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(全国通用)中考数学总复习 专题15 三角形及其性质(14个高频考点)(强化训练)(原卷版+解析)
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这是一份(全国通用)中考数学总复习 专题15 三角形及其性质(14个高频考点)(强化训练)(原卷版+解析),共140页。
【考点1 三角形的三边关系】
1.(2022·湖南邵阳·统考中考真题)下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是( )
A.1cm,2cm,3cmB.3cm,4cm,5cm
C.4cm,5cm,10cmD.6cm,9cm,2cm
2.(2022·贵州遵义·统考二模)方程x2−7x+12=0的两根是一个等腰三角形的两边长,则这个三角形的周长为( )
A.10B.11C.12D.10或11
3.(2022·山东济南·统考二模)如果2、5、m是某三角形三边的长,则(m−3)2+(m−7)2等于_____.
4.(2022·山东枣庄·二模)问题探究:
小红遇到这样一个问题:如图1,△ABC中,AB=6,AC=4,AD是中线,求AD的取值范围.她的做法是:延长AD到E,使DE=AD,连接BE,证明△BED≌△CAD;请回答:
(1)小红证明△BED≌△CAD的判定定理是: ;
(2)AD的取值范围是 ;
(3)方法运用:如图2,AD是△ABC的中线,在AD上取一点F,连接BF并延长交AC于点E,使AE=EF,求证:BF=AC.
(4)如图3,在矩形ABCD中, ABBC=12,在BD上取一点F,以BF为斜边作Rt△BEF,且EFBE=12,点G是DF的中点,连接EG,CG,求证:EG=CG.
5.(2022·河北·模拟预测)阅读材料:若m2−2mn+2n2−4n+4=0,求m,n的值.
解:∵m2−2mn+2n2−4n+4=0,∴m2−2mn+n2+n2−4n+4=0
∴m−n2+n−22=0,∴m−n2=0, n−22=0, ∴n=2, m=2.
根据你的观察,探究下面的问题:
(1)a2+b2+6a−2b+10=0,则a= ,b= .
(2)已知x2+2y2−2xy+8y+16=0,求xy的值.
(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数,且满足2a2+b2−4a−8b+18=0,求△ABC的周长.
【考点2 三角形的角平分线、中线、高】
6.(2022·湖北武汉·模拟预测)如图是由小正方形组成的9×7网格,每个小正方形的顶点叫做格点,△ABC的三个顶点都是格点,仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列要求完成画图,画图过程用虚线表示,画图结果用实线表示.
(1)在图1中按下列步骤完成画图.
①画出△ABC的高CD;
②画△ACD的角平分线AE;
③画点D关于AC的对称点D′;
(2)如图2,P是网格线上一点,过点P的线段MN分别交AB,BC于点M,N,且PM=PN,画出线段MN.
7.(2022·浙江金华·校联考一模)如图在5×5的网格中,△ABC的顶点都在格点上.(仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图,画图过程用虚线表示,画图结果用实线表示)
(1)在图1中画出△ABC的中线AD;
(2)在图2中画线段CE,点E在AB上,使得S△ACE:S△BCE=2:3;
(3)在图3中画出△ABC的外心点O.
8.(2022·湖北武汉·校联考模拟预测)已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,点E为BC的中点,以BC为底边的等腰△BCD按如图所示的位置摆放,且∠DBC=∠ABC.请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图(保留作图痕迹).
(1)在图1中作出△ABC的中线CM;
(2)在图2中作出△ABC的中线BN.
9.(2022·江苏泰州·模拟预测)△ABC中,AB:AC=3:2,BC=AC+1,若△ABC的中线BD把△ABC的周长分成两部分的比是8:7,求边AB,AC的长.
10.(2022·广东·模拟预测)已知△ABC中,∠ACB的平分线CD交AB于点D,DE//BC.
(1)如图1,如果点E是边AC的中点,AC=8,求DE的长;
(2)如图2,若DE平分∠ADC,∠ABC=30°,在BC边上取点F使BF=DF,若BC=9,求DF的长.
【考点3 三角形的内角和定理】
11.(2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AD是△ABC的角平分线.
