专题3.2第一次月考阶段性测试 02（3月培优卷，八下苏科7-9章）-2023-2024学年八年级数学下学期期末复习高分攻略(苏科版)

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【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解析】解：A．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：B．
2．（2022秋•清江浦区校级期末）下列选项中，属于必然事件的是（ ）
A．明天太阳从东方升起
B．掷一次骰子，向上的一面是6点
C．经过某一有交通信号灯的路口，遇到红灯
D．从装有多个白球的箱子里取出两个红球
【分析】根据随机事件的定义对各选项进行逐一分析即可．
【解析】解：A．明天太阳从东方升起是必然事件，符合题意；
B．掷一次骰子，向上的一面是6点是随机事件，不符合题意；
C．从一个只装有黑球的袋子里摸出白球是不可能事件，不符合题意；
D．从装有多个白球的箱子里取出两个红球是随机事件，不符合题意．
故选：A．
3．（2022春•沭阳县月考）一个不透明的袋子里装有黄球18个和红球若干，小明通过多次摸球试验后发现摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子里有红球（ ）个．
A．6B．12C．18D．24
【分析】根据“大量重复试验中事件发生的频率逐渐稳定到的常数可以估计概率”直接写出答案即可．
【解析】解：设有红色球x个，
根据题意得：＝0.4，
解得：x＝12，
经检验，x＝12是分式方程的解且符合题意．
故选：B．
4．（2022秋•鼓楼区校级期末）为了解我市参加中考的5000名学生的身高情况，抽查了其中200名学生的身高进行统计分析．下列叙述正确的是（ ）
A．5000名学生是总体
B．从中抽取的200名学生的身高是总体的一个样本
C．每名学生是总体的一个个体
D．以上调查是全面调查
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解析】解：A．5000名学生的身高情况是总体，故本选项不合题意；
B．从中抽取的200名学生的身高是总体的一个样本，故本选项符合题意；
C．每名学生的身高情况是总体的一个个体，故本选项不合题意；
D．该调查是抽样调查，故本选项不合题意；
故选：B．
5．（2022春•海安市期中）已知四边形ABCD，下列条件能判断它是平行四边形的是（ ）
A．AB∥CD，AD＝BCB．∠A＝∠D，∠B＝∠C
C．AB∥CD，AB＝CDD．AB＝CD，∠A＝∠C
【分析】根据平行四边形的判定方法即可判断．
【解析】解：A、由AB∥CD，AD＝BC，无法判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、由∠A＝∠D，∠B＝∠C，无法判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
C、∵AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项符合题意；
D、由AB＝CD，∠A＝∠C，无法判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：C．
6．（2022秋•兴化市校级期末）嘉淇在一次实验中，把四张扑克牌洗匀后，背面向上放在桌面上，并从中随机抽取一张，记录牌面上的数字出现的频率，并制成折线统计图，则符合这个结果的实验可能是（ ）
A．牌面数字是2的倍数B．牌面数字是3的倍数
C．牌面数字是4的倍数D．牌面数字是5的倍数
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.25附近波动，即其概率P≈0.25，计算四个选项的概率，约为0.25者即为正确答案．
【解析】解：A、抽取的牌面数字是2的倍数的概率为＝1，故A选项不符合题意；
B、抽取的牌面数字是3的倍数的概率是；故B选项符合题意；
C、抽取的牌面数字是4的倍数的概率为＝，故C选项不符合题意；
D、抽取的牌面数字是5的倍数的概率为0，故D选项不符合题意．
故选：B．
7．（2021春•徐州期中）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，AC＝10，点F是DE上一点．DF＝1．连接AF，CF．若∠AFC＝90°，则BC的长度为（ ）
A．18B．16C．14D．12
【分析】根据直角三角形的性质求出EF，进而求出DE，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
【解析】解：∵∠AFC＝90°，点E是AC的中点，AC＝10，
∴EF＝AC＝×10＝5，
∵DF＝1，
∴DE＝DF+EF＝6，
∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴BC＝2DE＝12，
故选：D．
8．（2021春•江阴市校级月考）如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，连接GH，则线段GH的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】延长BG交CH于点E，根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE＝BE﹣BG＝2、HE＝CH﹣CE＝2、∠HEG＝90°，由勾股定理可得GH的长．
【解析】解：如图，延长BG交CH于点E，
∵AB＝CD＝10，BG＝DH＝6，AG＝CH＝8，
∴AG2+BG2＝AB2，
∴△ABG和△DCH是直角三角形，
在△ABG和△CDH中，
，
∴△ABG≌△CDH（SSS），
∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，
∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，
