专题2.12反比例函数与几何压轴大题专练（分层培优强化40题）-2023-2024学年八年级数学下学期期末复习高分攻略(苏科版)

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1．（2023•钟楼区校级模拟）【阅读理解】对于任意正实数a、b，
∵，
∴a+b﹣2≥0，
∴a+b≥2只有当a＝b时，等号成立．
【数学认识】：
在a+b≥2（a、b均为正实数）中，若ab为定值，则a+b≥2，只有当a＝b时，a+b有最小值2．
【解决问图】：
（1）若x＞0时，当x＝ 1 时，有最小值为 2 ．
（2）如图，已知点A是反比例函数的图象在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一支于点B．以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限，记点C的运动轨迹为l．过点A作AD∥y轴交l于点D，过点A作AM⊥y轴于点M，过点D作DN⊥y轴于点N，求四边形ADNM周长的最小值．
【分析】（1）直接运用公式可得答案；
（2）过点C作CE⊥y轴于点E，则四边形AMND是矩形，利用等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质可得S△OCE＝3S△AOM＝，则点C在双曲线y＝﹣上运动，设A（m，），则C（m，﹣），表示出AM+AD的长，利用公式可得AM+AD的最小值，从而解决问题．
【解答】解：（1）∵x+≥2＝2，
当x＝时，x+有最小值为2，
∴x＝1，
故答案为：1，2；
（2）∵OA＝OB，△ABC是等边三角形，
∴OC⊥AB，OC＝OA，
过点C作CE⊥y轴于点E，则四边形AMND是矩形，
∴∠AOC＝90°，
∴∠AOM+∠COE＝90°，
∵∠AOM+∠OAM＝90°，
∴∠OAM＝∠COE，
∵∠AMO＝∠CEO，
∴△AMO∽△OEC，
∴S△OCE＝3S△AOM＝，
∴点C在双曲线y＝﹣上运动，
设A（m，），则C（m，﹣），
∴AM＝m，AD＝，
∴m+≥2＝4，
∴AM+AD的最小值为4，
∴四边形ADNM周长的最小值为8．
2．（2023•高新区模拟）平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数y＝kx﹣2k图象交于A、B两点（点A在点B左侧）．
（1）求A、B两点的坐标（用含k的代数式表示）；
（2）当k＝2时，过y轴正半轴上一动点C（0，n）作平行于x轴的直线，分别与一次函数y＝kx﹣2k、反比例函数的图象相交于D、E两点，若CD＝3DE，求n的值；
（3）若一次函数y＝kx﹣2k图象与x轴交于点F，AF+BF≤5，直接写出k的取值范围．
【分析】（1）将两个解析式联立求解，即可得到A、B的坐标；
（2）因为过C（0，n）的直线平行与x轴，可得点D、E的纵坐标都为n．将y＝n代入y＝2x﹣4和，得和，分当0＜n＜2时和当n＞2时两种情况，分别表示出CD与DE，根据CD＝3DE列方程即可求解；
（3）结合（1），根据AF+BF≤5，即AB≤5，得到关于k的不等式，即可求解．
【解答】解：（1）联立解析式得：，
解得或，
∵点A在点B左侧，
∴A（﹣1，﹣3k），B（3，k）；
（2）∵k＝2，
∴反比例函数与一次函数的解析式为和y＝2x﹣4，点B（3，2），
∵过C（0，n）的直线平行于x轴，
∴点D、E的纵坐标都为n．
将y＝n代入y＝2x﹣4和，
得：xD＝+2，xE＝，
当0＜n＜2时，如图：
∴CD＝+2，DE＝﹣﹣2，
∵CD＝3DE，
∴+2＝3（﹣﹣2），
整理，得n2+4n﹣9＝0，
解得n＝﹣2+或n＝﹣2﹣（舍去）；
∴n＝﹣2+；
当n＞2时，如图：
，，
∴CD＝+2，DE＝2+﹣，
∵CD＝3DE，
∴+2＝3（2+﹣），
整理，得n2+4n﹣18＝0，
解得n＝﹣2+或n＝﹣2﹣（舍去），
∴n＝﹣2+，
综上所述：n的值为或；
（3）由（1）知A（﹣1，﹣3k），B（3，k），
∵AF+BF≤5，AF+BF＝AB，
∴AB≤5，
∴≤5，
整理，得k2≤，
∴﹣≤k≤，
∴k的取值是﹣≤k≤，且k≠0．
3．（2022春•海陵区校级期末）定义：平面直角坐标系内的矩形若满足以下两个条件：①各边平行于坐标轴：②有两个顶点在同一反比例函数图象上，我们把这个矩形称为该反比例函数的“伴随矩形”．
例如，图1中，矩形ABCD的边AD∥BC∥x轴，AB∥CD∥y轴，且顶点A、C在反比例函数（k≠0）的图象上，则矩形ABCD是反比例函数的“伴随矩形”．
解决问题：（1）已知，矩形ABCD中，点A、C的坐标分别为：①A（﹣3，8），C（6，﹣4）；②A（1，5），C（2，3）；③A（3，4），C（2，6），其中可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是 ①③ ；（填序号）
（2）如图1，点B（2，1.5）是某比例系数为8的反比例函数的“伴随矩形”ABCD的顶点，求直线BD的函数解析式；
（3）若反比例函数“伴随矩形”ABCD如图2所示，试说明有一条对角线所在的直线一定经过原点．
【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标的特征可得答案；
（2）根据矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标的特征可得（2，4），C（，），从而得出点D的坐标，再利用待定系数法可得直线BD的解析式；
（3）设A（m，），C（n，），则B（m，），D（n，），利用待定系数法求出直线BD的解析式可得答案．
【解答】（1）解：①∵A（﹣3，8），C（6，﹣4），
∴﹣3×8＝﹣24，6×（﹣4）＝﹣24，
∴A、C满足同一个反比例函数，
②∵A（1，5），C（2，3），
∴1×5＝5，2×3＝6，
∴A、C不满足同一个反比例函数，
③∵A（3，4），C（2，6），
∴3×4＝12，2×6＝12，
∴A、C满足同一个反比例函数，
∴可能是某反比例函数的“伴随矩形”的是①③，
故答案为：①③；
（2）解：∵点B（2，1.5）是某比例系数为8的反比例函数的“伴随矩形”ABCD的顶点，
∴A（2，4），C（，），
∴D（，4），
设直线BD的解析式为y＝ax+b，
则，
∴，
∴y＝x；
（3）证明：∵A、C在反比例函数（k≠0）上，
设A（m，），C（n，），则B（m，），D（n，），
设直线BD的解析式为＝cx+d，
则，
∴，
即y＝x，
∴直线BD过原点．
4．（2023•海陵区一模）如图，动点P在函数y＝（x＞0）的图象上，过点P分别作x轴和y轴的平行线，交函数y＝的图象于点A、B，连接AB、OA、OB，设点P横坐标为a．
（1）直接写出点P、A、B的坐标（用a的代数式表示）；
（2）点P在运动的过程中，△AOB的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；
（3）在平面内有一点Q（，1），且点Q始终在△PAB的内部（不包含边），求a的取值范围．
【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标的特征可表示出点P、A、B的坐标；
（2）由点P、A、B的坐标，可知PA、PB的长度，从而得出答案；
（3）利用待定系数法表示出直线AB的解析式，根据点P始终点AB的上方，得出a的不等式，从而解决问题．
【解答】解：（1）∵点P在函数y＝（x＞0）的图象上，点P横坐标为a．
∴P（a，），
∵PA∥x轴，PB∥y轴，
∴B（a，﹣），A（﹣）；
（2）是定值，理由如下：
∵PA＝a﹣（﹣）＝，PB＝﹣（﹣）＝，
∴△APB的面积为×PA×PB＝＝，
∵S四边形AOBP＝3+1＝4，
∴△AOB的面积为定值4﹣＝；
（3）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
将点B（a，﹣），A（﹣）代入得，
k＝﹣，b＝，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣，
当x＝时，y＝﹣，
∵点Q始终在△PAB的内部，
∴﹣＜1，且＞1，且a＞，
解得a≠1，且＜a＜3，
综上：＜a＜3且a≠1．
5．（2022春•工业园区校级期中）如图，在平面直角坐标系第一象限中，已知点A坐标为（1，0），点D坐标为（1，3），点G坐标为（1，1），动点E从点G出发，以每秒1个单位长度的速度匀速向点D方向运动，与此同时，x轴上动点B从点A出发，以相同的速度向右运动，两动点运动时间为t（0＜t＜2），以AD、AB分别为边作矩形ABCD，过点E作双曲线交线段BC于点F，作CD中点M，连接BE、EF、EM、FM．
（1）当t＝1时，求点F的坐标．
（2）若BE平分∠AEF，则t的值为多少？
（3）若∠EMF为直角，则t的值为多少？
【分析】（1）由题意可得点E（1，2），可得双曲线解析式：y＝，即可求点F坐标；
（2）由平行线的性质和角平分线的性质可得EF＝BF＝1，即可求t的值；
（3）延长EM，BC交于点N，由“AAS”可证△DEM≌△CNM，可得EM＝MN，DE＝CN＝2﹣t，由“SAS”可证△EMF≌△NMF，可得EF＝NF，即可求t的值．
【解答】解：（1）当t＝1时，EG＝1×1＝1＝AB
∴点E（1，2）
设双曲线解析式：y＝
∴k＝1×2＝2
∴双曲线解析式：y＝
∵OB＝OA+AB＝2，
∴当x＝2时，y＝1，
∴点F（2，1）
（2）∵EG＝AB＝t，
∴点E（1，1+t），点B（1+t，0）
设双曲线解析式：y＝
∴m＝1+t
∴双曲线解析式：y＝
当x＝1+t时，y＝1
∴点F（1+t，1）
∵BE平分∠AEF
∴∠AEB＝∠BEF，
∵AD∥BC
∴∠AEB＝∠EBF＝∠BEF
∴EF＝BF＝1
∴＝t＝1
∴t＝
（3）延长EM，交于BC的延长线于点N，
∵EG＝AB＝t，
∴点E（1，1+t），点B（1+t，0）
∴DE＝AD﹣AE＝3﹣（1+t）＝2﹣t，
设双曲线解析式：y＝
∴n＝1+t
∴双曲线解析式：y＝
当x＝1+t时，y＝1
∴点F（1+t，1）
∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠NCD，∠DEM＝∠MNC，且DM＝CM，
∴△DEM≌△CNM（AAS）
∴EM＝MN，DE＝CN＝2﹣t，
∵CF＝BC﹣BF＝2
∴NF＝CF+CN＝2﹣t+2＝4﹣t，
∵∠EMF为直角，
∴∠EMF＝∠NMF＝90°，且EM＝MN，MF＝MF，
∴△EMF≌△NMF（SAS），
∴EF＝NF，
∴t＝4﹣t
∴t＝4﹣4
6．（2022春•盱眙县期末）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图象上，OA＝4，OC＝3，动点P在x轴的上方，且满足S△PAO＝S矩形AOCB．
（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
