江西省吉安市峡江县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份江西省吉安市峡江县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．9的平方根是( )
A．±3B．±C．3D．－3
2．下列命题中，假命题的个数有（ ）
①实数与数轴上的点一一对应；②无限小数就是无理数；③一个数的算术平方根是它本身，这个数是1；④三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；⑤两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补．
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．在2021年元旦汇演中，10位评委给八年级一班比赛的打分如表格：
则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．95，95B．96，96C．96，95D．96，97
4．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，树干顶部落在距根部处，这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．5米B．7米C．8米D．12米
5．如图，直线和直线相交于点，根据图象可知，关于的方程的解是（ ）
A．B．C．D．
6．若点在第二象限，则一次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．若，则 ．
8．已知：a，b是两个连续的整数，且则 ．
9．将一副直角三角板如图放置，已知，，，则 °．
10．如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则 ．
11．已知一组数据的方差是2，那么另一组数据，，的方差是 ．
12．若关于x、y的方程组有整数解，则正整数a的值为 ．
三、解答题
13．计算：
(1)
(2)
14．解方程组：
15．已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1＝∠2，求证：AB＝AC．
16．一只螳螂在一圆柱形松树树干的点A处，它发现在其正上方的点B处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是按如图所示的路线，绕到虫子后面吃掉它．已知树干的底面周长为，两点间的距离为，求螳螂绕行的最短路程．
17．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上，请用无刻度直尺作图，并保留作图痕迹．
(1)在图1中，请以直线为对称轴，画出与成轴对称的图形．
(2)在图2中，请在直线上找一点，使得．
18．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十：粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而春之，得米七斗，问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再春成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？向桶中加了谷子多少斗？
19．某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历、能力、经验这三项进行了测试，各项满分均为10分，成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统计图．
(1)分别求出甲、乙三项成绩的平均成绩，并指出会录用谁；
(2)若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果．
20．某网络公司推出了一系列上网包月业务，其中的一项业务是网络元包小时，且其中每月收取费用y（元）与上网时间x（小时）的函数关系如图所示，小刚和小明家正好选择了这项上网业务．
(1)当时，求y与x之间的函数关系式；
(2)若小刚家月份上网小时，则他家应付多少元上网费？
(3)若小明家月份上网费用为元，则他家该月的上网时间是多少小时？
21．如图，中，，平分，如果点M，N分别为上的动点，求：
(1)画出点N关于的对称点；
(2)当点（随点M和N的运动）运动到何处时，取得最小值？并求出最小值．
22．先阅读下列一段文字，再回答问题．
已知平面内两点，这两点间的距离．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间的距离公式可简化为或．
(1)已知点，，试求A，B两点间的距离；
(2)已知点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4，求点A的纵坐标；
(3)己知△ABC各顶点的坐标分别为，，，你能判断的形状吗？说明理由．
23．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：．
【模型呈现】
某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2），即“一线三等角”模型和“K字”模型．
（1）请在上图2中选择其中一个模型进行证明．
【模型应用】
（2）如图3，正方形中，，，求的面积．
（3）如图4，四边形中，，，，，，求的面积．
成绩/分
94
95
96
97