(1)如图1,点E、F分别是线段BD、AD上的点,且DE=DF,AE与CF的延长线交于点M,则AE与CF的数量关系是 ,位置关系是 ;
(2)如图2,点E、F分别在DB和DA的延长线上,且DE=DF,EA的延长线交CF于点M.
①(1)中的结论还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由;
②连接DM,求∠EMD的度数;
③若DM=62,ED=12,求EM的长.
12.(2022·福建·统考中考真题)已知△ABC≌△DEC,AB=AC,AB>BC.
(1)如图1,CB平分∠ACD,求证:四边形ABDC是菱形;
(2)如图2,将(1)中的△CDE绕点C逆时针旋转(旋转角小于∠BAC),BC,DE的延长线相交于点F,用等式表示∠ACE与∠EFC之间的数量关系,并证明;
(3)如图3,将(1)中的△CDE绕点C顺时针旋转(旋转角小于∠ABC),若∠BAD=∠BCD,求∠ADB的度数.
14.(2022·福建·模拟预测)如图,△ABC与△BDE都是等腰三角形,AB=BC,BD=BE,∠BAC=∠BDE,连接AD,CE.求证:∠BAD=∠BCE.
【考点4 三角形的外角性质】
16.(2022·四川宜宾·模拟预测)已知,如图,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD,BE相交于点P,BQ⊥AD于Q.
(1)求证:BE=AD;
(2)求∠BPQ的度数;
(3)若PQ=3,PE=1,求AD的长.
17.(2022·安徽合肥·合肥市庐阳中学校考三模)如图,△ABC中,AB=AC,∠ABC=α,D、E分别是直线BC、AC边上的点,直线AD、BE交于点F.
(1)如图1,若∠AFE=α=60°,则BEAD=______;(直接写出答案)
(2)如图2,若∠AFE=α=45°,求BEAD的值;
(3)如图3,若∠AFB=α,csα=512,求BEAD的值.
18.(2022·浙江杭州·统考中考真题)如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,点M为边AB的中点,点E在线段AM上,EF⊥AC于点F,连接CM,CE.已知∠A=50°,∠ACE=30°.
(1)求证:CE=CM.
(2)若AB=4,求线段FC的长.
19.(2022·江苏宿迁·统考二模)如图
(1)如图甲,已知:在ΔABC中,∠A=30°,∠B=45°,AC=4,求AB;
(2)如图乙,已知:在ΔABC中,∠A=45°,∠B=15°,AC=1,求AB.
20.(2022·江苏盐城·校考三模)(1)[问题情境]
小春在数学活动课上借助几何画板按照下面的画法画出了一个图形:
如图1,点C是线段AB上一点,分别以AC、AB为底边在线段AB的同侧作等腰三角形ACP、等腰三角形ABQ,PC、AQ相交于点D.当P、Q、B在同一直线上时,他发现:∠PAQ=∠CPB.请帮他解释其中的道理;
(2)[问题探究]
如图2,在上述情境下中的条件下,过点C作CE∥AP交PB于点E,若PD=2CD,PA=9,求CE的长.
(3)[类比应用]
如图3,△ABC是某村的一个三角形鱼塘,点D、E分别在边AB、BC上,AE、CD的交点F为鱼塘的钓鱼台,测量知道∠CAD=∠CDA=67.5°,∠CEA=2∠B,AD2=40000−200002m2,且DB=2AD.直接写出CF的长为_______m.
【考点5 等腰三角形的判定与性质】
21.(2022·辽宁朝阳·统考中考真题)【思维探究】如图1,在四边形ABCD中,∠BAD=60°,∠BCD=120°,AB=AD,连接AC.求证:BC+CD=AC.
(1)小明的思路是:延长CD到点E,使DE=BC,连接AE.根据∠BAD+∠BCD=180°,推得∠B+∠ADC=180°,从而得到∠B=∠ADE,然后证明△ADE≌△ABC,从而可证BC+CD=AC,请你帮助小明写出完整的证明过程.
(2)【思维延伸】如图2,四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD,连接AC,猜想BC,CD,AC之间的数量关系,并说明理由.
(3)【思维拓展】在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD=6,AC与BD相交于点O.若四边形ABCD中有一个内角是75°,请直接写出线段OD的长.
22.(2022·山东威海·统考中考真题)回顾:用数学的思维思考
(1)如图1,在△ABC中,AB=AC.