（2）连接PO、PA，求PO+PA的最小值；
（3）若点Q是平面内一点，使得以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形，则请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．
【分析】（1）首先根据点B坐标，确定反比例函数的解析式，设点P的纵坐标为m（m＞0），根据S△PAO＝，构建方程即可解决问题；
（2）过点（0，2），作直线l⊥y轴．由（1）知，点P的纵坐标为2，推出点P在直线l上作点O关于直线l的对称点O′，则OO′＝4，连接AO′交直线l于点P，此时PO+PA的值最小；
（3）分四种情形分别求解即可解决问题；
【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，OA＝4，OC＝3，
∴点B的坐标为（4，3），
∵点B在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图象上
∴k＝12，
∴y＝，
设点P的纵坐标为m（m＞0），
∵S△PAO＝．
∴•OA•m＝OA•OC•，
∴m＝2，
当点，P在这个反比例函数图象上时，则2＝，
∴x＝6
∴点P的坐标为（6，2）．
（2）过点（0，2），作直线l⊥y轴．
由（1）知，点P的纵坐标为2，
∴点P在直线l上
作点O关于直线l的对称点O′，则OO′＝4，
连接AO′交直线l于点P，此时PO+PA的值最小，
则PO+PA的最小值＝PO′+PA＝O′A＝＝4．
（3）
①如图2中，当四边形ABQP是菱形时，易知AB＝AP＝PQ＝BQ＝3，P1（4﹣，2），P2（4+，2），
∴Q1（4﹣，5），Q2（4+，5）．
②如图3中，当四边形ABPQ是菱形时，P3（4﹣2，2），P4（4+2，2），
∴Q3（4﹣2，﹣1），Q4（4+2，﹣1）．
综上所述，点Q的坐标为Q1（4﹣，5），Q2（4+，5），Q3（4﹣2，﹣1），Q4（4+2，﹣1）．
7．（2022春•工业园区校级期中）如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC，A（﹣3，0），B（0，1），C（m，n）．
（1）请直接写出C点坐标．
（2）将△ABC沿x轴的正方向平移t个单位，B′、C′两点的对应点、正好落在反比例函数y＝在第一象限内图象上．请求出t，k的值．
（3）在（2）的条件下，问是否存在x轴上的点M和反比例函数y＝图象上的点N，使得以B′、C′，M，N为顶点的四边形构成平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点M和点N的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）由在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A＝90°，AB＝AC，可证得△ADC≌△BOA，继而求得C点坐标；
（2）首先设向右平移了t个单位长度，则点B′的坐标为（t，1）、C′的坐标为（t﹣4，3），由B′、C′正好落在某反比例函数图象上，即可得t＝3（t﹣4），继而求得m的值，则可求得各点的坐标，于是得到结论；
（3）如图2，当MN为平行四边形MC′NB′的对角线时，如图3，当MC′为平行四边形MC′NB′的对角线时，如图4，当MB′为平行四边形MC′NB′的对角线时，根据中点坐标公式即可得到结论．
【解答】解：（1）如图1，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠ADC＝∠AOB＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∵Rt△ABC，∠A＝90°，
∴∠DAC+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠ACD，
在△ADC和△BOA中，
，
∴△ADC≌△BOA（AAS），
∴AD＝OB＝1，CD＝OA＝3，
∴OD＝OA+AD＝4，
∴C点坐标为：（﹣4，3）；
（2）设向右平移了t个单位长度，则点B′的坐标为（t，1）、C′的坐标为（t﹣4，3），
∵B′、C′正好落在某反比例函数图象上，
∴t＝3（t﹣4），
解得：t＝6，
∴B′（6，1），C′（2，3），
∴k＝6，
∴反比例函数的解析式为：y＝；
（3）存在，如图2，当MN为平行四边形MC′NB′的对角线时，
由平行四边形的对角线互相平分，可知B′C′，MN的中点为同一个点，
即＝，
∴yN＝4代入y＝得xN＝1.5，
∴N（1.5，4）；
∵＝，
∴xM＝6.5，
∴M（6.5，0）；
如图3，当MC′为平行四边形MC′NB′的对角线时，同理可得M（7，0），N（3，2）；
如图4，当MB′为平行四边形MC′NB′的对角线时，同理可得M（﹣7，0），N（﹣3，﹣2）；
综上所述：存在M（6.5，0），N（1.5，4）或M（7，0），N（3，2）或M（﹣7，0），N（﹣3，﹣2），使得以B′、C′，M，N为顶点的四边形构成平行四边形．
8．（2023春•姜堰区月考）如图，点A和点E（2，1）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，点B在反比例函数y＝（x＜0）的图象上，分别过点A，B作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，AC＝BD，连接AB交y轴于点F．
（1）求反比例函数y＝的关系式；
（2）设点A的横坐标为a，点F的纵坐标为m，求am的值；
（3）连接CE，DE，当∠CED＝90°时，求点A的坐标．
【分析】（1）将E点坐标代入函数解析式即可求得k值；
（2）根据AAS可证△BDF≌△ACF，根据全等三角形面积相等即可得证结论；
（3）设A点坐标为（a，），则可得C、D的坐标，根据勾股定理求出a值，即可求得A点的坐标．
【解答】（1）解：∵点E（2，1）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的点，
∴k＝1，
解得：k＝2，
故反比例函数的关系式为：y＝；
（2）证明：在△ACF和△BDF中，
∵∠ACF＝∠BDF，∠CFA＝∠BFD，AC＝BD，
∴△ACF≌△BDF（AAS），
∴S△BDF＝S△ACF，
∵点A坐标为（a，），则可得C（0，），
∴AC＝a，OC＝，
即a×（﹣m）＝a×（+m），
整理得am＝﹣2；
（3）解：设A点坐标为（a，），
则C（0，），D（0，﹣），
∵E（2，1），∠CED＝90°，
∴CE2+DE2＝CD2，
即22+（1﹣）2+22+（1+）2＝（+）2，
解得a＝﹣2（舍去）或a＝，
∴A点的坐标为：（，）．
9．（2022春•亭湖区校级期中）如图，菱形OABC的点B在y轴上，点C坐标为（8，6），双曲线的图象经过点A．
（1）菱形OABC的边长为 10 ；
（2）求双曲线的函数关系式；
（3）点B关于点O的对称点为D点，过D作直线l垂直于x轴，点P是直线l上一个动点，
①将点P绕点A逆时针旋转90°得点Q，当点Q落在双曲线上时，求点Q的坐标．
②点E在双曲线上，当P、E、A、B四点构成平行四边形时，求点E的坐标．
【分析】（1）连接AC交y轴于点J，根据菱形的性质得AC⊥OB，AJ＝JC，OJ＝BJ，根据点C的坐标得AJ＝JC＝8，OJ＝BJ＝6，根据勾股定理即可得；
（2）先求出点A的坐标，然后用待定系数法即可求出反比例函数解析式；
（3）①过点A作AT⊥PD，过点Q作QR⊥AT，先求出AT＝18，，然后证明△APT≌△QAR得到AT＝RQ＝18，即可得点Q的横坐标；②分别以AB为以P、E、A、B四点构成平行四边形的边和对角线两种情况讨论求解即可得．
【解答】解：（1）如图1中，连接AC交y轴于点J，
∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB，AJ＝JC，OJ＝BJ，
∵点C的坐标为（8，6），
∴AJ＝JC＝8，OJ＝BJ＝6，
∴，
即菱形OABC的边长为10，
故答案为：10．
（2）∵AJ＝JC，OJ＝BJ，
∴点A的坐标为（﹣8，6），
∵反比例函数经过点A（﹣8，6），
∴，k＝﹣48，
∴反比例函数解析式为；
（3）①如图2中，过点A作AT⊥PD，过点Q作QR⊥AT，
∵OJ＝BJ＝6，
∴OB＝12，
∴点B的坐标为（0，12），
∴点D的坐标为（0，﹣12），
∴直线l为y＝﹣12，
∵点A的坐标为（﹣8，6），直线l为y＝﹣12，
∴AT＝18，
∵∠ATP＝∠QRA＝∠PAQ＝90°，
∴∠PAT+∠APT＝90°，∠PAT+∠QAR＝90°，
∴∠APT＝∠QAR，
∵AP＝QA，
∴△APT≌△QAR（AAS），
∴AT＝RQ＝18，
∴点Q的横坐标为10，
∵点Q在反比例函数上，
∴，
∴点Q的坐标为；
②设点E的坐标为，点P的坐标为（a，﹣12），
当AB是以P、E、A、B四点构成平行四边形的对角线时，
∵线段AB与线段PE的中点坐标相同，
∴，
解得，，
∴点E的坐标为，
如图所示，当AB为平行四边形的边时，即以P、E、A、B四点构成平行四边形为ABE'P'时，
∵AE'与BP'的中点坐标相同时，
∴，
解得，m＝8，
∴E'的坐标为（8，﹣6），
同理可求出当AB为平行四边形的边时，即以P、E、A、B四点构成平行四边形为ABE''P''时，点E''的坐标为，
综上，当点E坐标为或（8，﹣6）或时，以P、E、A、B四点构成的四边形是平行四边形．
10．（2022春•姑苏区校级月考）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝的图象交于点A（1，6），B（3，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接OA、OB，求△AOB的面积；
（3）直线a经过点（0，1）且平行于x轴，点M在直线a上，点N在y轴上，以 A、B、M、N为顶点的四边形可以是平行四边形吗？如果可以，直接写出点M、N的坐标，如果不可以，说明理由．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）由△AOB的面积＝S△AOH﹣S△BOH，即可求解；
（3）当AB是对角线时，由中点坐标公式列出函数关系式，即可求解；当AM（AN）是对角线时，同理可解．
【解答】解：（1）将点A的坐标代入反比例函数表达式得：6＝，解得：m＝6，
故反比例函数表达式为：y＝，
当x＝3时，y＝＝2，即点B（3，2），
由题意得：，解得：，
故一次函数的表达式为：y＝﹣2x+8；
（2）设AB交x轴于点H，
令y＝﹣2x+8＝0，解得：x＝4，即OH＝4，
则△AOB的面积＝S△AOH﹣S△BOH＝×4×6﹣4×2＝8；
（3）设点M、N的坐标别为（m，1）、（0，n），
当AB是对角线时，由中点坐标公式得：，解得：，
即点M、N的坐标分别为（4，1）、（0，7）；
