内蒙古自治区巴彦淖尔市杭锦后旗2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份内蒙古自治区巴彦淖尔市杭锦后旗2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列事件是必然事件的是（ ）
A．明天会下雨
B．抛一枚硬币，正面朝上
C．经过某一有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯
D．一个口袋中有2个红球1个白球，从中摸出2个球，其中至少有1个红球
3．如图，点A、B、C是上的点，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
4．把抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线（ ）
A．B．
C．D．
5．反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（ ）
A．0B．1C．D．
6．下列说法错误的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦B．平分一条弦的直径也垂直于该弦
C．的圆周角所对的弦是直径D．圆内接四边形的对角互补
7．一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数．将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为x，掷第二次，将朝上一面的点数记为y，则点落在反比例函数图象上的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知、是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A．B．C．D．
9．已知二次函数的图象经过点、、、四点，则与的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．不能确定
10．函数y＝kx﹣2与y＝（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，正六边形螺帽的边长是4cm，那么这个正六边形半径R和扳手的开口a的值分别是（ ）
A．2，2B．4，4C．4，2D．4，
12．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，∠B＝60°，反比例函数y＝（k＞0）的图象经过点C，若将菱形向下平移2个单位，点B恰好落在反比例函数的图象上，则反比例函数的表达式为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．如图，是的弦，半径于点，若的半径为，则的长是 ．
14．若是关于的一元二次方程，则 ．
15．一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是 ．
16．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是 ．
17．如图，在半径AC为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则图中阴影部分的面积是 ．
18．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B=
三、解答题
19．为了调动同学们学习数学的积极性，班内组织开展了“数学小先生”讲题比赛，老师将四道备讲题的题号1，2，3，4，分别写在完全相同的4张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀．
(1)随机抽取一张卡片，卡片上的数字是“4”的概率是________；
(2)小明随机抽取两张卡片，用画树状图或列表的方法求两张卡片上的数字是“2”和“3”的概率．
20．如图，反比例函数 的图象与一次函数的图象在第一象限内交于，两点．

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)当时，x的取值范围为________；
(3)若Q为y轴上的一点，使最小，求点Q的坐标．
21．如图，四边形内接于，是直径，，连接，过点D的直线与的延长线相交于点E，且．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：平分；
(3)若，，求的长．
22．如图，和都是等边三角形，直线，交于点F．
(1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段与的数量关系为______．
(2)如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明．
(3)若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围．
23．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求出四边形ABPC的面积最大时的P点坐标和四边形ABPC的最大面积；
（3）在直线BC找一点Q，使得△QOC为等腰三角形，写出Q点坐标．
参考答案：
1．B
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
2．D
【分析】本题考查的是确定事件和随机事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．根据确定事件和随机事件的概念对各个事件进行判断即可．
【详解】解：明天会下雨、抛一枚硬币，正面朝上、经过某一有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯都是随机事件，
一个口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中至少有1个红球是必然事件，
故选：D．
3．C
【分析】本题考查圆周角定理，即一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．由题意根据圆周角定理得到，即可计算出．
【详解】解：∵，
∴．
故选：C．
4．A
