安徽省阜阳市临泉第一中学2022-2023学年高三上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份安徽省阜阳市临泉第一中学2022-2023学年高三上学期期中数学试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知复数z满足,且,则( )
A.B.C.1D.
2．已知集合,,则( )
A.SB.TC.ZD.R
3．在等比数列中,若,,则( )
A.3或-3B.3C.-9或9D.9
4．设向量,,,若,则( )
A.-2B.-3C.D.
5．已知,则( )
A.B.C.D.
6．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵,研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为,其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数.当一条鲑鱼以的速度游动时,其耗氧量是静止时耗氧量的倍数为( )
A.B.8C.32D.64
7．已知等差数列的公差为d,前n项和为,当首项和d变化时,是一个定值,则使为定值的n的最小值为( )
A.15B.17C.19D.21
8．已知是定义在R上的奇函数,若,,则的值为( )
A.-3B.0C.3D.6
9．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,则的形状为( )
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形
10．已知函数的部分图象如图所示,将的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象,则( )
A.
B.
C.在区间上单调递增
D.图象的对称中心为
11．定义表示不超过x的最大整数,如,.若数列的通项公式为,为数列的前n项和,则( )
A.B.C.D.
12．当 时,恒成立,则a的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．设,i为虚数单位,且,则________________.
14．若曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2,则实数a的值是_______________.
15．一游客在A处望见在正北方向有一塔B,在北偏西45°方向的C处有一寺庙,此游客骑车向西行后到达D处,这时塔和寺庙分别在北偏东30°和北偏西15°,则塔B与寺庙C的距离为_______________.
16．已知数列的前n项和为,首项且,若对恒成立,则实数的取值范围是______________.
三、解答题
17．已知向量,,函数.
(1)求的最小正周期及取得最小值时x的值;
(2)若求的单调区间和最值.
18．已知数列满足且.
（1）证明数列是等比数列;
（2）设数列满足,,求数列的通项公式.
19．在中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,,且BC边上的中线长为,.
(1)求角A的大小;
(2)求的面积.
20．设为数列的前n项和,,数列满足,.
(1)求及;
(2)记表示n的个位数字,如,求数列的前20项和.
21．如图,某城市有一条公路从正西方AO通过市中心O后转向东偏北角方向的OB,位于该市的某大学M与市中心O的距离,且,现要修筑一条铁路L,L在OA上设一站A,在OB上设一站B,铁路在AB部分为直线段,且经过大学M,其中,,.
(1)求大学M与站A的距离AM;
(2)求铁路AB段的长AB.
22．已知函数.
(1)讨论在上的单调性;
(2)若,证明：函数在R上有且仅有三个零点.
参考答案
1．答案：B
解析：由题意得,而,得,
故选：B.
2．答案：A
解析：若,则,所以,故.
又,但,所以T是S的真子集,
又,,但,所以
故选：A.
3．答案：B
解析：是和的等比中项,则,
解得,由等比数列的符号特征知.
故选：B.
4．答案：D
解析：因为向量,,,所以
又因为,则有,即,
所以
故答案为：D.
5．答案：A
解析：因为,
得,所以,,
所以,又,所以,,
因此,
因此.
故选：A.
6．答案：D
解析：因为,所以当鲑鱼静止时,,即,
化简得,所以;
当,即,
化简得,所以,所以.
.
故选：D.
7．答案：B
解析：,故为定值.
又,所以为定值.
故选：B.
8．答案：A
解析： 为奇函数, .
又,所以,因此,
函数是周期为4的周期函数,
所以.
又,,
因此.
故选：A.
9．答案：C
解析：由,可得,
结合正弦定理可得,即,
即,所以.
所以或,即或,
所以是等腰三角形或直角三角形.
故选：C.
10．答案：C
解析：由函数图象可知,,设的最小正周期为T,则,故,
所以,,所以,
故,所以,
又,所以,故,
对选项A：,错误;
对选项B：,B错误;
对选项C：当时,,由于在上递增,
故在区间上单调递增,正确;
对选项D：令,所以,即图象的对称中心为,错误.
故选：C.
11．答案：D
解析：,,
当时,,即（共1项）;
当时,,3,即（共2项）;
当时,,5,6,7即（共4项）;
…
当时,,,···,即（共项）,
由,得.即,所以.
所以,
则,
两式相减得
,
.
故选：D.
12．答案：A
解析：
令
只需,
即
当时,
则a的取值范围为
故选：A.
13．答案：1
解析：由得,即,
故答案为：1.
14．答案：4
解析：由,则切线斜率,
则过的切线方程为:,
与坐标轴交点分别为,,
又所成三角形面积为2,可得,所以,
故答案为：4.
15．答案：
解析：如图,在中,由题意可知,,可得.

在中,,,, ,
.
在中,
,
.
故答案为：.
16．答案：
解析：因为,所以,
数列是以为首项,公比为2的等比数列,
,.
因此.
所以对恒成立,可化为对恒成立.
当n为奇数时,,所以 ,即;
当n为偶数时,,解得.
综上,实数的取值范围是.
故答案为：.
17．答案：(1)最小正周期.;
(2)单调递增区间为,单调递减区间为;最大值为2,最小值为-1.
解析：(1).
最小正周期.
令,解得.
故取得最小值时
(2)令,解得.
,在单调递增,在上单调递减,
故所求单调递增区间为,单调递减区间为.
,,
在上的最大值为2,最小值为-1.
18．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）因为,所以,即,
所以是首项为1公比为3的等比数列
（2）由（1）可知,所以
因为,所以
……
,,
各式相加得：,
又,所以,
又当时,满足上式,所以
19．答案：(1)
(2)
解析：（1）因为,
由正弦定理得：,
所以.
因为,
所以,
即,
即,
整理得.
因为,所以,所以,
即,
所以.
因为,所以,即.
（2）设BC的中点为D,根据向量的平行四边形法则可知：
,所以,
即,
因为,,所以,
解得或（舍去）.
所以.
20．答案：(1),;
(2)
解析：（1）当时,,
由于也满足,则.
,,,是首项为3,公差为2的等差数列,.
（2）,的前5项依次为1,3,5,7,9.
,的前5项依次为3,5,7,9,1.
易知,数列与的周期均为5,
的前20项和为
.
21．答案：(1);
(2).
解析：（1）在中,,,且,,
由余弦定理可得：
,
,
大学M与站A的距离AM为;
（2）,且为锐角,
,
在中,由正弦定理可得：,
即,
,由题可知为锐角,
,
,
,
,,
,
又,
,
在中,,
由正弦定理可得：,即,
解得,
铁路AB段的长AB为
22．答案：(1)单调递增区间是,递减区间是
(2)证明见解析
解析：（1）由函数,
可得
令,可得,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减,
所以的单调递增区间是,递减区间是.
（2）证明：,
因为,所以0是的一个零点.
又因为,
所以是偶函数,
即要确定在R上的零点个数,需确定时,的零点个数即可.
①当时,,
令,即,或,
当时,,单调递减,且,
当时,,单调递增,且,
所以在上有唯一零点.
②当时,由于,.
,
而在单调递增,.
所以恒成立,故在无零点,
所以在有一个零点.
由于是偶函数,所以在有一个零点,而,
综上所述,函数在R上有且仅有三个零点.