当AM是对角线时，由中点坐标公式得：，解得：，
即点M、N的坐标分别为：（﹣2，1）、（0，5）；
当AN是对角线时，由中点坐标公式得：，解得：，
即即点M、N的坐标分别为：（﹣2，1）、（0，﹣3）；
综上，点M、N的坐标分别为（4，1）、（0，7）或（﹣2，1）、（0，5）或（﹣2，1）、（0，﹣3）．
【能力提升】（每题10分，满分100分，建议用时：90分钟）
11．（2022春•沭阳县月考）如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足+（a+b+3）2＝0，平行四边形ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y＝经过C、D两点．
（1）a＝ ﹣1 ，b＝ ﹣2 ；
（2）求反比例函数表达式；
（3）点P在双曲线y＝上，点Q在x轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求满足要求的所有点Q的坐标．
【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，故可得出A、B两点的坐标，
（2）设D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t﹣2），再根据反比例函数的性质求出t，由D的坐标即可求出反比例函数表达式；
（3）再由点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，设Q（x，0），P（x，），再分以AB为边和以AB为对角线两种情况求出x的值，故可得出P、Q的坐标．
【解答】解：（1）∵+（a+b+3）2＝0，，且≥0，（a+b+3）2≥0，
，
解得，
故答案为：﹣1，﹣2；
（2）设反比例函数表达式为y＝，
由（1）知，a＝﹣1，b＝﹣2，
∴A（﹣1，0），B（0，﹣2），
∵E为AD中点，
∴xD＝1，
设D（1，t），
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴C（2，t﹣2），
∴t＝2t﹣4，
∴t＝4，
∴D（1，4），
∵D点在反比例函数y＝的图像上，
∴4＝，
∴k＝4，
∴反比例函数表达式为y＝；
（3）由（2）知，反比例函数的解析式为y＝，
∵点P在双曲线y＝上，点Q在y轴上，
∴设Q（x，0），P（x，），
①当AB为边时：
如图2①所示：若ABPQ为平行四边形，则＝﹣2，解得x＝﹣2，此时P1（﹣2，﹣2），Q1（﹣3，0）；
如图2②所示；若ABQP为平行四边形，则＝2，解得x＝2，此时P2（2，2），Q2（3，0）；
②如图2③所示；当AB为对角线时：AQ＝BP，且AQ∥BP；
则＝﹣2，解得x＝﹣2，此时P3（﹣2，﹣2），AQ＝2，，
∴OQ＝AQ﹣AO＝1，
∴Q3（1，0）；
∴P3（﹣2，﹣2），Q3（1，0）；
故Q1（﹣3，0）；Q2（3，0）；Q3（1，0）．
12．（2022秋•靖江市校级月考）如图，直线y＝x与双曲线y＝（k≠0）交于A，B两点，点A的坐标为（m，﹣4），点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝3CD．
（1）求k的值并直接写出点B的坐标；
（2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB+GC的最小值；
（3）点P是坐标轴上的一点，点Q是平面内一点，是否存在点P、Q使得四边形ABPQ是矩形？若存在，请求出符合条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A的坐标为（m，﹣4）代入直线y＝x中，可求得A（﹣3，﹣4），即可求得k＝12，根据轴对称的性质即可求出点B的坐标；
（2）如图1，作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，则BE∥CF，△DCF∽△DBE，利用相似三角形性质即可求得C（12，1），作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点G，则B′C即为BG+GC的最小值，运用勾股定理即可求得答案；
（3）分两种情况：①当点P在x轴上时，如图2，设点P1的坐标为（a，0），过点B作BE⊥x轴于点E，通过△OBE∽△OP1B，建立方程求解即可；
②当点P在y轴上时，过点B作BN⊥y轴于点N，如图2，设点P2的坐标为（0，b），利用△BON∽△P2OB，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）∵A（m，﹣4）在直线y＝x上，
∴m＝﹣4，
解得m＝﹣3，
∴A（﹣3，﹣4），
∵A（﹣3，﹣4）在y＝上，
∴k＝12，
∴y＝，
∵直线y＝x与双曲线y＝（k≠0），
∴A、B关于原点对称，
∴B（3，4）；
（2）如图1，作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，
∴BE∥CF，
∴△DCF∽△DBE，
∴＝，
∵BC＝3CD，BE＝4，
∴＝，
∴＝，
∴CF＝1，
∴C（12，1），
作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点G，
则B′C即为BG+GC的最小值，
∵B′（﹣3，4），C（12，1），
∴B′C＝＝3，
∴BG+GC＝B′C＝3；
故GB+GC的最小值为3；
（3）（3）存在．理由如下：
①当点P在x轴上时，如图2，设点P1的坐标为（a，0），
过点B作BE⊥x轴于点E，
∵∠OEB＝∠OBP1＝90°，∠BOE＝∠P1OB，
∴△OBE∽△OP1B，
∴＝，
∵B（3，4），
∴OB＝＝5，
∴＝，
∴a＝，
∴点P1的坐标为（，0）；
②当点P在y轴上时，过点B作BN⊥y轴于点N，如图2，
设点P2的坐标为（0，b），
∵∠ONB＝∠P2BO＝90°，∠BON＝∠P2OB，
∴△BON∽△P2OB，
∴＝，即＝，
∴b＝，
∴点P2的坐标为（0，）；
综上所述，点P的坐标为（，0）或（0，）．
13．（2022春•相城区校级期中）【发现问题】
小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？
【解决问题】
小明尝试从函数图象的角度进行探究：
（1）建立函数模型
设一矩形的面积为4，周长为m，相邻的两边长为x、y，则xy＝4，2（x+y）＝m，即y＝，y＝−x+，那么满足要求的（x，y）应该是函数y＝与y＝−x+的图象在第 一 象限内的公共点坐标．
（2）画出函数图象
①画函数y＝（x＞0）的图象；
②在同一直角坐标系中直接画出y＝−x的图象，则y＝−x+的图象可以看成是由y＝−x的图象向上平移 个单位长度得到．
（3）研究函数图象
平移直线y＝﹣x，观察两函数的图象；
①当直线平移到与函数y＝（x＞0）的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为 （2，2） ，周长m的值为 8 ；
②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长m的取值范围．
【结论运用】
（4）面积为10的矩形的周长m的取值范围为 m≥4 ．
【分析】（1）由x＞0，y＞0，可得（x，y）在第一象限；
（2）①直接画出图象即可；②直接画出图象即可，求出y＝−x+与x轴的交点坐标，即可求解；
（3）①联立方程组，可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，结合图象可求解；
（4）联立方程组，可得2x2﹣mx+20＝0，由根的判别式可求解．
【解答】解：（1）∵x，y都是边长，周长为m，
∴x＞0，y＞0，m＞0，
∴满足要求的（x，y）应该是函数y＝与y＝−x+的图象在第一象限内的公共点坐标．
故答案为：一；
（2）①y＝的图象如图所示：
②y＝﹣x的图象如上图所示，
∵y＝−x+与x轴的交点为（，0），
∴y＝−x+的图象可以看成是由y＝﹣x的图象向右平移个单位长度得到，
故答案为：；
（3）①联立方程组可得：，
整理得：x2﹣mx+4＝0，
∵两图象有唯一交点，
∴Δ＝m2﹣16＝0，
∴m＝8，
∴x2﹣×8x+4＝0，
解得：x＝2，
∴交点坐标为（2，2），
故答案为：（2，2），8；
②由①知：0个交点时，0＜m＜8；2个交点时，m＞8；1个交点时，m＝8；
（4）设相邻的两边长为x、y，则x•y＝10，2（x+y）＝m，即y＝，y＝﹣x+，
联立方程组可得，
整理得：2x2﹣mx+20＝0，
∵两函数有交点，
∴Δ＝m2﹣4×2×20≥0，
∴m≥4，
故答案为：m≥4．
14．（2022春•姑苏区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，已知点A（0，﹣6）、C（﹣3，﹣7），点B在第三象限内．
（1）求点B的坐标；
（2）将△ABC以每秒2个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使在第二象限内点B、C两点的对应点B'，C'正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；
（3）在（2）的情况下，问：是否存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B'、C'四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）过点B作BE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，证明△ACF≌△BAE得出BE与OE的长度便可求得B点坐标；
（2）先用t表示B′和C′点的坐标，再根据“B'、C'正好落在某反比例函数的图象上”得B′和C′点的横、纵坐标的积相等，列出t的方程求得t，进而求得反比例函数的解析式；
（3）分各种情况：B'C'为平行四边形的边，B'C'为平行四边形的对角线．分别解答问题．
【解答】解：（1）如图1，过点B作BE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，则∠AFC＝∠AEB＝90°，
∵点A（0，﹣6），C（﹣3，﹣7），
∴CF＝3，AF＝1，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠CAF+∠BAE＝∠CAF+∠ACF＝90°，
∴∠ACF＝∠BAE，
∴△ACF≌△BAE（AAS），
∴CF＝AE＝3，AF＝BE＝1，
∴OE＝OA﹣AE＝6﹣3＝3，
∴B（﹣1，﹣3）；
（2）根据题意得，B′（﹣1，﹣3+2t），C′（﹣3，﹣7+2t），
设经过B'、C'的反比例函数解析式为：y＝（k≠0），
∴k＝﹣1×（﹣3+2t）＝﹣3（﹣7+2t），