98
99
评委人数
2
1
3
1
2
1
参考答案：
1．A
【分析】根据平方根的定义即可求出答案．
【详解】解：9的平方根是：
±=±3．
故选A．
【点睛】本题考查平方根，解题的关键是熟练运用平方根的定义，本题属于基础题型．
2．C
【分析】根据实数与数轴的关系可判断①为真命题；根据无理数定义可判断②为假命题；根据算术平方根的定义即可判断③为假命题；根据三角形的一个外角性质可判断④为真命题；根据平行线性质可判断⑤为假命题即可．
【详解】解：实数与数轴上的点一一对应，所以①为真命题；
无限不循环小数是无理数，所以②为假命题；
一个数的算术平方根是它本身，这个数是1或，所以③是假命题；
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，所以④为真命题；
两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，所以⑤为假命题；
∴假命题有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查实数与数轴的关系，无理数定义，三角形外角性质，平行线性质，算术平方根，掌握实数与数轴的关系，无理数定义，三角形外角性质，平行线性质是解题关键．
3．B
【分析】由表格及众数、中位数的概念可直接进行排除选项．
【详解】解：由表格可得：
众数为96，中位数为中间两个数的平均数，即；
故选B．
【点睛】本题主要考查众数及中位数，熟练掌握求众数及中位数是解题的关键．
4．C
【分析】先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的和即可得出结论．
【详解】解：如图所示：
∵是直角三角形，，，
∴
∴这棵树原高：，
故选：C．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是先根据勾股定理求出的长度，再根据大树的高度进行解答．
5．A
【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解．
【详解】∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25），
∴x+5＝ax+b的解是x＝20，
即方程x+5＝ax+b的解是x＝20，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝ax＋b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
6．B
【分析】此题主要考查了一次函数的图象性质．根据点在第二象限，可得，，利用一次函数的图象与性质的关系即可得出答案．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，，
∴，
∴一次函数图象经过第一、三、四象限，
故选：B．
7．4
【分析】本题考查了算术平方根和立方根的定义，解答关键是熟练掌握相关定义．
先根据算术平方根定义，求出x，再求x的立方根即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：4
8．-1
【分析】先求出，得出，，代入求值即可．
【详解】解：∵，∴，
∵，且a，b是两个连续的整数，
∴，，
∴，
故答案为：-1．
【点睛】本题主要考查了估计无理数的大小的应用，解题的关键是确定的范围．
9．105
【分析】根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理以及对顶角相等即可求解．
【详解】，，
，
∵∠E=60°，
∴∠F=30°，
故答案为：105
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，掌握平行线的性质是解题的关键．
10．40°/40度
【分析】根据入射角等于反射角，可得，根据三角形内角和定理求得，进而即可求解．
【详解】解：依题意，，
∵，，
，
∴，
．
故答案为：40°．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键．
11．8
【分析】本题考查了方差的计算等知识，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍，求解即可．
【详解】解：设数据平均数为，方差为，平均数为，方差为，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：.
12．1或3或5
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先利用加减消元法解方程组得到，再根据方程组有整数解得到和都是整数，据此求解即可．
【详解】解：，
得：，解得，
把代入②得：，解得，
∴方程组的解为，
∵关于x、y的方程组有整数解，
∴和都是整数，
∴或，
又∵，即，且a为正整数，
解得或或或（舍去），
故答案为：1或3或5．
13．(1)
(2)
【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式以及求一个数的立方根，解答关键是熟练掌握相关运算法则．
（1）先将各二次根式化简，然后合并同类二次根式即可；
（2）先算乘除，再将各二次根式化简，最后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：原式= =；
（2）解：原式=．
14．
【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，掌握消元法是解题关键．