①BD,CE是△ABC的角平分线.求证:BD=CE.
②点D,E分别是边AC,AB的中点,连接BD,CE.求证:BD=CE.
(从①②两题中选择一题加以证明)
(2)猜想:用数学的眼光观察
经过做题反思,小明同学认为:在△ABC中,AB=AC,D为边AC上一动点(不与点A,C重合).对于点D在边AC上的任意位置,在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E,使得BD=CE.进而提出问题:若点D,E分别运动到边AC,AB的延长线上,BD与CE还相等吗?请解决下面的问题:
如图2,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别在边AC,AB的延长线上,请添加一个条件(不再添加新的字母),使得BD=CE,并证明.
(3)探究:用数学的语言表达
如图3,在△ABC中,AB=AC=2,∠A=36°,E为边AB上任意一点(不与点A,B重合),F为边AC延长线上一点.判断BF与CE能否相等.若能,求CF的取值范围;若不能,说明理由.
23.(2022·海南·统考中考真题)如图1,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点P在边BC上,且不与点B、C重合,直线AP与DC的延长线交于点E.
(1)当点P是BC的中点时,求证:△ABP≌△ECP;
(2)将△APB沿直线AP折叠得到△APB′,点B′落在矩形ABCD的内部,延长PB′交直线AD于点F.
①证明FA=FP,并求出在(1)条件下AF的值;
②连接B′C,求△PCB′周长的最小值;
③如图2,BB′交AE于点H,点G是AE的中点,当∠EAB′=2∠AEB′时,请判断AB与HG的数量关系,并说明理由.
24.(2022·四川广元·统考中考真题)在Rt△ABC中,AC=BC,将线段CA绕点C旋转α(0°<α<90°),得到线段CD,连接AD、BD.
(1)如图1,将线段CA绕点C逆时针旋转α,则∠ADB的度数为 ;
(2)将线段CA绕点C顺时针旋转α时
①在图2中依题意补全图形,并求∠ADB的度数;
②若∠BCD的平分线CE交BD于点F,交DA的延长线于点E,连结BE.用等式表示线段AD、CE、BE之间的数量关系,并证明.
25.(2022·浙江宁波·统考中考真题)
(1)如图1,在△ABC中,D,E,F分别为AB,AC,BC上的点,DE∥BC,BF=CF,AF交DE于点G,求证:DG=EG.
(2)如图2,在(1)的条件下,连接CD,CG.若CG⊥DE,CD=6,AE=3,求DEBC的值.
(3)如图3,在▱ABCD中,∠ADC=45°,AC与BD交于点O,E为AO上一点,EG∥BD交AD于点G,EF⊥EG交BC于点F.若∠EGF=40°,FG平分∠EFC,FG=10,求BF的长.
【考点6 等边三角形的判定与性质】
26.(2022·广西贵港·中考真题)已知:点C,D均在直线l的上方,AC与BD都是直线l的垂线段,且BD在AC的右侧,BD=2AC,AD与BC相交于点O.
(1)如图1,若连接CD,则△BCD的形状为______,AOAD的值为______;
(2)若将BD沿直线l平移,并以AD为一边在直线l的上方作等边△ADE.
①如图2,当AE与AC重合时,连接OE,若AC=32,求OE的长;
②如图3,当∠ACB=60°时,连接EC并延长交直线l于点F,连接OF.求证:OF⊥AB.
27.(2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题)在菱形ABCD和正三角形BGF中,∠ABC=60°,P是DF的中点,连接PG、PC.
(1)如图1,当点G在BC边上时,写出PG与PC的数量关系 .(不必证明)
(2)如图2,当点F在AB的延长线上时,线段PC、PG有怎样的数量关系,写出你的猜想,并给予证明;
(3)如图3,当点F在CB的延长线上时,线段PC、PG又有怎样的数量关系,写出你的猜想(不必证明).
28.(2022·湖北鄂州·统考中考真题)如图1,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的直角边OA在y轴的正半轴上,且OA=6,斜边OB=10,点P为线段AB上一动点.