解得，t＝，
∴k＝﹣1×（﹣3+2t）＝3﹣9＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为：y＝﹣；
（3）存在，
设P（n，0），
由（2）知B′（﹣1，6），C′（﹣3，2），
①当B'C'为平行四边形的边时，则B′C′∥QP，B′C′＝QP，
∴Q（n+2，4）或（n﹣2，﹣4），
把Q（n+2，4）代入y＝﹣中，得，4（n+2）＝﹣6，
解得，n＝﹣，
∴Q（﹣，4），
把Q（n﹣2，﹣4），代入y＝﹣中，得，﹣4（n﹣2）＝﹣6，
解得，n＝，
∴Q（，﹣4）；
②当B'C'为对角线时，则B'C'的中点坐标为（﹣2，4），
∴PQ的中点坐标为（﹣2，4），
∴Q（﹣4﹣n，8），
把Q点坐标代入y＝﹣中，得，8（﹣n﹣4）＝﹣6，
解得，n＝﹣，
∴Q（﹣，8），
综上，存在x轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B'、C'四个点为顶点的四边形是平行四边形．Q点坐标为（﹣，4）或（，﹣4）或（﹣，8）．
15．（2022春•吴中区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B的坐标为（﹣1，0），顶点C的坐标为（﹣5，1），对角线AC∥x轴，边AB所在直线y1＝ax+b与反比例函数y2＝（k＞0）的图象在第一象限交于A点．
（1）求y1和y2的函数解析式；
（2）点P是x轴上一动点，当△PAC是以AC为斜边的直角三角形时，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）由图形的对称性知，点A、C关于BD对称，则点A的坐标为（3，1），进而求解；
（2）由AC2＝PA2+PC2，即64＝（x﹣3）2+1+（x+5）2+1，即可求解．
【解答】解：（1）连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，AC∥x轴，
由图形的对称性知，点A、C关于BD对称，
则点A的坐标为（3，1），
将点A、B的坐标代入直线的表达式得
，
解得，
∴y1＝x+；
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：1＝，
解得k＝3，
则y2＝；
（2）设点P的坐标为（x，0），
由点P、A、C的坐标得：AC2＝（3+5）2＝64，PA2＝（x﹣3）2+1，PC2＝（x+5）2+1，
由题意得：AC2＝PA2+PC2，
即64＝（x﹣3）2+1+（x+5）2+1，
解得x＝﹣1±，
故点P的坐标为（﹣1+，0）或（﹣1﹣，0）．
16．（2022春•姑苏区校级期中）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于点A（1，6），B（3，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）连接OA、OB，求△AOB的面积；
（3）直线a经过点（0，1）且平行于x轴，点M在直线a上，点N在y轴上，以A、B、M、N为顶点的四边形可以是平行四边形吗？如果可以，直接写出点M、N的坐标，如果不可以，说明理由．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设直线y＝2x+8与x轴交于D，与y轴交于点C，由S△AOB＝S△COD﹣S△ACO﹣S△BOD求解即可；
（3）设M（m，1），N（0，n），分三种情况讨论：①当AB为平行四边形的对角线时；②当AM为平行四边形的对角线时；③当AN为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点坐标公式即可求解．
【解答】解：（1）将点A（1，6）代入，
∴m＝6，
∴y＝，
将B（3，n）代入y＝，
∴n＝2，
∴B（3，2），
将A（1，6），B（3，2）代入y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣2x+8；
（2）设直线y＝2x+8与x轴交于D，与y轴交于点C，
∴C（0，8），D（4，0），
∴S△AOB＝S△COD﹣S△ACO﹣S△BOD＝8×4﹣8×1﹣＝8；
（3）以A、B、M、N为顶点的四边形可以是平行四边形，理由如下：
设M（m，1），N（0，n），
①当AB为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴M（4，1），N（0，7）；
②当AM为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴M（2，1），N（0，5）；
③当AN为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴M（﹣2，1），N（0，﹣3）；
综上所述：M（4，1），N（0，7）或M（2，1），N（0，5）或M（﹣2，1），N（0，﹣3）．
17．（2022•钟楼区校级模拟）【阅读理解】对于任意正实数a、b，
∵（）2≥0，
∴a+b﹣2≥0
∴a+b≥2，只有当a＝b时，等号成立．
【数学认识】
在a+b≥2（a、b均为正实数）中，若ab为定值k，则a+b≥2，只有当a＝b时，a+b有最小值2．
【解决问题】
（1）若x＞0时，当x＝ 1 时，x+有最小值为 2 ；
（2）如图，已知点A是反比例函数y＝的图象在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一支与点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．记点C的运动轨迹为l，过点A作AD∥y轴交l于点D，过点A作AM⊥y轴于点M，过点D作DN⊥y轴于点N，求四边形ADNM周长的最小值．
【分析】（1）直接运用公式可得答案；
（2）过点C作CE⊥y轴于点E，则四边形AMND是矩形，利用等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质可得S△OCE＝3S△AOM＝，则点C在双曲线y＝﹣上运动，设A（m，），则C（m，﹣），表示出AM+AD的长，利用公式可得AM+AD的最小值，从而解决问题．
【解答】解：（1）∵x+≥2＝2，
当x＝时，x+有最小值为2，
∴x＝1，
故答案为：1，2；
（2）∵OA＝OB，△ABC是等边三角形，
∴OC⊥AB，OC＝OA，
过点C作CE⊥y轴于点E，则四边形AMND是矩形，
∴∠AOC＝90°，
∴∠AOM+∠COE＝90°，
∵∠AOM+∠OAM＝90°，
∴∠OAM＝∠COE，
∵∠AMO＝∠CEO，
∴△AMO∽△OEC，
∴S△OCE＝3S△AOM＝，
∴点C在双曲线y＝﹣上运动，
设A（m，），则C（m，﹣），
∴AM＝m，AD＝，
∴m+≥2＝4，
∴AM+AD的最小值为4，
∴四边形ADNM周长的最小值为8．
18．（2022•天宁区校级一模）如图，点A，B在函数（其中x＞0）的图象上，连接AB．取线段AB的中点C．分别过点A，C，B作x轴的垂线，垂足为E，F，G，CF交函数（其中x＞0）的图象于点D．小明运用几何知识得出结论：AE+BG＝2CF，CF＞DF．设点E，F的横坐标分别为n﹣1，n（n＞1）．
（1）①点G的横坐标为 n+1 ．
②请你仔细观察函数其中x＞0）的图象，并由此得出一个关于，，，之间数量关系的真命题：若n＞1，则 ．
（2）请你说明在（1）中你提出的命题是真命题的理由；
（3）比较与的大小，并说明理由．
【分析】（1）求出AE，BG，DF，利用AE+BG＝2CF，可得；
（2）根据分式的加减计算，利用求差法比较大小即可；
（3）根据（2）的结论证明即可．
【解答】解：（1）①AE，CF，BG都垂直于x轴，
∴AE∥CF∥BG，
∵C是AB的中点，
∴，
∴F是EG的中点，
设点E，F的横坐标分别为n﹣1，n（n＞1），
∴G（n+1，0），
故答案为：n+1；
②∵点A，B，D在y＝上，
∴A（n﹣1，），B（n+1，），D（n，），
∴AE＝，BG＝，DF＝，
∵AE+BG＝2CF，CF＞DF，
∴，
故答案为：；
（2）∵
＝
＝，
∵n＞1，
∴n（n﹣1）（n+1）＞0，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
∴．
19．（2022春•惠山区校级期中）如图1，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B在反比例函数y＝（k＞0）的第一象限内的图象上，OA＝6，OC＝4，动点P在y轴的右侧，且满足S△PCO＝S矩形OABC．
（1）若点P在这个反比例函数的图象上，求点P的坐标；
（2）若点Q是平面内一点，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点Q的坐标．
【分析】（1）首先根据点B坐标，确定反比例函数的解析式，设点P的横坐标为m（m＞0），根据S△PCO＝S矩形OABC，构建方程即可解决问题；
（2）分两种情形：当四边形CBQP是菱形时；当四边形CBPQ是菱形时．分别求解即可解决问题．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，OA＝6，OC＝4，
∴点B的坐标为（6，4），
∵点B在反比例函数y＝（k≠0）的第一象限内的图象上
∴k＝24，
∴y＝，
设点P的横坐标为m（m＞0），
∵S△PCO＝S矩形OABC．
∴OC•m＝OA•OC，
∴m＝5，
当点，P在这个反比例函数图象上时，则P点的纵坐标为y＝，
∴点P的坐标为（5，）；
（2）分两种情况：
①如图2中，当四边形CBQP是菱形时，易知BC＝CP＝PQ＝BQ＝6，P1（5，4﹣），P2（5，4+），
∴Q1（11，4﹣），Q2（11，4+）；
．
②如图3中，当四边形CBPQ是菱形时，P3（5，4﹣），P4（5，4+），
∴Q3（﹣1，4﹣），Q4（﹣1，4+）．
综上所述，点Q的坐标为，，，．
20．如图，在平面直角坐标系中，点A，点B在x轴上，点C在y轴上，∠ADC＝90°，AB＝BC，线段BC，OB的长是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根．
（1）求OA的长；
（2）求经过点D的反比例函数的解析式；
（3）点P在直线AD上，在平面内是否存在一点Q，使以点A，B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请写出满足条件的点Q的个数，并直接写出其中两个点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）解方程可得BC、OB的长，即可解决问题．
（2）如图2中，作DE⊥OA于E，求出BE、DE即可解决问题．