又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，
∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，
在△ABG和△BCE中，
，
∴△ABG≌△BCE（ASA），
∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°，
∴GE＝BE﹣BG＝8﹣6＝2，
同理可得HE＝2，
在Rt△GHE中，GH＝＝＝2，
故选：C．
二．填空题（共8小题）
9．（2022春•洪泽区月考）为估计种子的发芽率，做了10次试验，每次种了1000颗种子，发芽的种子都是950颗左右，预估该种子的发芽率是 95% ．
【分析】根据发芽率的意义，求出发芽的种子数占实验种子总数的百分比即可．
【解析】解：（950×10）÷（1000×10）×100%＝95%，
故答案为：95%．
10．（2022春•涟水县校级月考）为了了解我校初二学生在疫情期间在线学习情况，全校组织了一次数学检测，从中抽取100名考生的成绩进行统计分析，此项调查属于 抽样调查 （填“普查”或“抽样调查”）．
【分析】根据抽样调查的定义：为一特定目的面对部分考查对象所做的调查叫做抽样调查．
【解析】解：根据题意“从中抽取100名考生的成绩进行统计分析”，
可知此项调查属于抽样调查，
故答案为：抽样调查．
11．（2022春•天宁区校级期中）把50个数据分成五组，第一、二、三、四、五组的数据个数分别是8，15，x，12，5．则第三组的频率为 0.2 ．
【分析】根据各小组频数之和等于数据总和，即可求得第三组的频数；再根据频率＝频数÷总数，进行计算．
【解析】解：根据题意，得：
第三组数据的个数x＝50﹣（8+15+12+5）＝10，
故第三组的频率为10÷50＝0.2．
故答案为：0.2．
12．（2022秋•海门市期末）如图，在△ABC中，∠CAB＝70°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AED的位置．若CE∥AB，则∠BAD＝ 40 °．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACB＝∠CAB，根据旋转的性质可得AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，再根据等腰三角形两底角相等列式求出∠CAE，然后求出∠DAB＝∠CAE，从而得解．
【解析】解：∵CE∥AB，
∴∠ACB＝∠CAB＝70°，
∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AED，
∴AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠CAE＝180°﹣70°×2＝40°，
∵∠CAE+∠CAD＝∠DAE，
∠DAB+∠CAD＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠CAE＝40°．
故答案为：40．
13．（2022春•淮阴区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若菱形ABCD的面积为24cm2，OA＝4cm，则AB＝ 5 cm．
【分析】根据菱形的性质得到AC＝2OA＝2OC＝8，OB＝OD，AC⊥BD，根据菱形的面积公式求得BD＝6，根据勾股定理即可得到结论．
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC＝2OA＝8cm，OB＝OD，AC⊥BD，
∵菱形ABCD的面积＝AC•BD＝24cm2，
∴BD＝6cm，
∴OB＝OD＝3cm，
∴AB＝＝5cm．
故答案为：5．
14．（2022春•如皋市校级月考）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为 ．
【分析】根据正方形的对角线互相垂直可得OA⊥OD，对角线平分一组对角可得∠OAD＝45°，然后求出四边形OEPF为矩形，△AEP是等腰直角三角形，再根据矩形的对边相等可得PF＝OE，根据等腰直角三角形的性质可得PE＝AE，从而得到PE+PF＝OA，然后根据正方形的性质解答即可．
【解析】解：在正方形ABCD中，OA⊥OD，∠OAD＝45°，AD＝CD＝2，OA＝AC，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴四边形OEPF为矩形，△AEP是等腰直角三角形，
∴PF＝OE，PE＝AE，
∴PE+PF＝AE+OE＝OA，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴OA＝AC＝．
故答案为：．
15．（2022春•丹阳市校级月考）将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为，如图2，将Rt△BCD沿射线BD方向平移，在平移的过程中，当点B的移动距离为 1 时，四边形ABC1D1为矩形．
【分析】当点B的移动距离为时，∠C1BB1＝60°，则∠ABC1＝90°，根据有一直角的平行四边形是矩形，可判定四边形ABC1D1为矩形．
【解析】解：如图：
当四边形ABC1D是矩形时，∠B1BC1＝90°﹣30°＝60°，
∵B1C1＝，
∴BB1＝，
当点B的移动距离为1时，四边形ABC1D1为矩形，
故答案为：1．
16．（2021春•建湖县月考）如图，线段AB的长为8，点D在AB上，△ACD是边长为3的等边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为 4 ．
【分析】连接AO，根据矩形对角线相等且互相平分得：OC＝OD，再证明△ACO≌△ADO，则∠OAB＝30°；点O一定在∠CAB的平分线上运动，根据垂线段最短得：当OB⊥AO时，OB的长最小，根据直角三角形30度角所对的直角边是斜边的一半得出结论．