(1)请直接写出点B的坐标;
(2)若动点P满足∠POB=45°,求此时点P的坐标;
(3)如图2,若点E为线段OB的中点,连接PE,以PE为折痕,在平面内将△APE折叠,点A的对应点为A',当PA'⊥OB时,求此时点P的坐标;
(4)如图3,若F为线段AO上一点,且AF=2,连接FP,将线段FP绕点F顺时针方向旋转60°得线段FG,连接OG,当OG取最小值时,请直接写出OG的最小值和此时线段FP扫过的面积.
29.(2022·贵州黔东南·统考中考真题)阅读材料:小明喜欢探究数学问题,一天杨老师给他这样一个几何问题:
如图,△ABC和△BDE都是等边三角形,点A在DE上.
求证:以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形.
(1)【探究发现】小明通过探究发现:连接DC,根据已知条件,可以证明DC=AE,∠ADC=120°,从而得出△ADC为钝角三角形,故以AE、AD、AC为边的三角形是钝角三角形.
请你根据小明的思路,写出完整的证明过程.
(2)【拓展迁移】如图,四边形ABCD和四边形BGFE都是正方形,点A在EG上.
①试猜想:以AE、AG、AC为边的三角形的形状,并说明理由.
②若AE2+AG2=10,试求出正方形ABCD的面积.
30.(2022·湖北武汉·统考中考真题)问题提出:如图(1),△ABC中,AB=AC,D是AC的中点,延长BC至点E,使DE=DB,延长ED交AB于点F,探究AFAB的值.
(1)先将问题特殊化.如图(2),当∠BAC=60°时,直接写出AFAB的值;
(2)再探究一般情形.如图(1),证明(1)中的结论仍然成立.
问题拓展:如图(3),在△ABC中,AB=AC,D是AC的中点,G是边BC上一点,CGBC=1nnAE,即AB+AC>2AD.
(2)请根据乙提供的思路解决下列问题:
如图2,在△ABC中,D为BC的中点,AB=5,AC=3,AD=2.求△ABC的面积.
58.(2022·山东菏泽·统考一模)如图,某海岸线MN的方向为北偏东75°,甲,乙两船分别向海岛C运送物资,甲船从港口A处沿北偏东45°方向航行,乙船从港口B处沿北偏东30°方向航行,已知港口B到海岛C的距离为30海里,求港口A到海岛C的距离.
59.(2022·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测)桌面上的某创意可折叠台灯的平面示意图如图1所示,将其抽象成图2,量得∠DCB=60°,∠CDE=165°﹔灯杆CD的长为30cm,灯管DE的长为20cm,底座AB的厚度为3cm,不考虑其他因素,求台灯的高(点E到桌面的距离,结果保留根号).
60.(2022·河南周口·周口市第一初级中学校考模拟预测)如图,牧童在A处放牛,其家在C处,A、C到河岸L的距离分别为AB=2km,CD=4km且,BD=8km.
(1)牧童从A处将牛牵到河边P处饮水后再回到家C,试确定P在何处,所走路程最短?请在图中画出饮水的位置(保留作图痕迹),不必说明理由.
(2)求出(1)中的最短路程.
【考点13 直角三角形斜边的中线的性质】
61.(2022·湖南湘西·统考中考真题)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点D作DH⊥AB于点H,连接OH,OH=4,若菱形ABCD的面积为323,则CD的长为( )
A.4B.43C.8D.83
62.(2022·浙江宁波·统考中考真题)如图,在Rt△ABC中,D为斜边AC的中点,E为BD上一点,F为CE中点.若AE=AD,DF=2,则BD的长为( )
A.22B.3C.23D.4
63.(2022·宁夏银川·校考一模)如图,在▱ ABCD中,AB=5,BC=8.E是边BC的中点,F是▱ ABCD内一点,且∠BFC=90°. 连接AF并延长,交CD于点G.若,则DG的长为( )
A.52B.32C.3D.2
64.(2022·黑龙江·统考中考真题)如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,∠BAD=60°,AD=3,AH是∠BAC的平分线,CE⊥AH于点E,点P是直线AB上的一个动点,则OP+PE的最小值是________.
65.(2022·广西·统考中考真题)已知∠MON=α,点A,B分别在射线OM,ON上运动,AB=6.