（3）如图3中，存在，满足条件的点Q的个数有三个．当AB为边时，有两种情形①四边形ABQ1P1是菱形，②四边形ABQ2P2是菱形，③当AB为对角线时，四边形AQ3BP3是菱形，分别求出P、Q坐标即可．
【解答】解：（1）如图1中，
∵线段BC，OB的长是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，
∴BC＝4，OB＝2，
∵BA＝BC
∴AB＝4，OA＝OB+BA＝6．
（2）如图2中，作DE⊥OA于E．
∵cs∠CBO＝＝，
∴∠ABD＝∠CBO＝60°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AB＝2，
∵∠BDE＝30°，
∴BE＝BD＝1，DE＝BE＝，
∴点D坐标（3，﹣），设经过点D的反比例函数解析式为y＝，
∴k＝﹣3，
∴经过点D的反比例函数解析式为y＝﹣．
（3）如图3中，存在，满足条件的点Q的个数有三个．
当AB为边时，有两种情形①四边形ABQ1P1是菱形，此时P1（6+2，2），Q1（2+2，2），
②四边形ABQ2P2是菱形，此时P2（6﹣2，﹣2），Q2（2﹣2，﹣2），
③当AB为对角线时，四边形AQ3BP3是菱形，此时P3（4，﹣），Q3（4，）．
【培优拔高】（每题10分，满分100分，建议用时：90分钟）
21．（2022•东城区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，直线l与双曲线y＝（k≠0）的两个交点分别为A（﹣3，﹣1），B（1，m）．
（1）求k和m的值；
（2）求直线l的解析式；
（3）点P为直线l上的动点，过点P作平行于x轴的直线，交双曲线y＝（k≠0）于点Q．当点Q位于点P的左侧时，求点P的纵坐标n的取值范围．
【分析】（1）将A（﹣3，﹣1），B（1，m）分别代入y＝，可得答案；
（2）利用待定系数法求出l的解析式即可；
（3）分别画出函数y＝x+2和y＝的图象，利用数形结合思想可得n的范围．
【解答】解：（1）将A（﹣3，﹣1），B（1，m）分别代入y＝得，
∴k＝﹣1×（﹣3）＝3，m＝k＝3；
（2）设直线l的解析式为y＝ax+b，
则，
解得，
∴直线l的解析式为：y＝x+2；
（3）如图，当点P在B的上方时，点Q始终在点P的左边，此时n＞3，
当点P在点A的上方，x轴的下方时，同样符合题意，此时﹣1＜n＜0，
综上：n＞3或﹣1＜n＜0．
22．（2021秋•历城区期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OCBA的顶点C、A分别在x轴和y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象与AB，BC分别交于点D，E，且顶点B的坐标为（4，2），BD＝2．
（1）求反比例函数y＝（x＞0）的表达式及E点坐标；
（2）连接DE，AC，判断DE与AC的数量和位置关系，并说明理由．
（3）点F是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一点，且使得∠AEF＝45°，求直线EF的函数关系式．
【分析】（1）根据矩形OABC，得到AB与x轴平行，BC与y轴平行，得到B与D纵坐标相同，B与E横坐标相同，再由B横坐标确定出AB的长，由AB﹣BD求出AD的长，进而确定出D坐标，代入反比例解析式求出k的值，确定出E坐标即可；
（2）DE∥AC，DE＝AC，理由为：连接AC，DE，由（1）得到D、E分别为中点，即DE为中位线，利用中位线定理即可得证；
（3）如图2所示，作出∠AEF＝45°，交反比例图象于点F，如图2所示，过A作AG⊥AE，交直线EF于点G，过G作GH⊥y轴交于点H，过E作EI⊥y轴交于点I，可得出△AGE为等腰直角三角形，即AG＝AE，利用AAS得到△AHG≌△EAI，利用全等三角形对应边相等得到HG＝AI，AH＝EI，根据题意确定出G坐标，设直线EF解析式是为y＝kx+b，把G与E坐标代入求出k与b的值，即可确定出所求．
【解答】解：（1）∵矩形OABC，
∴AB∥OC，BC∥OA，且AB＝OC，BC＝OA，
∵B（4，2），BD＝2，
∴AB＝OC＝4，BC＝OA＝2，
∴D坐标轴为2，E横坐标为4，AD＝AB﹣BD＝4﹣2＝2，
∴D（2，2），
把D（2，2）代入反比例解析式得：2＝，
解得：k＝4，
∴反比例解析式为y＝，
把x＝4代入得：y＝1，即E（4，1）；
（2）DE∥AC，DE＝AC，理由为：
如图1所示，连接AC，DE，
∵AD＝BD＝2，BE＝CE＝1，
∴D、E分别为AB、BC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DE＝AC；
（3）连接AE，作射线EF，使∠AEF＝45°，交反比例图象于点F，如图2所示，
过A作AG⊥AE，交直线EF于点G，过G作GH⊥y轴交于点H，过E作EI⊥y轴交于点I，
∴△AGE为等腰直角三角形，
∴AG＝AE，
∵∠GAH+∠EAI＝90°，∠GAH+∠HGA＝90°，
∴∠IAE＝∠HGA，
在△AGH和△EIA中，
，
∴△AHG≌△EIA（AAS），
∴HG＝AI，AH＝EI，
∵A（0，2），E（4，1），
∴AI＝HG＝OA﹣EC＝2﹣1＝1，EI＝AH＝4，
∴OH＝OA+AH＝2+4＝6，
∴G（1，6），
设直线EF解析式为y＝kx+b，
把E（4，1），G（1，6）代入得：
，
解得：，
即y＝﹣x+．
23．（2022•绵竹市模拟）如图，一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（m，3）和B（3，1）．
（1）填空：一次函数的解析式为 y＝﹣x+4 ，反比例函数的解析式为 y＝ ；
（2）请直接写出不等式≤﹣x+b的解集是 1≤x≤3 ；
（3）点P是线段AB上一点，过点P作PD⊥x轴于点D，连接OP，若△POD的面积为S，求S的最大值和最小值．
【分析】（1）将B（3，1）代入y＝﹣x+b得b＝4，即得一次函数的解析式为y＝﹣x+4，将B（3，1）代入y＝得k＝3，即得反比例函数的解析式为y＝；
（2）求出A（1，3），由图可得，≤﹣x+b得解集为：1≤x≤3；
（3）由点P是线段AB上一点，可设设P（n，﹣n+4），且1≤n≤3，可得S＝OD•PD＝﹣（n﹣2）2+2，即得当n＝2时，S有最大值，且最大值是2，当n＝1或n＝3时，S有最小值，且最小值是．
【解答】解：（1）将B（3，1）代入y＝﹣x+b得：
1＝﹣3+b，解得b＝4，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+4，
将B（3，1）代入y＝得：
1＝，解得k＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）将A（m，3）代入y＝﹣x+4得：
3＝﹣m+4，解得m＝1，
∴A（1，3），
由图可得，≤﹣x+b得解集为：1≤x≤3；
（3）∵点P是线段AB上一点，设P（n，﹣n+4），
∴1≤n≤3，
∴S＝OD•PD＝•n（﹣n+4）＝﹣（n2﹣4n）＝﹣（n﹣2）2+2，
∵﹣＜0，且1≤n≤3，
∴当n＝2时，S有最大值，且最大值是2，
∴当n＝1或n＝3时，S有最小值，且最小值是．
24．（2022春•吴江区期中）如图，直线y＝2x+6与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，与y轴交于点D．
（1）求m的值和反比例函数的表达式；
（2）观察图象，直接写出不等式2x+6﹣＞0的解集；
（3）在反比例函数图象的第一象限上有一动点M，当S△BDM＞S△BOD时，直接写出点M纵坐标的取值范围．
【分析】（1）先将点A（1，m）代入y＝2x+6，求出m的值，得到点A的坐标，再利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；
（2）结合函数图象找到直线在双曲线上方对应的x的取值范围即可；
（3）过点O作AB的平行线，交反比例函数的图象于点N，则S△BDN＝S△BOD，由直线AB的解析式可得出直线ON的解析式，联立直线ON和反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点N的坐标，结合函数图象及S△BDM＞S△BOD，可知M在N的右边，进而求出点M纵坐标的取值范围；同理求出M在N的左边时，点M纵坐标的取值范围．
【解答】解：（1）∵直线y＝2x+6过点A（1，m），
∴m＝2×1+6＝8，
∴点A的坐标为（1，8），
∵点A（1，8）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴k＝1×8＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）在A点右边，即x＞1时，直线在双曲线上方，
所以不等式2x+6﹣＞0的解集是x＞1；
（3）如图，过点O作AB的平行线，交反比例函数的图象于点N，则S△BDN＝S△BOD．
∵直线AB的解析式为y＝2x+6，
∴直线ON的解析式为y＝2x．
由（x＞0），解得，
∴点N的坐标为（2，4）；
∵S△BDM＞S△BOD，
∴S△BDM＞S△BDN，
∴M在N的右边，
∴0＜点M纵坐标＜4；
同理M在N的左边，
直线ON的解析式为y＝2x+12．
联立y＝2x+12与y＝，
∴点M纵坐标＞6+2．
故点M纵坐标的取值范围是0＜点M纵坐标＜4或点M纵坐标＞6+2．
25．（2022•茶陵县模拟）如图，直线y＝ax+b（a≠0）与双曲线y＝（k≠0）交于一、三象限内的A，B两点与x轴交于点C，点A的坐标为（2，m），点B的坐标为（n，﹣2），tan∠BOC＝．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式．
（2）点E为坐标轴上一点，以AE为直径的圆恰好经过点B，直接写出点E的坐标．
（3）点P（s，t）（s＞2）在直线AB上运动，PM∥x轴交双曲线于M，PN∥y轴交双曲线于N，直线MN分别交x轴，y轴于F，G，求+的值．
【分析】（1）先利用tan∠BOC＝分别求出A和B两点的坐标，再利用待定系数法求两个函数的解析式；
（2）如图2，因为以AE为直径的圆恰好经过点B，所以∠ABE＝90°，过B作AB的垂线，与坐标的两个交点就是符合条件的E点，构建直角三角形，利用三角形相似或等腰直角三角形的定义列等式可得结论；
（3）如图3，作辅助线，根据P（s，t），表示M（，t），N（s，），利用等角的三角函数列式可得：＝＝，代入所求式子可得结果．
【解答】解：（1）如图1，过B作BD⊥x轴于D，
∵点B的坐标为（n，﹣2），
∴BD＝2，
在Rt△OBD中，tan∠BOC＝，
∴，
∴，
∴OD＝5，
∴n＝﹣5，
即B（﹣5，﹣2），
∴k＝﹣5×（﹣2）＝10，
∴该反比例函数的解析式为：y＝，
当x＝2时，m＝5，
∴A（2，5），
把A（2，5）和B（﹣5，﹣2）代入得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为：y＝x+3；