【解析】解：连接AO，
∵四边形CDGH是矩形，
∴CG＝DH，OC＝CG，OD＝DH，
∴OC＝OD，
∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD，∠CAD＝60°，
在△ACO和△ADO中，
，
∴△ACO≌△ADO（SSS），
∴∠OAB＝∠CAO＝30°，
∴点O一定在∠CAB的平分线上运动，
∴当OB⊥AO时，OB的长度最小，
∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，
∴OB＝AB＝×8＝4，
即OB的最小值为4，
故答案为：4．
三．解答题（共10小题）
17．（2022春•溧水区期中）某种油菜籽在相同条件下的发芽试验的结果如下：
（1）上表中a＝ 0.70 ，b＝ 0.70 ；
（2）请估计，当n很大时，频率将会接近 0.70 ；
（3）这种油菜籽发芽的概率的估计值是多少？请简要说明理由；
（4）如果该种油菜籽发芽后的成秧率为90%，则在相同条件下用10000粒该种油菜籽估计可得到油菜秧苗多少棵？
【分析】（1）用发芽的粒数m÷每批粒数n即可得到发芽的频率；
（2）根据估计得出频率即可；
（3）6批次种子粒数从100粒逐渐增加到1000粒时，种子发芽的频率趋近于0.7，所以估计当n很大时，频率将接近0.7；
（4）首先计算发芽的种子数，然后乘以90%计算得到油菜秧苗的棵数即可．
【解析】解：（1）a＝＝0.70，b＝＝0.70；
故答案为：0.70；0.70；
（2）当n很大时，频率将会接近0.70；
故答案为：0.70；
（3）这种油菜籽发芽的概率估计值是0.70，理由：在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值；
（4）10000×0.70×90%＝6300（棵），
答：10000粒该种油菜籽可得到油菜秧苗6300棵．
18．（2022•鼓楼区校级二模）疫情期间，学校开通了教育互联网在线学习平台．为了解学生使用电子设备种类的情况，小淇设计了调查问卷，对该校七（1）班和七（2）班全体同学进行了问卷调查，发现使用了三种设备：A（平板）、B（电脑）、C（手机），根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题．
（1）此次被调查的学生总人数为 100 ；
（2）求扇形统计图中代表类型C的扇形的圆心角，并补全折线图；
（3）若该校七年级学生共有1000人，试根据此次调查结果，估计该校七年级学生中类型C学生约有多少人．
【分析】（1）先由折线统计图得到偶尔使用的学生有58人，再由扇形统计图得到了解很少的学生所占的百分比，然后用58除以这个百分比即可得到接受问卷调查的学生人数；
（2）先用总数分别减去其它三组的人数得到C的学生数，再补全折线统计图；用c部分所占的百分比乘以360°即可得到c部分所对应扇形的圆心角的大小；
（3）利用样本中c程度的百分比表示该校这两项所占的百分比，然后用1000乘以这个百分比即可得到c程度的总人数的估计值．
【解析】解：（1）由扇形统计图知B类型人数所占比例为58%，从折线图知B类型总人数＝26+32＝58（人），
所以此次被调查的学生总人数＝58÷58%＝100（人）；
（2）由折线图知A人数＝18+14＝32人，故A的比例为32÷100＝32%，
所以C类比例＝1﹣58%﹣32%＝10%，
所以类型C的扇形的圆心角＝360°×10%＝36°，
C类人数＝10%×100﹣2＝8（人），补全折线图如下：
（3）1000×10%＝100（人），
答：估计该校七年级学生中类型C学生约有100人．
19．（2022春•洪泽区校级月考）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，如果∠ACB＝36°，求∠E的度数．
【分析】由矩形的性质得AC＝BD，而CE＝BD，则AC＝CE，所以∠CAE＝∠E，则∠ACB＝∠CAE+∠E＝2∠E＝36°，即可求得∠E＝18°．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∵CE＝BD，
∴AC＝CE，
∴∠CAE＝∠E，
∴∠ACB＝∠CAE+∠E＝2∠E，
∵∠ACB＝36°，
∴2∠E＝36°，
∴∠E＝18°，
∴∠E的度数是18°．
20．（2020春•灌云县期中）如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．
（1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
（2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；
（3）在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
【分析】（1）平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
（2）等腰梯形是轴对称图形但不是中心对称图形；
（3）正方形既是轴对称图形又是中心对称图形．
【解析】解：（1）甲图：平行四边形，
（2）乙图：等腰梯形，
（3）丙图：正方形．
21．（2022秋•宁阳县期末）在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的位置如图所示，先作△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1向上平移4个单位长度得到△A2B2C2．
（1）画出△A1B1C1和△A2B2C2；
（2）△A2B2C2与△ABC关于某点成中心对称，直接写出对称中心的坐标是 （0，2） ；
（3）已知P为x轴上一点．若△ABP的面积为3，直接写出点P的坐标 （﹣1，0）或（﹣5，0） ．
【分析】（1）利用中心对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，描点得到△A1B1C1，利用点平移的坐标特征写出A2、B2、C2的坐标，然后描点得到△A2B2C2；
