；
(2)求直线AD1与平面AC1E所成角的正弦值；
(3)求平面AD1E和平面AC1E的夹角的余弦值．
19.(本小题12分)
已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为 22，右焦点为F1,0．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线y=x+12与椭圆交于A，B两点，求▵FAB的面积．
20.(本小题12分)
已知数列an满足：a1=1，an+1=an3an+1n∈N∗．
(1)求证：数列1an为等差数列；
(2)设bn=anan+1，求数列bn的前n项和Sn；
(3)设cn=12nan，求数列cn的前n项和Tn．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查直线的倾斜角和斜率，属于简单题．
把直线方程化为斜截式方程，先求出直线的斜率即可求出倾斜角．
【解答】
解：由 3x−y−1=0得y= 3x−1，
故该直线的斜率为 3，
所以该直线的倾斜角为60°．
故选B．
2.【答案】D
【解析】【分析】由双曲线方程确定焦距即可．
【详解】由题设c= a2+b2= 16+9=5，则焦距为2c=10．
故选：D
3.【答案】B
【解析】【分析】根据等比数列的性质即可求出．
【详解】an是等比数列，a3⋅a7=4，
∴a2⋅a8=a3⋅a7=4．
故选：B．
4.【答案】A
【解析】【分析】由圆的方程确定圆心和半径，比较圆心距和半径和差的大小即可判断．
【详解】由题设C1(2,1),r1=3，C2(−2,0),r2=2，则r1−r2<|C1C2|= 17所以两圆相交．
故选：A
5.【答案】D
【解析】【分析】利用an,Sn关系求通项公式．
【详解】当n≥2，则an=Sn−Sn−1=2n2+n+1−2(n−1)2−(n−1)−1=4n−1，
而a1=S1=2×12+1+1=4，显然不满足上式，所以an=4,n=14n−1,n>1．
故选：D
6.【答案】C
【解析】【分析】根据题设写出等差数列通项公式得an=2n−11，利用单调性得n≤5时an<0，n≥6时an>0，即有n=5时Sn最小，进而求最小值．
【详解】由题设an=a1+(n−1)d=2n−11，令an=2n−11≤0，可得n≤112，
又n∈N∗，故n≤5时an<0，n≥6时an>0，
所以n=5时Sn最小，即最小为S5=5×(a1+a5)2=5a3=5×(−9+2×2)=−25．
故选：C
7.【答案】C
【解析】【分析】根据抛物线方程有准线为x=−3，由题意可得c=3、a=5，进而写出椭圆方程．
【详解】由抛物线y2=12x的准线为x=−3，故椭圆的一个焦点为(−3,0)，则c=3，
由椭圆定义知2a=10⇒a=5，故b2=a2−c2=16，
所以椭圆方程为x225+y216=1．
故选：C
8.【答案】B
【解析】【分析】由抛物线定义可得p=3，写出抛物线方程，进而可得焦点坐标．
【详解】由抛物线定义，知1+p2=52⇒p=3，故x2=6y，则焦点为0,32．
故选：B
9.【答案】A
【解析】【分析】作出图形，分析可知，四边形OAFB为正方形，可得出∠AOF=π4，求出ba的值，进而可求得该双曲线的离心率的值．
【详解】如下图所示：
连接AF、BF，设AB∩OF=M，
由对称性可知，M为AB的中点，AB⊥OF，
因为AB=OF，则线段AB是以OF为直径的圆的一条直径，则M为圆心，
故M为OF的中点，
又因为AB⊥OF，且AB、OF互相垂直且平分，
所以，四边形OAFB为正方形，则∠AOF=π4，所以，ba=tanπ4=1，
所以，该双曲线的离心率为e=ca= a2+b2a2= 1+ba2= 2．
故选：A．
10.【答案】2
【解析】【分析】由递推式写出项即可．
【详解】由题设a2=1−1a1=−1，a3=1−1a2=2，a4=1−1a3=12，a5=1−1a4=−1，a6=1−1a5=2．
故答案为：2
11.【答案】y=± 32x
【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程的求法，求得双曲线的渐近线．
点睛：本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题．
【详解】双曲线x2a2−y2b2=1的渐近线为y=±bax，所以双曲线x24−y23=1的渐近线方程是y=± 32x．
故答案为y=± 32x
12.【答案】3
【解析】【分析】写出圆的标准方程确定圆心和半径，根据直线与圆相切，结合点线距离公式列方程求参数．
【详解】由x2+y2−4x+m=0可化为(x−2)2+y2=4−m且m<4，
所以圆心为(2,0)，半径为 4−m，
由直线与圆相切，则 4−m=|3×2−4×0−1|5=1，可得m=3．
故答案为：3
13.【答案】 53 或13 5
【解析】【分析】先证A1B1⊥A1E，通过等面积法求点线距离即可．
【详解】正方体中，A1B1⊥平面ADD1A1，A1E⊂平面ADD1A1，则A1B1⊥A1E，
又因为A1E= 12+122= 52,B1E= 12+ 522=32，
所以A1到直线B1E的距离为A1B1⋅A1EB1E=1× 5232= 53．
故答案为： 53．