（2）如图2，过B作BE1⊥AB，交x轴于E1，交y轴于E2，即符合条件的点E有两个，构建直角△ABQ和直角△BE2K，
∴AQ＝BQ＝7，
∴△ABQ是等腰直角三角形，
∵∠ABE2＝90°，
∴△BKE2也是等腰直角三角形，
设E2（0，y），
∴BK＝KE2，
∴5＝﹣y﹣2，
y＝﹣7，
∴E2（0，﹣7），
同理可得：E1（﹣7，0），
综上所述，点E的坐标为（0，﹣7）或（﹣7，0）；
（3）如图3，过N作NR∥PM，过M作MR∥PN，交于R，
则四边形MRNP是矩形，
∵P（s，t），且PM∥x轴，PN∥y轴，
∴M（，t），N（s，），
∴RN＝s﹣，MR＝t﹣，
∵MR∥OG，
∴∠OGF＝∠RMN，
∴tan∠OGF＝tan∠RMN，
∴＝＝，
∵点P（s，t）（s＞2）在直线AB上运动，
∴t＝s+3，
∴+＝+＝＝1．
26．（2021•湘潭）如图，点A（a，2）在反比例函数y＝的图象上，AB∥x轴，且交y轴于点C，交反比例函数y＝于点B，已知AC＝2BC．
（1）求直线OA的解析式；
（2）求反比例函数y＝的解析式；
（3）点D为反比例函数y＝上一动点，连接AD交y轴于点E，当E为AD中点时，求△OAD的面积．
【分析】（1）由点A（a，2）在反比例函数y＝的图像上，得a＝2，即A（2，2），设直线OA解析式为y＝mx，即得m＝1，故直线OA解析式为y＝x；
（2）由AC＝2BC得B（﹣1，2），把B（﹣1，2）代入反比例函数y＝，即得解析式为y＝；
（3）设D（t，），而A（2，2），故AD中点E（，+1），即有＝0，解得t＝﹣2，可得D（﹣2，1），E（0，），从而可得S△DOE＝，S△AOE＝，即得△OAD面积S＝3．
【解答】解：（1）∵点A（a，2）在反比例函数y＝的图像上，
∴2＝，解得a＝2，
∴A（2，2），
设直线OA解析式为y＝mx，
则2＝2m，解得m＝1，
∴直线OA解析式为y＝x；
（2）由（1）知：A（2，2），
∵AB∥x轴，且交y轴于点C，
∴AC＝2，
∵AC＝2BC，
∴BC＝1，
∴B（﹣1，2），
把B（﹣1，2）代入y＝得：2＝，
∴k＝﹣2，
∴反比例函数y＝的解析式为y＝；
（3）设D（t，），而A（2，2），
∴AD中点E（，+1），
而E在y轴上，
∴＝0，解得t＝﹣2，
∴D（﹣2，1），E（0，），
∴S△DOE＝OE•|xD|＝××2＝，
S△AOE＝OE•|xA|＝××2＝，
∴△OAD面积S＝S△DOE+S△AOE＝3．
27．（2021•开封二模）如图，一次函数y＝mx+6（m≠0）的图象经过点B（﹣6，0），与y轴交于C点，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A．连接OA，且△AOC的面积为6．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）结合图象直接写出当x＞0时，mx+6＜的解集；
（3）设点E是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，点F是直线AB上一点，若以点O，E，C，F为顶点的四边形是平行四边形，求出点F的坐标．
【分析】解：（1）由一次函数y＝mx+6（m≠0）的图象经过点B（﹣6，0），得﹣6m+6＝0，解出m＝1，得一次函数解析式为y＝x+6；当x＝0时，y＝6，由△AOC的面积为6．得，求出xA＝2，写出点A坐标（2，8），即可求解；
（2）结合图象可知当x＞0时，mx+6＜的解集是0＜x＜2；
（3）①当CO为边时，如图1，EF∥CO且EF＝CO，设点E坐标为（m，），则点F的坐标为（m，m+6），得EF＝|﹣m﹣6|＝6，当﹣m﹣6＝6时，解得m＝4或﹣4（﹣4舍去）此时点F坐标为（4，10）；
当﹣m﹣6＝﹣6时，解得m＝2﹣6或﹣2﹣6（负值舍去），此时点F坐标为（2﹣6，2）；②当CO为对角线时，如图2，则CO与FE互相平分，设点E坐标为（m，），点F的坐标为（n，n+6），由中点坐标公式得，解得m＝4，n＝﹣4，此时点F坐标为（﹣4，2），即可求解．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝mx+6（m≠0）的图象经过点B（﹣6，0），
∴﹣6m+6＝0，得m＝1，
∴一次函数解析式为y＝x+6；
当x＝0时，y＝6，
∴CO＝6，
∵△AOC的面积为6．
∴，
∴xA＝2，
当x＝2时，y＝x+6＝8，
∴点A坐标（2，8），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，
∴k＝16，
∴反比例函数的解析式为：y＝；
（2）结合图象可知当x＞0时，mx+6＜的解集是0＜x＜2；
（3）①当CO为边时，如图1，EF∥CO且EF＝CO，
设点E坐标为（m，），则点F的坐标为（m，m+6），
∴EF＝|﹣m﹣6|，
∴|﹣m﹣6|＝6，
当﹣m﹣6＝6时，
解得m＝4或﹣4（﹣4舍去）此时点F坐标为（4，10）；
当﹣m﹣6＝﹣6时，
解得m＝2﹣6或﹣2﹣6（负值舍去），此时点F坐标为（2﹣6，2）；
②当CO为对角线时，如图2，则CO与FE互相平分，
设点E坐标为（m，），点F的坐标为（n，n+6），
由中点坐标公式得，
解得m＝4，n＝﹣4，此时点F坐标为（﹣4，2），
综上．点F坐标为（4，10）或（2﹣6，2）或（﹣4，2）．
28．（2021•铁西区二模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，四边形OABC的边OA在x轴负半轴上，OC在y轴正半轴上，AB∥y轴，OA＝a，AB＝BC＝b，且a，b满足（a﹣4）2+（b﹣5）2＝0．
（1）求点B，C的坐标；
（2）点D为边OA上一点，点E为边OC上一点，将△DOE沿直线DE翻折，使点O落在AB上的点F处，且双曲线y＝﹣的一个分支过点F，则线段OD的长为 2.5 ；
（3）在（2）的条件下，点G为x轴上一点，点H是坐标平面内任意一点，当以点D，F，G，H为顶点四边形为矩形时，请直接写出点H的坐标．
【分析】（1）由a，b满足（a﹣4）2+（b﹣5）2＝0，得a＝4，b＝5，故点B坐标为（﹣4，5），过点B作BG⊥y轴于点G，在Rt△BCG中，BC＝5，GB＝4，得CG＝3，即可求解；
（2）点O落在AB上的点F处，得点F的横坐标为﹣4，由双曲线y＝﹣的一个分支过点F，得点F坐标为（﹣4，2），设OD＝DF＝x，则AD＝4﹣x，在Rt△AFD中，（4﹣x）2+22＝x2，得x＝2.5，得OD＝2.5；
（3）当以点D，F，G，H为顶点四边形为矩形时，①DF为对角线，如图2，矩形FGDH中，FG＝HD＝2，HD⊥x轴，得点H坐标为（﹣2.5，2）；②GD为对角线，设点G坐标为（m，0），由矩形FGHD，得FG2+FD2＝GD2，得（﹣4﹣m）2+22+2.52＝（﹣2.5﹣m）2，m＝﹣，得点G坐标为（﹣，0），将点G向右平移1.5个单位，向下平移2个单位得到点H，得点H坐标为（﹣，﹣2）．
【解答】解：（1）∵a，b满足（a﹣4）2+（b﹣5）2＝0，
∴a﹣4＝0且b﹣5＝0，
得a＝4，b＝5，
∴点B坐标为（﹣4，5），
过点B作BG⊥y轴于点G，
在Rt△BCG中，BC＝5，GB＝4，
∴CG＝3，
∴点C坐标为（0，8）；
（2）∵点O落在AB上的点F处，
∴点F的横坐标为﹣4，
∵双曲线y＝﹣的一个分支过点F，
∴点F坐标为（﹣4，2），
设OD＝DF＝x，则AD＝4﹣x，
在Rt△AFD中，（4﹣x）2+22＝x2，
∴x＝2.5，得OD＝2.5，
故答案为：2.5；
（3）当以点D，F，G，H为顶点四边形为矩形时，
①DF为对角线，如图2，
矩形FGDH中，FG＝HD＝2，HD⊥x轴，
∴点H坐标为（﹣2.5，2）；
②GD为对角线，
设点G坐标为（m，0），
由矩形FGHD，得FG2+FD2＝GD2，
∴（﹣4﹣m）2+22+2.52＝（﹣2.5﹣m）2，
∴m＝﹣，
∴点G坐标为（﹣，0），
将点G向右平移1.5个单位，向下平移2个单位得到点H，
∴点H坐标为（﹣，﹣2）．
综上所述，点H坐标为（﹣2.5，2）或（﹣，﹣2）．
29．（2021•南沙区一模）如图，菱形ABCD的边BC在x轴上，点A在y轴上，对角线AC、BD交于点E，且BC＝5，菱形ABCD的面积为24．
（1）求点A的坐标；
（2）求AC+BD的值；
（3）若反比例函数y＝经过点E，且与边AD交于点F，过点F作FG垂直x轴于点G，请求出△BFG的面积．
【分析】（1）由菱形ABCD的面积为24，得BC•AO＝24，求出AO＝，即可求解；
（2）由菱形ABCD的面积为24，得AC•BD＝24①，由勾股定理知BE2+CE2＝25，结合菱形对角线互相平分，可得AC2+BD2＝100②，结合①②式子就可求出AC+BD的值；
（3）由直角△ABO中AB和AO的值求出BO的长，即可求出点C的坐标，由AC坐标根据中点坐标公式写出点E坐标，就可以求出反比例函数关系式，再分别求出B、F、G的坐标，可求出△BFG的面积．
【解答】解：（1）由菱形ABCD的面积为24，
∴BC•AO＝24，
∵BC＝5，
∴AO＝，
∴点A的坐标（0，）；
（2）由菱形ABCD的面积为24，
∴AC•BD＝24即AC•BD＝48①，
∵直角△BEC中，BE2+CE2＝25，
又∵菱形ABCD中，AC＝2AE，BD＝2BE，
∴AC2+BD2＝100②，
∴（AC+BD）2＝AC2+BD2+2AC•BD＝100+96＝196，
∴AC+BD＝14；
（3）在直角△ABO中，BO＝＝＝，
∴CO＝BC﹣BO＝＝，
∴点C的坐标为（，0），
∴中点E的坐标为（，），
∵反比例函数y＝经过点E，
∴k﹣1＝，
∴反比例函数关系式y＝＝，
当y＝时，x＝＝＝，
∴BG＝OB+GO＝+＝，
∴△BFG的面积＝＝．
30．（2022秋•西湖区校级期中）对于求面积为4，周长为m的矩形中m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究：设矩形相邻两边长分别为x，y，由矩形的面积为4，得y＝；由周长为m，得y＝﹣x+．主要研究这两个图象的位置关系．
（1）画出函数图象：
函数y＝（x＞0）的图象如图所示，而函数y＝﹣x+的图象可由直线y＝﹣x平移得到，请在同一直角坐标系中直接画出直线y＝﹣x．
（2）平移直线y＝﹣x，观察函数图象：
①当直线平移到与函数y＝（x＞0）的图象有唯一交点（2，2）时，写出周长m的值；
②在直线平移过程中，请写出交点个数的其它情况及对应的周长m的取值范围．
（3）得出结论若能生产出面积为4的矩形模具，求出周长m的取值范围．（直接写出结论）
【分析】（1）y＝﹣x的图象是一条经过原点的直线；
（2）①利用待定系数法求解；
②欲判断直线平移过程中的交点个数，考虑联立y＝﹣x+和y＝并整理，判断一元二次方程x2﹣x+4＝0的实数根的个数；