【分析】本题考查二次函数的几何变换；掌握二次函数的平移不改变二次项的系数；规则为：左加右减，上加下减是解决本题的突破点．根据规则直接写抛物线的解析式即可．
【详解】解：抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，，
新抛物线解析式为，即
故选：A．
5．C
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据图象在二，四象限，得到，即可得出结论．
【详解】解：由图象可知，反比例函数在二，四象限，
∴，
∴k的值可能是；
故选C．
6．B
【分析】本题考查的是圆中基本概念，垂径定理，圆周角定理，圆的内接四边形的性质，再逐一分析各选项即可，掌握以上基础知识是解本题的关键．
【详解】解：直径是圆中最长的弦，正确，故A不符合题意；
平分一条弦（不是直径）的直径也垂直于该弦，故B符合题意；
的圆周角所对的弦是直径，正确，故C不符合题意；
圆内接四边形的对角互补，正确，故D不符合题意；
故选：B．
7．C
【分析】列举出所有情况，看落在直线上的情况占总情况的多少即可．
【详解】解：如下表，共有36种情况，落在直线上的情况有（1，6）、（2，3）、（3，2）、（6，1）4种情况，概率是，故选C．
【点睛】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ，注意本题是放回实验．
8．C
【分析】本题考查了根与系数的关系，熟记一元二次方程根与系数的关系是解答本题的关键．
根据一元二次方程的定义，得到，再根据根与系数的关系，得到，由此得到答案．
【详解】解：根据题意得：
是一元二次方程的实数根，
，
，
又、是一元二次方程的两个实数根，
，
，
故选：．
9．B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意先求出抛物线的对称轴为直线，可得抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，即可求解．
【详解】解：∵抛物线过，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，
∵，
∴．
故选：B
10．B
【分析】根据当k＞0、当k＜0时，y=kx-2和y＝经过的象限，二者一致的即为正确答案．
【详解】∵当k＞0时，y＝kx﹣2过一、三、四象限，反比例函数y＝过一、三象限，
当k＜0时，y＝kx﹣2过二、三、四象限，反比例函数y＝过二、四象限，
∴B正确；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数及一次函数的图象性质，由k的取值确定函数所在的象限是解决本题的关键．
11．B
【分析】根据正六边形的内角度数可得出∠BAD=30°，为等边三角形，得BC=2AB，再通过解直角三角形即可得出a的值，进而可求出a的值，此题得解．
【详解】解：如图，
∵正六边形的任一内角为120°，
∴∠ABD=180°-120°=60°，
∴∠BAD=30°，为等边三角形，
∵
∴
∴
∴
∴这个正六边形半径R和扳手的开口a的值分别是4，4．
故选：B．
【点睛】本题考查了正多边形以及勾股定理，牢记正多边形的内角度数是解题的关键．
12．A
【分析】过点C作CD⊥x轴于D，设菱形的边长为a，根据菱形的性质和三角函数分别表示出C，以及点B向下平移2个单位的点，再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到方程组求解即可．
【详解】解：过点C作CD⊥x轴于D，
设菱形的边长为a，
在Rt△CDO中，OD=a•cs60°=a，CD=a•sin60°=a，
则C（a，a），∴B(a，a)
点B向下平移2个单位的点为（a，a-2），
点C和平移后的点B在反比例函数图象上
∴解得：
∴反比例函数的解析式为y=，
故选A．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题目，考查了反比例函数解析式的求法、坐标与图形性质、菱形的性质、平移的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．
13．2
【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．利用垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，然后计算即可．
【详解】解：∵是的弦，半径，，
∴，
∵的半径为5，
∴，
∴；
故答案为：2．
14．1
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键．直接利用一元二次方程的定义知道二次项系数不为0同时x的最高次幂为2，得出m的值进而得出答案．
【详解】解：由题意知：且，
解得，
故答案为：．
15．．
【详解】解：根据树状图，蚂蚁获取食物的概率是=．故答案为．
考点：列表法与树状图法．
16．且．
【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，熟练掌握一元二次方程的定义和根的判别式是解题的关键．根据关于x的方程有两个实数根，得到且，即可得到k的取值范围．
【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根，
∴且，
∴且．
即k的取值范围是且．
故答案为：且．
17．π﹣1．
【详解】解：在Rt△ACB中，AB==，
∵BC是半圆的直径，
∴∠CDB=90°，在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD=BD=，
∴D为半圆的中点，S阴影部分=S扇形ACB﹣S△ADC==π﹣1．
故答案为π﹣1．
考点：扇形面积的计算．
18．/
【详解】如图，连接BB′，
∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，
∴AB=AB′，∠BAB′=60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∴AB=BB′，
在△ABC′和△B′BC′中，
，
∴△ABC′≌△B′BC′(SSS)，
∴∠ABC′=∠B′BC′，
延长BC′交AB′于D，
则BD⊥AB′，
∵∠C=，AC=BC=，
∴AB==2，
∴BD=2×=，
C′D=×2=1，
∴BC′=BD−C′D=−1．
故答案为：−1.
