2022-2023学年四川省德阳市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年四川省德阳市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.集合A={x|x<2}，B={0,1,2,3}，则A∩B=( )
A. {0,1,2,3}B. {1}C. {0,1}D. {0,1,2}
2.复数z=−1+ii2，则z−=( )
A. −1+iB. −1−iC. 1+iD. 1−i
3.若向量a=(x,x−2)，b=(x,1)，则函数f(x)=a⋅b的零点为( )
A. (−2,0)，(1,0)B. (2,0)，(−1,0)C. −1，2D. −2，1
4.已知l、m、n是直线，α是平面，且m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m，l⊥n”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
5.如图，某港口一天中6时到18时的水深变化曲线近似满足函水深数y=Asin(ωx+φ)+5(A>0)，据此可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
6.已知f(x)=|lgx|，若a=f(14)，b=f(13)，c=f(2)，则( )
A. a7.已知点C(0,1)，函数f(x)=x2+2mx−m的图象与x轴交于A、B两点，且CA⊥CB，当x∈[−2,1]时，函数f(x)的值域为( )
A. [−2,1]B. [−1,2]C. [−1,1]D. [−2,2]
8.蹴鞠，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚瞰，踢、蹦的含义，鞠最早系外包皮革、内实米镰的球.因而蹴鞠就是指我国古人以脚殿、蹦、踢皮球的活动，类似于今日的足球，2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列人第一批国家非物质文化遗产名录，已知某鞠(球)的表面上有四点A，B，C，D满是：△ABD，△CBD均为边长为6的正三角形，且二面角A−BD−C的大小为π2，则该鞠的表面积为( )
A. 60πB. 58πC. 56πD. 52π
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知一组数据：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均数为4.7，则( )
A. x=7
B. 这组数据的第50百分位数为5.5
C. 若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的平均数变为5
D. 若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的方差将增加0.3
10.如图所示的正方体ABCD−A1B1C1D1中( )
A. AC⊥BD1
B. 异面直线AC与BC1所成的角为45∘
C. 若点P是直线AC上一个动点，则四棱锥P−A1B1C1D1的体积随着点P的运动而改变
D. 直线BC1与平面ABCD内任意直线都不平行
11.在△ABC中，C=π3，AB= 3( )
A. 若BC=1，则存在两个不同的△ABC满足条件
B. △ABC的外接圆面积为定值π
C. AB边上的高的最大值为32
D. △ABC为锐角三角形⇔π612.已知f(x)=sin2x−mcs2x( )
A. f(x)的最大值为1+|m|
B. f(x)+|f(x)|的最小正周期为π
C. 若f(x)在x=x0处取得最大值，且x0∈(π12,π4)，则m的取值范围为(0, 3)
D. 若f(x)在x=x0处取得量大值，则关于x的方程tan2x=m在(x0,x0+π6)无实数根
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.某中学田径队有男运动员56人，女运动员42人，按性别进行分层随机抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为28的样本，如果样本按比例分配，则女运动员应该抽取的人数为______.
14.已知角α+π2的终边经过点(−3,4)，则csα=______.
15.已知函数f(x)满足f(x+4)=f(x)，f(−x)=f(x)，且当x∈[0,2]时，f(x)=x2+1，则f(2023)=______.
16.如图，半径为2的圆O内有一条长度等于半径的弦AB，若圆O内部(不含圆上)有一动点P，则PA2+AP⋅PB的取值范围为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
为了解某中学高一学生的某次月考的数学成绩，备课组人员随机抽取了100名学生的数学成绩并进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图.已知不低于90分为及格，不低于130分为优秀.
(1)求实数a的值；
(2)若参加本次月考的学生总人数为1500，试根据样本的相关信息估计本次月考数学成绩及格和优秀的人数.
18.(本小题12分)
已知平面向量e1，e2满足：|e1|=2，|e2|=1，e1⊥e2，a=e1+te2，b=(t−1)e1+2e2.
(1)若a//b，求实数t的值；
(2)若向量b在向量a上的投影向量恰为向量a，求实数t的值.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=(sinωx+csωx)2−2cs2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求实数ω的值及f(x)的单调递增区间；
(2)将f(x)的图象向左平移m个单位(m>0)后的图象关于直线x=π2对称，求实数m的最小值.
20.(本小题12分)
如图，四棱锥P−ABCD中，AD=2BC=4，AD//BC，AD⊥AB，△PAB为正三角形，且平面PAB⊥平面ABCD，E为侧棱PD的中点.
(1)求证：EC//平面PAB；
(2)若VP−ABCD=4 3，求直线PD与平面ABCD所成的角的大小.
21.(本小题12分)
记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且csA1+sinA=tanB.