（3）构建不等式求解即可．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）①当直线平移到与函数y＝（x＞0）的图象有唯一交点（2，2）时，
将（2，2）代入y＝﹣x+，解得m＝8，
故周长m的值为8．
故答案为：8；
②在直线平移过程中，交点个数还有0个，2个两种情况．
联立y＝﹣x+和y＝并整理，得x2﹣x+4＝0，
有0个交点，即Δ＝b2﹣4ac＝（﹣）2﹣4×1×4＝﹣16＜0，解得0＜m＜8；
有两个交点，即Δ＝b2﹣4ac＝（﹣）2﹣4×1×4＝﹣16＞0，解得m＜﹣8（舍去）或m＞8．
综上所述，当有0个交点时，0＜m＜8，当有2个交点时，m＞8．
（3）由（2）可知，矩形的周长2x+2y＝m≥8，
所以若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为m≥8．
故答案为：m≥8．
【满分冲刺】（每题10分，满分100分，建议用时：90分钟）
31．（2022春•济南月考）如图，在矩形OABC中，AB＝2，BC＝4，点D是边AB的中点，反比例函数y1＝（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E，直线DE的解析式为y2＝mx+n（m≠0）．
（1）求反比例函数y1＝（x＞0）的解析式和E点坐标；
（2）在y轴上找一点P，使△PDE的周长最小，求出此时点P的坐标；
（3）若点M在反比例函数的图象上，点N在坐标轴上，是否存在以D、E、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据点D为AB的中点，可得点D的坐标，从而得出反比例函数y1＝（x＞0）的解析式，当x＝2代入可得点E的坐标；
（2）作点E关于y轴的对称点E'，连接E'D交y轴于P，此时△PDE的周长最小，设E'E交y轴于F，利用△E'FP∽△DAP，可得PF的长，从而得出点P的坐标；
（3）分点N在x轴或y轴上两种情形，分别利用中点坐标公式解决问题．
【解答】解：（1）∵点D是AB的中点，
∴AD＝1，
∴D（1，4），
∵反比例函数y1＝（x＞0）的图象经过点D，
∴k＝1×4＝4，
∴y＝，
当x＝2时，y＝2，
∴E（2，2）；
（2）作点E关于y轴的对称点E'，连接E'D交y轴于P，此时△PDE的周长最小，设E'E交y轴于F，
则E'（﹣2，2），
∵E'F∥AD，
∴△E'FP∽△DAP，
∴，
∴PF＝＝，
∴P（0，）；
（3）当N在x轴上时，
设N（n，0），M（x，），
当DE为对角线时，由中点坐标公式得，4+2＝，
解得x＝，
∴M（），
当DN为对角线时，由中点坐标公式得，4+0＝+2，
解得x＝2，
∴M（2，2）（舍去），
当DM为对角线时，由中点坐标公式得，4+＝2+0，
解得x＝﹣2，
∴M（﹣2，﹣2）（舍去），
当N在y轴上时，设N（0，n），M（x，），
当DE为对角线时，由中点坐标公式得，1+2＝0+x，
∴x＝3，
∴M（3，），
当DN为对角线时，由中点坐标公式得，1+0＝x+2，
∴x＝﹣1，
∴M（﹣1，﹣4）（舍去），
当DM为对角线时，由中点坐标公式得，1+x＝0+2，
∴x＝1，
∴M（1，4）（舍去），
综上：M（）或（3，）．
32．（2022秋•黄浦区校级期末）已知：如图，反比例函数的图象与直线y＝kx相交于点A，直线AC与x轴交于点C（2，0），与y轴交于点B，点C是AB的中点．
（1）求直线y＝kx的函数解析式；
（2）求点C到直线OA的距离；
（3）若点D是直线OA上一点，且△ABD是直角三角形，求点D的坐标．
【分析】（1）根据中点坐标公式求出点A的横坐标，进而求出点A坐标，即可求出答案；
（2）利用三角形AOC的面积建立方程求解，即可求出答案；
（3）设出点D的坐标，分三种情况利用勾股定理建立方程求解，即可求出答案．
【解答】解：（1）设点A的坐标为（m，），
∵点C（2，0）是AB的中点，
∴2（m+0）＝2，
∴m＝4，
∴A（4，2），
∵点A在直线y＝kx上，
∴4k＝2，
∴k＝，
∴直线y＝kx的解析式为y＝x；
（2）由（1）知，点A（4，2），
∴OA＝2，
∵点C（2，0），
设点C到直线OA的距离为h，
则S△AOC＝OC•|yA|＝OA•h，
∴h＝＝＝，
即点C到直线OA的距离为；
（3）由（1）知，直线OA的解析式为y＝x，
设点D（n，n），
∵A（4，2），B（0，﹣2），
∴AB2＝32，BD2＝n2+（n+2）2，AD2＝（n﹣4）2+（n﹣2）2，
∵△ABD是直角三角形，
∴①当∠ABD＝90°时，BD2+AB2＝AD2，
∴n2+（n+2）2+32＝（n﹣4）2+（n﹣2）2，
∴n＝﹣，
∴D（﹣，﹣），
②当∠BAD＝90°时，AD2+AB2＝BD2，
∴（n﹣4）2+（n﹣2）2+32＝n2+（n+2）2，
∴n＝4（不符合题意，舍去），
③当∠ADB＝90°时，AD2+BD2＝AB2，
∴（n﹣4）2+（n﹣2）2+n2+（n+2）2＝32，
∴n＝4（不符合题意，舍去）或n＝﹣，
∴D（﹣，﹣），
即D（﹣，﹣）或（﹣，﹣）．
33．（2023•舟山一模）已知A是反比例函数y＝（x＞0）图象上一个动点，过点A作x轴的平行线，交直线y＝﹣2x于点B，以线段AB为一条对角线，作▱OACB（O为坐标原点）．
（1）如图1，当点C在y轴上时，请证明▱OACB是菱形，并求点C的坐标；
（2）如图2，当▱OACB是矩形时，求点B，C的坐标．
【分析】（1）当点C在y轴上时，设C（0，b）（b＞0）．由直线与双曲线的交点求法得到B（﹣，）．根据菱形的轴对称性质知：＝﹣（﹣）．由此求得b＝4，则C（0，4）；
（2）如图2，当▱OACB是矩形时，则OA⊥OB．根据直线与双曲线的交点求法得到A（2，1）．由点A、B的纵坐标相同和直线上点的坐标特征推知B（﹣，1），结合矩形的性质得到：C（﹣+2，1+1），即C（，2）．
【解答】解：（1）当点C在y轴上时，设C（0，b）（b＞0）．
∵AB∥x轴，
∴AB⊥OC，点A、B的纵坐标都是．
当y＝时，由＝得：x＝，
此时A（，）．
当y＝时，由＝﹣2x得：x＝﹣，
此时B（﹣，）．
∵平行四边形ABCD是菱形，
∴点A与点B关于y轴对称，
∴＝﹣（﹣）．
解得b＝4或b＝﹣4（舍去）．
经检验b＝4是原方程的解．
∴C（0，4）；
（2）如图2，当▱OACB是矩形时，则OA⊥OB．
则直线OA的解析式为：y＝﹣x，
联立，
解得．
∴A（2，1）．
∵AB∥x轴，
∴点A、B的纵坐标相同，
当y＝1时，1＝﹣2x．
解得x＝﹣．
∴B（﹣，1）．
在矩形OABC中，BC∥OC且BC＝OC．
∴把点B平移到点C与把点O平移到点A的规则相同，
∴C（﹣+2，1+1），即C（，2）．
34．（2022秋•简阳市期末）如图，点A，B是反比例函数y＝（x＞0）上两点，点B位于点A右侧，若点A的坐标为（1，1），点B的横坐标为2+，过点A作AC∥x轴，过点B作BC∥y轴，AC与BC交于点C，连接OC，过B作x轴的平行线，与OC交于点D，连接AB与OC交于点E．
（1）求k的值，求点B的坐标，求直线OC的表达式；
（2）求点D的坐标，根据坐标判断四边形ADBC的形状，并说明理由；
（3）猜想∠AOC与∠COM的关系，并证明你的猜想．
【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数表达式，进而求解；
（2）先证明四边形ADBC为平行四边形，再证明∠ACB＝90°，即可求解；
（3）证明OA＝AE，进而求解．
【解答】解：（1）将点A的坐标代入反比例函数的表达式得：1＝，
解得：k＝1，
则反比例函数的表达式为：y＝，
将点B横坐标为2+代入上式并解得：y＝2﹣，
故点B的坐标为：（2，2﹣），
∵BC∥y轴，AC∥x轴，
则点C的坐标为（2+，1），
设直线OC的表达式为：y＝k′x，
将点C的坐标代入上式并解得：k′＝2﹣，
故直线OC的表达式为：y＝（2﹣）x；
（2）四边形ADBC为矩形，理由：
当y＝2﹣时，即y＝（2﹣）x＝2﹣，
解得：x＝1，即点D（1，2﹣）；
∵点D的纵坐标和点B的纵坐标相同，故BD∥x轴∥AC，
∵AC＝2+1＝＝CD，
∴四边形ADBC为平行四边形，
∵BC∥y轴，AC∥x轴，则∠ACB＝90°，
∴四边形ADBC为矩形；
（3）∠AOC＝∠COM，理由：
由点A的坐标知，OA＝，
由点A、B的坐标得，AB＝＝2＝2AE，
则OA＝AE，
∴∠AOC＝∠AEO，
∵四边形ADBC为矩形，则∠AEO＝∠EAC+∠ECA＝2∠ECA，
∴∠AOC＝2∠ECA，
∵AC∥x轴，
∴∠ACO＝∠COM，
∴∠AOC＝∠COM．
35．（2023•南海区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+2的图像与反比例函数的图像交于一、三象限内的A、B两点，直线AB与x轴交于点C，点B的坐标为（﹣4，n）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若，请直接写出x的取值范围 x＞2 ；
（3）在x的负半轴上有点P，使△AOP是等腰三角形，请直接写出S△AOP＝ 4 ．
【分析】（1）把点B（﹣4，n）代入y＝x+2得到B（﹣4，﹣2），把B（﹣4，﹣2）代入，求得k＝8，于是得到结论；
（2）在第一象限写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方的x的值即可；
（3）解方程组得到A（2，4），根据勾股定理得到OA＝2，当OA＝OP时，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵点B（﹣4，n）在y＝x+2上，
∴n＝﹣2，
∴B（﹣4，﹣2），
∵B（﹣4，﹣2）在上．
∴k＝8，
∴反比例函数的解析式为：y＝；
（2）当0，观察图象可知x的取值范围为：x＞2时，
故答案为：x＞2；
（3）解得或，
∴A（2，4），
∴OA＝＝2，
当OA＝OP＝2时，
∴P（﹣2，0）；
∴S△AOP＝×4＝4，
故答案为：4．
36．（2022•荆州）小华同学学习函数知识后，对函数通过列表、描点、连线，画出了如图1所示的图象．
请根据图象解答：
（1）【观察发现】
①写出函数的两条性质： 函数有最大值为4 ； 当x＞0时，y随x的增大而增大 ；
②若函数图象上的两点（x1，y1），（x2，y2）满足x1+x2＝0，则y1+y2＝0一定成立吗？ 不一定 ．（填“一定”或“不一定”）
（2）【延伸探究】如图2，将过A（﹣1，4），B（4，﹣1）两点的直线向下平移n个单位长度后，得到直线l与函数y＝﹣（x≤﹣1）的图象交于点P，连接PA，PB．
①求当n＝3时，直线l的解析式和△PAB的面积；
②直接用含n的代数式表示△PAB的面积．
【分析】（1）①根据函数图象可得性质；
②假设x1＝﹣，则y1＝1，再根据x2求出y2的值，可知y1+y2＝0不一定成立；
（2）①首先利用待定系数法求出直线AB的解析式，当n＝3时，直线l的解析式为y＝﹣x，设直线AB与y轴交于C，利用平行线之间的距离相等，可得△PAB的面积＝△AOB的面积，从而得出答案；