（2）连接AA2、BB2、CC2，它们相交于Q点，则Q点为对称中心；
（3）设P点坐标为（t，0），利用三角形面积公式得到×|t+3|×3＝3，然后解得P点坐标．
【解析】解：（1）如图，△A1B1C1和△A2B2C2为所作；
（2）如图，△A2B2C2与△ABC关于Q点成中心对称，Q点的坐标为（0，2）；
故答案为（0，2）
（3）设P点坐标为（t，0），
∵△ABP的面积为3，
∴×|t+3|×3＝3，解得t1＝﹣1，t2＝﹣5，
∴P点坐标为（﹣1，0）或（﹣5，0）．
故答案为（﹣1，0）或（﹣5，0）．
22．（2022春•姜堰区校级月考）如图，E，E是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．
求证：（1）△CFD≌△AEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．
【分析】（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS），这一判定定理容易证明△AFD≌△CEB．
（2）由△CFD≌△AEB，容易证明DC＝AB，DC∥AB，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【解析】证明：（1）∵DF∥BE，
∴∠DFE＝∠BEF．
∴∠DFC＝∠BEA，
∵AF＝CE，
∴AF﹣EF＝CE﹣EF，即CF＝AE，
在△CDF和△ABE中，
，
∴△CFD≌△AEB（SAS）；
（2）由（1）知△CFD≌△AEB，
∴∠DAF＝∠BAE，DC＝AB，
∴DC∥AB．
∴四边形ABCD是平行四边形．
23．（2022春•宜兴市校级月考）如图，点E是矩形ABCD的边BA延长线上一点，连接ED，EC，EC交AD于点G，作CF∥ED交AB于点F，DC＝DE．
（1）求证：四边形CDEF是菱形；
（2）若BC＝3，CD＝5，求AG的长．
【分析】（1）根据矩形性质先证明四边形CDEF是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可解决问题；
（2）连接GF，根据菱形的性质证明△CDG≌△CFG，然后根据勾股定理即可解决问题．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵CF∥ED，
∴四边形CDEF是平行四边形，
∵DC＝DE．
∴四边形CDEF是菱形；
（2）解：如图，连接GF，
∵四边形CDEF是菱形，
∴CF＝CD＝5，
∵BC＝3，
∴BF＝＝＝4，
∴AF＝AB﹣BF＝5﹣4＝1，
在△CDG和△CFG中，
，
∴△CDG≌△CFG（SAS），
∴FG＝GD，
∴FG＝GD＝AD﹣AG＝3﹣AG，
在Rt△FGA中，根据勾股定理，得
FG2＝AF2+AG2，
∴（3﹣AG）2＝12+AG2，
解得AG＝．
24．（2022春•海陵区期末）如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN，交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F．给出下列信息：①MN∥BC；②OE＝OC；③OF＝OC．
（1）请在上述3条信息中选择其中一条作为条件，证明：OE＝OF；
（2）在（1）的条件下，连接AE、AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．
【分析】（1）由平行线的性质和角平分线定义得∠OEC＝∠ACE，∠OFC＝∠ACF，则OE＝OC，OF＝OC，即可得出结论；
（2）先证四边形AECF是平行四边形，再证∠ECF＝90°，即可得出结论．
【解析】解：（1）选择MN∥BC，理由如下：
∵MN∥BC，
∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF，
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE＝∠ACE，∠DCF＝∠ACF，
∴∠OEC＝∠ACE，∠OFC＝∠ACF，
∴OE＝OC，OF＝OC，
∴OE＝OF；
（2）当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，理由如下：
当O为AC的中点时，AO＝CO，
由（1）可知，OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠BCE，∠ACF＝∠DCF，
∴∠ACE+∠ACF＝×180°＝90°，
即∠ECF＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
25．（2019秋•南通期中）阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ 150° ；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；
（3）能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．
【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答；
（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，根据旋转的性质可得AE′＝AE，CE′＝CE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，再求出∠E′AF＝45°，从而得到∠EAF＝∠E′AF，然后利用“边角边”证明△EAF和△E′AF全等，根据全等三角形对应边相等可得E′F＝EF，再利用勾股定理列式即可得证．