(1)若a=b=1，求c的值；
(2)以a、b、c为边长的正三角形的面积分别记为S1、S2、S3，求S1+S2S3的最小值.
22.(本小题12分)
设函数f(x)=2x+k2x满足f(0)=k(k+1).
(1)判定f(x)的奇偶性并说明理由；
(2)当f(x)为奇函数时，是否存在常数a>0，使得关于t的不等式f[lga(t+1)+1]+f(−lgat+1)<0在区间[1,2]上的解集非空，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：因为集合A={x|x<2}，B={0,1,2,3}，
则A∩B={0,1}.
故选：C.
根据题意，由集合的交集运算即可得到结果．
本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】因为z=−1+ii2=−1+i−1=1+i，
所以z−=1−i.
故选：D.
先利用复数的运算法则求出复数z，然后可求出其共轭复数．
本题主要考查共轭复数的定义，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由题意可得，f(x)=a⋅b=x2+x−2=(x+2)(x−1)，
令f(x)=0，可得x=−2或x=1，所以函数f(x)的零点是−2，1.
故选：D.
根据题意，由平面向量数量积的坐标运算即可得到函数f(x)的解析式，从而得到结果．
本题主要考查向量的数量积以及函数的零点，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：若l⊥α，则直线l垂直平面α中任意一条直线，由m⊂α，n⊂α，故l⊥m，l⊥n，
由m⊂α，n⊂α，若l⊥m，l⊥n，不明确m，n是否相交，所以不能推出l⊥α，
所以“l⊥α”是“l⊥m，l⊥n”的充分不必要条件．
故选：A.
根据线面垂直的判定定理，以及充分条件、必要条件的定义可得结果．
本题主要考查充分必要条件的判断，考查逻辑推理能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：由题意可知函数y=Asin(ωx+φ)+5(A>0)的最小值为2，
由sin(ωx+φ)∈[−1,1]，则5−A=2，解得A=3，
易知函数y=Asin(ωx+φ)+5(A>0)的最大值为A+5=8.
故选：B.
根据三角函数的值域，结合题意，建立求最小值的方程，可得参数A的值，进而可得答案．
本题考查三角函数的值域等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
6.【答案】D
【解析】解：依题意，f(x)=|lgx|=lgx,x>1−lgx,0所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
又f(2)=f(12)，
所以f(14)>f(13)>f(12)=f(2)，
所以c故选：D.
将f(x)写成分段函数的形式，根据各段上的单调性比较即可．
本题考查了分段函数的单调性，函数值的大小比较，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：已知函数f(x)=x2+2mx−m的图象与x轴交于A、B两点，
所以方程x2+2mx−m=0有两个不相等的实数根，
此时Δ=4m²+4m>0，
解得m<−1或m>0，
不妨设方程的两个实数根为x1，x2(x1解得x1=−m+ m2+m，x2=−m− m2+m，
此时A(−m+ m2+m,0)，B(−m− m2+m,0)，
又C(0,1)，
易得CA=(−m+ m2+m,−1)，CB=(−m− m2+m,−1)，
因为CA⊥CB，
所以CA⋅CB=(−m+ m2+m)(m− m2+m)+1=0，
解得m=1，
所以f(x)=x2+2x−1，
因为函数f(x)是开口向上的二次函数，对称轴x=−1，
所以当x=−1时，函数f(x)取得极小值，极小值f(−1)=−2，
又f(−2)=−1，f(1)=2，
则当x∈[−2,1]时，函数f(x)的值域为[−2,2].
故选：D.
由题意，将函数f(x)的图象与x轴交于A、B两点转化成方程x2+2mx−m=0有两个不相等的实数根，得到A，B两点的坐标，将CA⊥CB转化成CA⋅CB=0，列出等式求出m的值，代入函数解析式中，利用二次函数的性质再求解即可．
本题考查二次函数的性质以及函数值域问题，考查了偶记推理、转化思想和运算能力．
8.【答案】A
【解析】解：如图，
取BD的中点为M，连接AM，CM，
∵△ABD，△CBD均为正三角形，∴AM⊥BD，CM⊥BD，
则∠AMC为二面角A−BD−C的平面角，∴∠AMC=π2，即AM⊥CM，
记E，F分别是正三角形ABD和正三角形BCD的外心(也是重心)，
过点E，F分别作平面ABD和平面BCD的垂线，交点为O，连接OF，OE，OM，OB，
∴O三棱锥外接球的球心，
∵平面ABD⊥平面BCD，AM⊥BD，平面ABD∩平面BCD=BD，AM⊂平面ABD，
∴AM⊥平面BCD，则AM//OF，同理可得CM//OE，可得四边形OEMF是平行四边形，
∵AM=CM= 32×6=3 3，∴EM=FM=13AM= 3，
又AM⊥CM，∴四边形OEMF为正方形，得OM= 6，
∵AM⊥BD，CM⊥BD，AM∩CM=M，AM，CM⊂平面ACM，∴BD⊥平面ACM，
又OM⊂平面ACM，∴OM⊥BD，
在直角三角形OMB中，球半径OB= OM2+BM2= ( 6)2+32= 15.