②设直线l与y轴交于D，同理得△PAB的面积＝△ABD的面积，即可解决问题．
【解答】解：（1）①由图象知：函数有最大值为4，当x＞0时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；
故答案为：函数有最大值为4，当x＞0时，y随x的增大而增大（答案不唯一）；
②假设x1＝﹣，则y1＝1，
∵x1+x2＝0，
∴x2＝，
∴y2＝﹣8，
∴y1+y2＝0不一定成立，
故答案为：不一定；
（2）①设直线AB的解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3，
当n＝3时，直线l的解析式为y＝﹣x+3﹣3＝﹣x，
设直线AB与y轴交于C，
则△PAB的面积＝△AOB的面积，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝＝＝，
∴△PAB的面积为；
②设直线l与y轴交于D，
∵l∥AB，
∴△PAB的面积＝△ABD的面积，
由题意知，CD＝n，
∴S△ABD＝S△ACD+S△BCD
＝
＝．
∴△PAB的面积为．
37．（2022•常德）如图，已知正比例函数y1＝x与反比例函数y2的图象交于A（2，2），B两点．
（1）求y2的解析式并直接写出y1＜y2时x的取值范围；
（2）以AB为一条对角线作菱形，它的周长为4，在此菱形的四条边中任选一条，求其所在直线的解析式．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得反比例函数解析式，求出点B的坐标，（也可以直接利用反比例函数和正比例函数图象的对称性得出点B的坐标．）观察图象即可得出x的取值范围；
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，可证得△AOE是等腰直角三角形，得出：∠AOE＝45°，OA＝AE＝2，再根据菱形性质可得：AB⊥CD，OC＝OD，利用勾股定理即可求得D（1，﹣1），再根据对称性可得C（﹣1，1），运用待定系数法即可求得菱形的边所在直线的解析式．
【解答】解：（1）设反比例函数y2＝，把A（2，2）代入，得：2＝，
解得：k＝4，
∴y2＝，
由，解得：，，
∴B（﹣2，﹣2），
由图象可知：当y1＜y2时，x＜﹣2或0＜x＜2；
注明：也可以直接利用反比例函数和正比例函数图象的对称性得出点B的坐标．
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
∵A（2，2），
∴AE＝OE＝2，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴∠AOE＝45°，OA＝AE＝2，
∵四边形ACBD是菱形，
∴AB⊥CD，OC＝OD，
∴∠DOF＝90°﹣∠AOE＝45°，
∵∠DFO＝90°，
∴△DOF是等腰直角三角形，
∴DF＝OF，
∵菱形ACBD的周长为4，
∴AD＝，
在Rt△AOD中，OD＝＝＝，
∴DF＝OF＝1，
∴D（1，﹣1），
由菱形的对称性可得：C（﹣1，1），
设直线AD的解析式为y＝mx+n，
则，
解得：，
∴AD所在直线的解析式为y＝3x﹣4；
同理可得BC所在直线的解析式为y＝3x+4，AC所在直线的解析式为y＝x+，BD所在直线的解析式为y＝x﹣．
38．（2022•历城区二模）如图，一次函数y1＝k1x+4与反比例函数y2＝的图象交于点A（2，m）和B（﹣6，﹣2），与y轴交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC：S△ODE＝5：1时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点M是直线OP上的一个动点，当△MBC是以BC为斜边的直角三角形时，求点M的坐标．
【分析】（1）将点A（2，m）和B（﹣6，﹣2）代入y2＝得，k2＝12，m＝6，在将点A坐标代入一次函数解析式，解方程即可；
（2）分别表示出梯形ODAC和△ODE的面积，从而得出E的坐标，求出直线OP的解析式，与双曲线且交点即可；
（3）取BC的中点G，连接MG，设M（x，x），根据MG＝CG可得（x+3）2+（x﹣1）2＝18，解方程即可．
【解答】解：（1）将点A（2，m）和B（﹣6，﹣2）代入y2＝得，
k2＝12，m＝6，
∴A（2，6），反比例函数y＝，
将点A（2，6）代入y1＝k1x+4得，
2k1+4＝6，
∴k1＝1，
∴一次函数y＝x+4；
（2）如图，一次函数y＝x+4中，当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），
∴OC＝4，
∵S四边形ODAC：S△ODE＝5：1，
∴（4+6）×2＝5××2×DE，
解得DE＝2，
∴E（2，2），
∴直线OP的解析式为y＝x，
∴＝x，
∵x＞0，
∴x＝2，
∴P（2，2）；
（3）如图，取BC的中点G，连接MG，
∵∠BMC＝90°，
∴GM＝BC，
∵B（﹣6，﹣2），C（0，4），
∴点G（﹣3，1），
∴GC＝，
∴GM＝3，
设M（x，x），
∴（x+3）2+（x﹣1）2＝18，
解得x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，
∴M（﹣1+，﹣1+）或M（﹣1﹣，﹣1﹣）．
39．（2022春•吴兴区期末）矩形OABC的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点F是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点F的反比例函数的图象与边AB交于点E（8，m），AB＝4．
（1）如图1，若BE＝3AE．
①求反比例函数的表达式；
②将矩形OABC折叠，使O点与F点重合，折痕分别与x，y轴交于点H，G，求线段OG的长度．
（2）如图2，连接OF，EF，请用含m的关系式表示OAEF的面积，并求OAEF的面积的最大值．
【分析】（1）①首先求出AE的长，从而得出点E的坐标，即可得出k的值；
②利用反比例函数图象上点的坐标的特征求出CF的长，设OG＝x，则CG＝4﹣x，FG＝x，利用勾股定理列方程，从而解决问题；
（2）利用反比例函数图象上点的坐标的特征求出CF＝2m，再利用矩形面积减去△OCF和△BEF的面积，从而表示出四边形OAEF的面积，再利用配方法求出最大值．
【解答】解：（1）①∵BE＝3AE，AB＝4，
∴AE＝1，BE＝3，
∴E（8，1），
∴k＝8×1＝8，
∴反比例函数表达式为y＝；
②当y＝4时，x＝2，
∴F（2，4），
∴CF＝2，
设OG＝x，则CG＝4﹣x，FG＝x，
由勾股定理得，
（4﹣x）2+22＝x2，
解得x＝，
∴OG＝；
（2）∵点E、F在反比例函数的图象上，
∴CF×4＝8m，
∴CF＝2m，
∴四边形OAEF的面积为8×4﹣＝﹣m2+4m+16＝﹣（m﹣2）2+20，
∵0＜m＜4，
∴当m＝2时，四边形OAEF的面积最大为20．
40．（2022春•工业园区校级期末）我们定义：如果一个矩形A周长和面积都是B矩形的N倍，那么我们就称矩形A是矩形B的完全N倍体．
【概念辨析】
（1）若矩形A为正方形，是否存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体？ 不存在 （填“存在”或“不存在”）．
【深入探究】
长为3．宽为2的矩形C是否存在完全2倍体？
小鸣和小棋分别有以下思路：
【小鸣方程流】设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝10．xy＝12，
联立得x2﹣10x+12＝0，再探究根的情况；
【小棋函数流】如图，也可用反比例函数l2：y＝与一次函数l1：y＝﹣x+10来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全2倍体．
（2）那么长为3．宽为2的矩形C是否存在完全倍体？请利用上述其中一种思路说明原因．
（3）如果长为3，宽为2的矩形C存在完全k倍体，请直接写出k的取值范围： k≥ ．
【分析】（1）根据“完全N倍体”的定义及题干示例解答即可；
（2）运用新定义“完全N倍体”及【小鸣方程流】和【小棋函数流】的方法分别解答即可；
（3）设所求矩形的长为x，则所求矩形的宽为：k（3+2）﹣x，即5k﹣x，根据新定义“完全N倍体”可得：x2﹣5kx+6k＝0，再运用根的判别式即可求得答案．
【解答】解：（1）不存在．
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2时，则面积比必定是4，所以不存在．
【深入探究】
长为3，宽为2的矩形C存在完全2倍体矩形，
∵ABCD长为3，宽为2，
∴矩形ABCD的周长为10，面积为6，
【小鸣方程流】设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝10．xy＝12，
联立，
整理得x2﹣10x+12＝0，
解得：x1＝5+，x2＝5﹣，
∴新矩形的长为5+，宽为5﹣时，周长为20，面积为12，
∴长为3，宽为2的矩形C存在完全2倍体矩形．
【小棋函数流】如图，设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝10．xy＝12，
即y＝﹣x+10，y＝，
利用反比例函数l2：y＝与一次函数l1：y＝﹣x+10来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全2倍体．
故答案为：不存在，
（2）长为3，宽为2的矩形C的周长为10，面积为6，
【小鸣方程流】设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝，xy＝3，
联立得，
整理得：2x2﹣5x+6＝0，
∵Δ＝（﹣5）2﹣4×2×6＝﹣23＜0，
∴此方程没有实数根，即长为3．宽为2的矩形C不存在完全倍体；
【小棋函数流】如图，设新矩形长和宽为x、y，则依题意x+y＝．xy＝3，
即y＝﹣x+，y＝，
利用反比例函数l2：y＝与一次函数l1：y＝﹣x+来研究，作出图象，无交点，意味着不存在完全2倍体．
（3）设所求矩形的长为x，则所求矩形的宽为：k（3+2）﹣x，即5k﹣x，
由题意得：x•（5k﹣x）＝6k，
整理得：x2﹣5kx+6k＝0，
Δ＝25k2﹣24k，
∵一定存在另一个矩形的周长和面积分别是已知矩形周长和面积k倍，
∴△≥0，
∴25k2﹣24k≥0，即k（25k﹣24）≥0，
∵k＞0，
∴25k﹣24≥0，
∴k≥，
∴k的取值范围为：k≥；
故答案为：k≥．
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
﹣
﹣
﹣
0
1
2
3
4
…
y
…
1
2
4
1
0
﹣4
﹣2
﹣
﹣1
…