（3）将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB＝2AC，即A′B的长，再根据旋转的性质求出△BOO′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO＝OO′，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO′＝∠BO′O＝60°，然后求出C、O、A′、O′四点共线，再利用勾股定理列式求出A′C，从而得到OA+OB+OC＝A′C．
【解析】解：（1）∵△ACP′≌△ABP，
∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，
由题意知旋转角∠PA P′＝60°，
∴△AP P′为等边三角形，
P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°，
易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°；
故答案为：150°；
（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，
由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAF＝∠E′AF，
在△EAF和△E′AF中，
∴△EAF≌△E′AF（SAS），
∴E′F＝EF，
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，
由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，
即EF2＝BE2+FC2．
（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2，
∴BC＝，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，
∴△A′O′B如图所示；
∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，
∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，
∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，
在Rt△A′BC中，A′C＝，
∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝．
26．（2020秋•清江浦区期末）问题背景
定义：若两个等腰三角形有公共底边，且两个顶角的和是180°，则称这两个三角形是关于这条底边的互补三角形．如图1，四边形ABCD中，BC是一条对角线，AB＝AC，DB＝DC，且∠A+∠D＝180°，则△ABC与△DBC是关于BC的互补三角形．
（1）初步思考：如图2，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，D、E为△ABC外两点，EB＝EC，∠EBC＝45°，△DBC为等边三角形．则△ABC关于BC的互补三角形是 △BCD ，并说明理由．
（2）实践应用：如图3，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝10．点E在AB边上，点F在AD边上，若△BEF与△BCF是关于BF互补三角形，试求AE的长．
（3）思维探究：如图4，在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝10．点E是线段AB上的动点，点P是平面内一点，△BEP与△BCP是关于BP的互补三角形，直线CP与直线AD交于点F．在点E运动过程中，线段BE与线段AF的长度是否会相等？若相等，请直接写出AE的长；若不相等，请说明理由．
【分析】（1）根据互补三角形的定义即可判断．
（2）根据互补三角形可得BE＝FE，BC＝FC，在Rt△FDC中用勾股定理可计算出FD的长度，进而得到AF的长，然后设AE＝x，则BE＝EF＝8﹣x，然后用勾股定理列方程计算即可；
②分四种情形：如图4﹣1中，当BE＝AF时．如图4﹣2中，当BE＝BC＝AF时，此时点F与D重合．如图4﹣3中，当BE＝AF时．如图4﹣4中，当BE＝CB＝AF时，点F与点D重合，分别求解即可解决问题．
【解析】解：（1）如图2中，
∵△BDC是等边三角形，
∴∠D＝60°，
∵AB＝AC，∠ABC＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∴∠A+∠D＝180°，
∴则△ABC关于BC的互补三角形是△BCD，
故答案为：△BCD；
（2）∵△BEF与△BCF是关于BF互补三角形，
∴BE＝FE，BC＝FC，
在长方形ABCD中，AB＝8，AD＝10，
∴CD＝AB＝8，CB＝CF＝10，
∴DF＝AB，
∴AF＝AD﹣DF＝4，
设AE＝x，则BE＝EF＝8﹣x，
∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，
∴AE＝3；
（3）如图4﹣1中，当BE＝AF时，设AE＝x，连接EF．
∵BE＝EP＝AF，EF＝EF，∠EAF＝∠FPE＝90°，
∴Rt△EAF≌Rt△FPE（HL），
∴PF＝AE＝x，
在Rt△DCF中，DF＝10﹣（8﹣x）＝2+x，CD＝8，CF＝10﹣x，
∴（10﹣x）2＝82+（2+x）2，
解得x＝，
∴AE＝，
如图4﹣2中，当BE＝BC＝AF时，此时点F与D重合，可得AE＝BE﹣AB＝10﹣8＝2．
如图4﹣3中，当BE＝AF时，设AE＝x，
同法可得PF＝AE＝x，
在Rt△CDF中，则有（10+x）2＝82+（18﹣x）2，
解得x＝，
∴AE＝，
如图4﹣4中，当BE＝CB＝AF时，点F与点D重合，此时AE＝AB+BE＝AB+BC＝18．
综上所述，满足条件的AE的值为或2或或18．
每批粒数n
100
150
200
500
800
1000
发芽的粒数m
65
111
136
345
560
700
发芽的频率
0.65
0.74
0.68
0.69
a
b