(1)如图①,若α=90°,取AB中点D,点A,B运动时,点D也随之运动,点A,B,D的对应点分别为A′,B′,D′,连接OD,OD′.判断OD与OD′有什么数量关系?证明你的结论:
(2)如图②,若α=60°,以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC,求点O与点C的最大距离:
(3)如图③,若α=45°,当点A,B运动到什么位置时,△AOB的面积最大?请说明理由,并求出△AOB面积的最大值.
【考点14 三角形中位线的定理】
66.(2022·广东·模拟预测)如图,在矩形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,点G为EF的中点,连接BD、DG.
(1)试判断△ECF的形状,并说明理由;
(2)求∠BDG的度数.
67.(2022·山东菏泽·统考三模)如图1,在RtΔABC中,∠A=90°,AB=AC,点D、E分别在边AB、AC上,AD=AE,连结DC,点M、P、N分别为DE、DC、BC的中点.
(1)观察猜想图1中,线段PM与PN的数量关系是 ,位置关系是 ;
(2)探究证明把ΔADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,连结MN、BD、CE,判断ΔPMN的形状,并说明理由;
(3)拓展延伸把ΔADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出ΔPMN面积的最大值 .
68.(2022·福建厦门·统考模拟预测)如图,AM是△ABC的中线,D是线段AM上一动点(不与点A重合).DE∥AB交AC于点F,CE∥AM,连接AE.
(1)如图1,当点D与M重合时,求证:四边形ABDE是平行四边形;
(2)如图2,当点D不与M重合时,MG∥DE交CE于点G,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.
(3)如图3,延长BD交AC于点H,若BH⊥AC,且BH=AM,则∠CAM=_________.
69.(2022·湖南长沙·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考三模)如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,CE是AB边上的中线,DF⊥CE于F,CD=AE.
(1)求证:CF=EF;
(2)已知BC=13,CD=5,求△BEC的周长.
70.(2022·吉林长春·统考二模)(1)探究:如图(1),点P在线段AB上,在AB的同侧作△APC和△BPD,满足PC=PA,PD=PB,∠APC=∠BPD,连接CD,点E、F、G分别是AC、BD、CD边中点,连接EF、FG、EG.求证:∠EFG=∠GEF.
(2)应用:如图(2),点P在线段AB上方,∠APC=∠BPD=90°,图(1)题中的其他条件不变,若EF=2,则四边形ABDC的面积为 .
专题15 三角形及其性质(14个高频考点)(强化训练)
【考点1 三角形的三边关系】
1.(2022·湖南邵阳·统考中考真题)下列长度的三条线段能首尾相接构成三角形的是( )
A.1cm,2cm,3cmB.3cm,4cm,5cm
C.4cm,5cm,10cmD.6cm,9cm,2cm
【答案】B
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”,进行分析.
【详解】解:根据三角形的三边关系,知
A、1+2=3,不能组成三角形,故选项错误,不符合题意;
B、3+4>5,能够组成三角形,故选项正确,符合题意;
C、5+4<10,不能组成三角形,故选项错误,不符合题意;
D、2+6<9,不能组成三角形,故选项错误,不符合题意;
故选:B.
【点睛】此题考查了三角形的三边关系.解题的关键是看较小的两个数的和是否大于第三个数.
2.(2022·贵州遵义·统考二模)方程x2−7x+12=0的两根是一个等腰三角形的两边长,则这个三角形的周长为( )
A.10B.11C.12D.10或11
【答案】D
【分析】先解一元二次方程求出三角形的两边长,再分其中一条边长为底和腰两种情况,结合构成三角形的条件进行求解即可.
【详解】解:∵x2−7x+12=0,
∴x−3x−4=0,
解得x=3或x=4,
∴等腰三角形的两边长为3、4,
当边长为3的是腰长时,则三角形三边长分别为3、3、4,能构成三角形,
∴此时等腰三角形的周长为3+3+4=10;
当边长为3的是底边长时,则三角形三边长分别为3、4、4,能构成三角形,
∴此时等腰三角形的周长为3+4+4=11;
综上所述,这个三角形的周长为10或11,
故选D.
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程,等腰三角形的定义,构成三角形的条件,正确求出方程的两个解是解题的关键.
3.(2022·山东济南·统考二模)如果2、5、m是某三角形三边的长,则(m−3)2+(m−7)2等于_____.
【答案】4
【分析】根据三角形三边的关系得到3
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