14.【答案】①②
【解析】【分析】由抛物线方程写出准线判断①，利用两点式求直线斜率判断②，由方程表示双曲线有(m−2)(4−m)<0求参数范围判断③．
【详解】①抛物线y2=−2x中p=−1，故准线方程为x=−p2=12，对；
②已知直线过两点2,0，1, 3，此直线的斜率是 3−01−2=− 3，对；
③若方程x2m−2+y24−m=1表示双曲线，则(m−2)(4−m)<0⇒m<2或m>4，错．
正确命题有①②.故答案为：①②
15.【答案】2n ； ； ；；43(4n−1)
【解析】【分析】利用an,Sn关系及等比数列的定义求通项公式，根据等比数列前n项和公式求Tn．
【详解】由n≥2，Sn−Sn−1=2an−2−2an−1+2=2(an−an−1)，即an=2(an−an−1)⇒an=2an−1，
又a1=S1=2a1−2⇒a1=2，故an是首项、公比都为2的等比数列，则an=2n，
所以an2=22n=4n，故Tn=4×(1−4n)1−4=43(4n−1)．
故答案为：2n，43(4n−1)
16.【答案】解：(1)由题设，令C(m,2m)，圆的方程为(x−m)2+(y−2m)2=r2，
则m+12+4m2=r2m−32+4m2=r2，可得m2+2m+1+4m2=r2m2−6m+9+4m2=r2，故m=1r2=8,
所以圆C的标准方程(x−1)2+(y−2)2=8．
(2)由题设，直线MN的方程为y+1=2(x−2)，可得2x−y−5=0，
由(1)C(1,2)，且半径r=2 2，故C到直线MN的距离d=|2×1−2−5| 5= 5，
所以弦MN的长为2 r2−d2=2 3．

【解析】(1)由题设，令C(m,2m)，圆的方程为(x−m)2+(y−2m)2=r2，根据点在圆上列方程求参数，即可得圆的方程；
(2)由题意，应用点斜式可得直线MN的方程为2x−y−5=0，再应用点线距离及相交弦的几何求法求弦MN的长．
17.【答案】解：(1)由题设a3+a4+a5=3a4=21⇒a4=7，
若数列an的公差为d，则d=a6−a42=2，
所以an=a4+(n−4)d=2n−1，
由9b1，3b2，b3成等差数列，故6b2=9b1+b3，
若数列bn的公比为q，则6b1q=9b1+b1q2⇒q2−6q+9=0⇒q=3，
所以bn=b1qn−1=3n−1．
(2)由(1)可知an=2n−1bn=3n−1，
所以Sn=c1+c2+c3+⋯⋯+cn
=a1+a2+⋯+an+b1+b2+⋯+bn
=n(1+2n−1)2+1−3n−1×31−3
=n2+3n−12．

【解析】(1)由等差数列的性质得a4=7，结合已知及通项公式求公差，即可得an通项公式，根据等差中项性质有6b2=9b1+b3，结合等比数列通项公式求公比，即可得bn通项公式；
(2)应用分组求和，结合等差、等比数列前n项和公式求Sn．
18.【答案】解：(1)构建如下图示的空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(0,2,0),D(2,0,0),C1(2,2,2),D1(2,0,2),E(0,2,1)，
所以BD=(2,−2,0),AC1=(2,2,2),AE=(0,2,1)，
若m=(x,y,z)是平面AC1E的一个法向量，则m⋅AC1=2x+2y+2z=0m⋅AE=2y+z=0,
取z=−2，则m=(1,1,−2)，
所以BD⋅m=2−2+0=0，即BD⊥m，又BD⊄平面AC1E，
所以BD//平面AC1E．

(2)由(1)知AD1=(2,0,2)，设直线AD1与平面AC1E所成角为θ，
则sinθ=|AD1⋅m||AD1||m|=22 2× 6= 36．
(3)由上可知，设n=(a,b,c)是平面AD1E的一个法向量，则n⋅AD1=2a+2c=0n⋅AE=2b+c=0,
取c=−2，则n=(2,1,−2)，
故平面AD1E和平面AC1E的夹角的余弦值为|m⋅n||m||n|=7 6×3=7 618．

【解析】(1)构建空间直角坐标系，应用向量法证明线面平行即可；
(2)(3)求出相关直线方向向量、平面的法向量，应用向量法求线面角、面面角．
19.【答案】解：(1)由题设c=1且ca= 22，则a= 2，故b2=a2−c2=1，
所以x22+y2=1．
(2)联立直线与椭圆y=x+12x2+2y2=2，可得6x2+4x−3=0，显然Δ>0，
所以xA+xB=−23，xAxB=−12，故|AB|= 2⋅ (xA+xB)2−4xAxB=2 113，
而F到y=x+12的距离d=|1−0+12| 2=32 2，
所以▵FAB的面积为12ABd=12×2 113×32 2= 224．

【解析】【(1)由题设可得c=1、a= 2，进而写出椭圆方程；
(2)联立椭圆与直线，应用韦达定理、弦长公式及点线距离公式求|AB|,d，进而求面积．
20.【答案】解：(1)由题设1an+1=3an+1an=3+1an⇒1an+1−1an=3，又1a1=1，
所以数列1an是首项为1，公差为3的等差数列．
(2)由(1)可得1an=1+3(n−1)=3n−2，故an=13n−2，
所以bn=1(3n−2)(3n+1)=13(13n−2−13n+1)，
则Sn=13(1−14+14−17+⋯+13n−2−13n+1)=13(1−13n+1)=n3n+1．
(3)由(2)得cn=3n−22n，则Tn=12+422+723+⋯+3n−52n−1+3n−22n，
所以12Tn=122+423+724+⋯+3n−52n+3n−22n+1，
两式作差得12Tn=12+322+323+324+⋯+32n−3n−22n+1，即Tn=1+32+322+323+⋯+32n−1−3n−22n，
所以Tn=1+3×12(1−12n−1)1−12−3n−22n=4−3n+42n．

【解析】(1)由题设可得1an+1=3+1an⇒1an+1−1an=3，结合等差数列定义即可证结论；
(2)由题设bn=1(3n−2)(3n+1)，应用裂项相消法求和；
(3)由题设cn=3n−22n，应用错位相减法及等比数列前n项和公式求和．