∴外接球体积为4π×( 15)2=60π.
故选：A.
由题意画出图形，找到球心的位置，利用勾股定理列出方程，求出外接球的半径，进而得到球的表面积．
本题考查多面体的外接球，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：因为3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均数为4.7，
所以3+3+4+4+4+x+5+5+6+610=4.7，解得x=7，故A正确；
该组数据从小到大排列为3，3，4，4，4，5，5，6，6，7，故这组数据的第50百分位数为4+52=4.5，故B错误；
若将这组数据每一个都加上0.3后数据变为3.3，3.3，4.3，4.3，4.3，7.3，5.3，5.3，6.3，6.3，
所以新数据的平均数3.3+3.3+4.3+4.3+4.3+7.3+5.3+5.3+6.3+6.310=5，故C正确；
原数据的方差为：
(3−4.7)2+(3−4.7)2+(4−4.7)2+(4−4.7)2+(4−4.7)2+(7−4.7)2+(5−4.7)2+(5−4.7)2+(6−4.7)2+(6−4.7)210
=1.72+1.72+0.72+0.72+0.72+2.32+0.32+0.32+1.32+1.3210，
新数据的方差为：
(3.3−5)2+(3.3−5)2+(4.3−5)2+(4.3−5)2+(4.3−5)2+(7.3−5)2+(5.3−5)2+(5.3−5)2+(6.3−5)2+(6.3−5)210
=1.72+1.72+0.72+0.72+0.72+2.32+0.32+0.32+1.32+1.3210，
所以方差没有变化，故D错误．
故选：AC.
根据平均数求得原数据，然后利用百分位数的概念及平均数与方差的计算公式逐项判断．
本题考查平均数、方差、百分位数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】AD
【解析】解：对于A，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC，
又AC⊥BD，DD1∩BD=D，DD1⊂平面D1DBB1，BD⊂平面D1DBB1，∴AC⊥平面D1DBB1，
而BD1⊂平面D1DBB1，∴AC⊥BD1，故A正确；
对于B，由C1D1=AB，C1D1//AB，得四边形ABC1D1为平行四边形，∴AD1//BC1，
∴∠D1AC(或其补角)即为异面直线AC与BC1所成角，连接D1C，
∵AD1=AC=D1C，∴△AD1C为等边三角形，可得∠D1AC=60∘，
即异面直线AC与BC1所成的角为60∘，故B错误；
对于C，∵平面A1B1C1D1//平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC//平面A1B1C1D1，
故直线AC上一个动点P到平面A1B1C1D1的距离为正方体的棱长，
又四棱锥P−A1B1C1D1的底面A1B1C1D1面积为定值，
∴四棱锥P−A1B1C1D1的体积为定值，故C错误；
对于D，∵直线BC1与平面ABCD相交，∴直线BC1与平面ABCD内任意直线都不平行，故D正确．
故选：AD.
由线面垂直的判定与性质判断A；利用平行线作出异面直线所成的角，在三角形中求解判断B；先证线面平行，从而确定四棱锥的高为定值判断C；利用线面关系判断D.
本题考查空间中直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：由正弦定理ABsinC=BCsinA得sinA=BCAB×sinC=1 3× 32=12，
又0π，
三角形不存在，故只有一个△ABC满足条件，故A错误；
设△ABC的外接圆的半径为r，由正弦定理ABsinC= 3 32=2r得r=1，
所以△ABC的外接圆面积为πr2=π×12=π，故B正确；
由余弦定理可知3=a2+b2−2ab×12≥ab，故ab≤3，当且仅当a=b时，等号成立，
所以S=12ab× 32≤3 34，此时面积的最大值为3 34，设AB边上的高为h，
则S=12×AB×h= 32h≤3 34，所以h≤32，即AB边上的高的最大值为32，故C正确；
因为△ABC为锐角三角形，所以0当π6所以△ABC为锐角三角形，所以△ABC为锐角三角形⇔π6故选：BCD.
利用正弦定理判断A、B，通过余弦定理及基本不等式求解三角形面积的最大值，从而求解高的最大值判断C，利用锐角三角形的概念判断及充要条件判断D.