【详解】解方程组：
解：由②3×①得：
将代入①得：
∴此方程组的解为：．
15．见解析
【分析】先由平行线的性质得∠1=∠B，∠2=∠C，再由角平分线定义得∠1=∠2，则∠B=∠C，然后由等角对等边即可得出结论．
【详解】证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C，
∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质以及角平分线定义等知识；熟练掌握等腰三角形的判定和平行线的性质是解题的关键．
16．螳螂绕行的最短路程为
【分析】本题考查了平面展开图的最短路径问题，画出圆柱的平面展开图，利用勾股定理求解，先根据题意画出圆柱体沿高展开的图形，再利用勾股定理求解最短路程即可．
【详解】解：将圆柱侧面展开，得最短路程即为．
根据勾股定理，得cm
∴螳螂绕行的最短路程为．
17．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作轴对称图形，勾股定理，无刻度直尺作图，线段垂直平分线的判定等，掌握轴对称图形的性质，线段垂直平分线的判定方法是解题的关键．
（1）在格点中找到各顶点关于直线的对称点，顺次连接即可；
（2）由勾股定理可知点B到点A和点C的距离相等，因此只需在右侧找一个到点A和点C的距离相等的点，该点与点B的连线与直线的交点即为点．
【详解】（1）解：如图，即为所求；

（2）解：如图，在网格中选取点D，连接，与直线的交点即为点P．

证明：由勾股定理可得：
，，
，
．
18．原来的米斗，向桶中加的谷子斗
【分析】本题考查了列二元一次方程组解应用题．解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系列出方程组．
设原来有米x斗，再向桶加粟y斗，由题意列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：设原来的米x斗，向桶中加的谷子y斗，
根据题意，得
，
解得
答：原来的米2.5斗，向桶中加的谷子7.5斗．
19．(1)甲的平均成绩为；乙的平均成绩为；会录用甲；
(2)甲的成绩为；乙的成绩为，会改变录用结果．
【分析】（1）分别把甲、乙二人的平均成绩求出，即可进行判断；
（2）分别计算出甲、乙二人的三项成绩的加权平均数并比较即可．
【详解】（1）解：甲三项成绩的平均成绩为：；
乙三项成绩的平均成绩为：；
∴．
录取规则是分高者录取，所以会录用甲．
（2）解：“学历”所占比例为：；
“能力”所占比例为：；
“经验”所占比例为：；
∴“学历”、“能力”、“经验”的比为2∶3∶1；
甲的成绩为：；
乙的成绩为：；
因为，所以会录用乙．所以会改变录用结果．
【点睛】此题考查了数据的描述与加权平均数的应用能力，关键是能根据统计图获得实际问题中的信息，并能通过求解加权平均数对问题进行分析．
20．(1)当时，y与x之间的函数关系式为：
(2)应交费元；
(3)他家该月的上网时间是（小时）
【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键.
（1）设与之间的函数关系式为，将点代入用待定系数法求解即可；
（2）由图像可得上网时长小于小时上网费不变为元，所以上网小时，则他家应付元上网费；
（3）元超过元，说明上网时长大于时，故将代入（1）中解析式即可求得上网时间的值.
【详解】（1）解：设当时，y与x之间的函数关系式为，
∵图象经过，
∴，
解得，
∴当时，y与x之间的函数关系式为：；
（2）解：由图像可得上网时长小于小时上网费不变为元，根据图象可得小刚家月份上网小时，应交费元；
（3）解：把代入，得，
解得，
答：他家该月的上网时间是（小时）．
21．(1)图见解析
(2)的最小值是
【分析】本题考查了轴对称的性质以及垂线段最短等知识点，掌握相关结论即可．
（1）以点为圆心，长为半径画圆，与的交点即为点；
（2）作，当与E重合时，取得最小值，据此即可求解．
【详解】（1）解：如图所示：点即为所求，
（2）解：作，当与E重合时，取得最小值
由轴对称可知：，
∴．
∵
∴
即：
∴
即的最小值是．
22．(1)A，B两点间的距离为13
(2)A的纵坐标为6或
(3)为等腰直角三角形
【分析】本题考查两点间的距离公式及勾股定理，熟记以上知识是解题的关键．
（1）直接利用两点间的距离公式计算；
（2）由于横坐标相同，所以、两点间的距离等于纵坐标差的绝对值；
（3）先根据两点间的距离公式计算出、、，然后根据勾股定理的逆定理进行判断．
【详解】（1），
即A，B两点间的距离为13．
（2）∵点A，B所在的直线平行于y轴，点B的纵坐标为2，A，B两点间的距离为4，
∴A的纵坐标为或者．即点A的纵坐标为6或．
（3）为等腰直角三角形．理由如下：
∵，
，
，
∴，且
∴为等腰直角三角形．
23．（1）详见解析
（2）
（3）
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解答关键是在题目应用全等模型进行证明．
（1）应用证明三角形全等即可；
（2）过C作延长线的垂线，垂足为F，证明，得到，求的面积即可；
（3）分别过C和E作延长线的垂线、，垂足分别为G、H，证明，得到边上的高为1，求的面积即可；
【详解】证：（1）例如选第一个图形可证（同理可证第二个）
∵，
∴
又∵，，
∴
（2）过C作延长线的垂线，垂足为F，
则由（1）易得
，
∴，
即边上的高为4，
∴．
（3）分别过C和E作延长线的垂线、，垂足分别为为G、H，
则由（1）易得，
又∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，即边上的高为1，
∴．