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．
19．(1)
(2)
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是2和3的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：随机抽取一张卡片，卡片上的数字是4的概率为，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中两张卡片上的数字是2和3的结果有2种，
∴两张卡片上的数字是2和3的概率为．
【点睛】此题考查的是用树状图或列表法求概率．树状图或列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．熟练掌握树状图或列表法是解决这类题的关键．
20．(1)，；
(2)或
(3)
【分析】（1）将点的坐标分别代入和求解即可得到答案；
（2）根据图形找到反比例函数的图像在一次函数图像的上方部分直接求解即可得到答案；
（3）根据轴对称的性质得到点A关于y轴的对称点，连接交y轴于一点即为最短距离点，设的解析式为，代入求解即可得到答案；
【详解】（1）解：将点的坐标分别代入和得，
， ，所以，，
所以反比例函数和一次函数的表达式分别为，；
（2）解：由图像可得，
在A点左侧与B点右侧反比例函数的图像在一次函数的上方，
∴当或时；
（3）解：作点A关于y轴的对称点，连接，与y轴的交点即为满足条件的点Q，
将点代入反比例函数得，所以，

∵，
∴，
设直线的表达式为，
所以，解得，
所以直线的表达式为，
当，则，
所以；
【点睛】本题考查待定系数法求解析式，利用函数图像解不等式，利用函数问题解决最短距离问题，解题的关键是会看函数图像及找到最小距离点．
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）连接，根据等腰三角形性质得出，根据是的直径．得出，根据，得出，说明，得出，即可证明结论；
（2）根据，得出，说明，即可证明结论；
（3）过点B作交延长线于点H，证明，得出，，求出，根据勾股定理得出，求出，即可求出结果．
【详解】（1）证明：连接，如图．
∵，
∴，
∵是的直径．
∴，即，
∵，
∴，即，
∴，
又∵是半径，
∴直线是的切线．
（2）∵，
∴，
∴，
∴平分．
（3）如图，过点B作交延长线于点H，
∴．
∵是的直径，
∴，
∵，．
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，数形结合，熟练掌握基本的判定和性质．
22．(1)，；
(2)成立，理由见解析
(3)
【分析】本题考查了等边三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，以及旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键．
（1）利用等边三角形的性质证明，结合三角形的外角就可以得出结论；
（2）同（1）中方法证明，得出，，再根据三角形的内角和得出；
（3）当B、C、D三点共线时得出的最大和最小值，即可得出结论．
【详解】（1）解：是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
即，
在和中，
，
，，
，且
（2）（1）中结论仍成立，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
即，
在和中，
，
，，
，且，
；
（3）是等边三角形，
，
当旋转=时，B、C、D三点共线，此时，
当旋转=时，B、C、D三点共线，此时；
∴．
23．（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）P点的坐标为（，﹣），四边形ABPC的面积的最大值为；（3）Q点坐标为（，﹣3）、（﹣，﹣﹣3）、（3，0）或（，﹣）．
【分析】(1)把B、C两点的坐标代入二次函数y=x2+bx+c即可求出b，c的值,故可得出二次函数的解析式;
(2)过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点E,设P（x，x2﹣2x﹣3），易得,直线BC的解析式为y=x﹣3，则Q点的坐标为（x，x﹣3）,再根据S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ即可得出结论；
（3）分当OC=QC时，当OC=QO时，当QC=QO时三种情况求解即可.
【详解】解：（1）将B、C两点的坐标代入得，
解得：；
所以二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3；
（2）如图，过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，
设P（x，x2﹣2x﹣3），设直线BC的解析式为：y=kx+d，
则，
解得：，
∴直线BC的解析式为y=x﹣3，
则Q点的坐标为（x，x﹣3）；
由0=x2﹣2x﹣3，解得：x1=﹣1，x2=3，
∴AO=1，AB=4，
S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ
=AB•OC+QP•BF+QP•OF
=×4×3+（﹣x2+3x）×3
=﹣（x﹣）2+．
当x=时，四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为（，﹣），四边形ABPC的面积的最大值为；
（3）设点Q的坐标为（m，m﹣3），
∵O（0，0），C（0，﹣3），
∴OC=3，QC==|m|，QO=．
△QOC为等腰三角形分三种情况：
①当OC=QC时，3=|m|，
解得：m=±，
此时点Q的坐标为（，﹣3）或（﹣，﹣﹣3）；
②当OC=QO时，3=，
解得：m=3或m=0（舍去），
此时点Q的坐标为（3，0）；
③当QC=QO时，有|m|=，
解得：m=，
此时点Q的坐标为（，﹣）．
综上可知：Q点坐标为（，﹣3）、（﹣，﹣﹣3）、（3，0）或（，﹣）．
【点睛】本题考查的是二次函数综合题,涉及到用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，利用二次函数求最值，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，勾股定理及分论讨论的数学思想，难度适中.
1
2
3
4
5
6
1
（1，1）
（1，2）
（1，3）
（1，4）
（1，5）
（1，6）
2
（2，1）
（2，2）
（2，3）
（2，4）
（2，5）
（2，6）
3
（3，1）
（3，2）
（3，3）
（3，4）
（3，5）
（3，6）
4
（4，1）
（4，2）
（4，3）
（4，4）
（4，5）
（4，6）
5
（5，1）
（5，2）
（5，3）
（5，4）
（5，5）
（5，6）
6
（6，1）
（6，2）
（6，3）
（6，4）
（6，5）
（6，6）