本题主要考查三角形中的几何计算，考查转化能力，属于中档题．
12.【答案】BD
【解析】解：f(x)=sin2x−mcs2x= 1+m2sin(2x−φ)，其中tanφ=m，
所以函数f(x)的最大值为 1+m2，故A错误；
因为函数f(x)= 1+m2sin(2x−φ)的最小正周期为π，
函数|f(x)|= 1+m2|sin(2x−φ)|的最小正周期为π2，
根据周期函数的性质知，f(x)+|f(x)|的最小正周期为π，故B正确；
由函数f(x)= 1+m2sin(2x−φ)在x=x0处取得最大值，所以2x0−φ=2kπ+π2,k∈Z，
即φ=2x0−π2−2kπ,k∈Z，所以m=tanφ=tan(2x0−π2−2kπ)=tan(2x0−π2)=−1tan2x0，
因为x0∈(π12,π4)，所以2x0∈(π6,π2)，所以tan2x0∈( 33,+∞)，所以m∈(− 3,0)，故C错误；
由m=tan(2x0−π2)及tan2x=m知，tan(2x0−π2)=tan2x，所以2x=2x0−π2+kπ,k∈Z，
即x=x0−π4+kπ2,k∈Z，若x∈(x0,x0+π6)，则x0所以π4所以关于x的方程tan2x=m在(x0,x0+π6)无实数根，故D正确．
故选：BD.
利用辅助角公式化简函数即可求解最值可判断A；利用函数周期的性质判断B；利用正弦函数最值时的结论得φ=2x0−π2−2kπ,k∈Z，然后利用正切函数的值域求解m范围，判断C；利用极值点及方程消去m得tan(2x0−π2)=tan2x，然后解正切函数方程即可判断D.
本题主要考查三角函数的性质，辅助角公式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】12
【解析】解：根据分层抽样的概念，
女运动员应抽取的人数为42×2856+42=12.
故答案为：12.
由分层抽样的概念即可求得．
本题考查随机抽样中的分层抽样，属基础题．
14.【答案】45
【解析】解：因为角α+π2的终边经过点(−3,4)，
所以sin(α+π2)=4 (−3)2+42=45，所以csα=45.
故答案为：45.
根据三角函数的定义以及诱导公式可求出结果．
本题考查三角函数定义和诱导公式，属于基础题．
15.【答案】2
【解析】解：由题意，函数f(x)满足f(x+4)=f(x)，可得函数f(x)是周期为4的函数，
又因为当x∈[0,2]时，f(x)=x2+1，f(−x)=f(x)，
所以f(2023)=f(505×4+3)=f(3)=f(−1)=f(1)=12+1=2.
故答案为：2.
根据题意求得函数f(x)是周期为4的函数，结合f(2023)=f(−1)=f(1)，代入即可求解．
本题主要考查了函数的周期性，属于基础题．
16.【答案】(−2,6)
【解析】解：以O为原点建立平面直角坐标系，如图：
由题意三角形OAB是边长为2的正三角形，则O(0,0),A(−1,− 3),B(1,− 3)，
设P(x,y)，则x2+y2<4，所以PA=(−1−x,− 3−y),BA=(−2,0)，
所以PA2+AP⋅PB=PA⋅(PA−PB)=PA⋅BA=(−1−x)×(−2)+(− 3−y)×0=2x+2，
因为−2故答案为：(−2,6).
建立平面直角坐标系，利用坐标法及点的坐标范围求解即可．
本题主要考查向量数量积运算，解答本题的关键是利用坐标法研究数量积的范围问题，尤其是圆中的数量积的范围问题，利用坐标运算把数量积范围问题转化为函数(不等式)范围问题解决即可．
17.【答案】解：(1)由20(0.006+0.014+0.020+0.008+a)=1，
解得a=0.002；
(2)由(1)知，样本中及格人数的频率为：20×0.020+20×0.008+20×0.002=0.6，
样本中优秀人数的频率为：20×0.002=0.04，
从而本次月考及格和优秀的人数估计分别为：1500×0.6=900和1500×0.04=60.
【解析】(1)利用频率分布直方图中各组频率之和为1建立方程求解即可；
(2)先求出本次月考数学成绩及格和优秀的频率，然后求解人数即可．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由题意可知，存在λ使得a=λb，
所以e1+te2=λ[(t−1)e1+2e2]=λ(t−1)e1+2λe2，
所以λ(t−1)=12λ=t，
解得t=−1或t=2；
(2)由向量b在向量a上的投影向量恰为向量a知a⋅b|a|2a=a，
所以a⋅b|a|2=1，即(e1+te2)⋅[(t−1)e1+2e2]=(e1+te2)2，
又|e1|=2，|e2|=1，e1⊥e2，
所以t2−6t+8=0，
解得t=2或t=4.
【解析】(1)利用向量共线定理建立方程求解即得；
(2)利用投影向量结合数量积的运算律列方程即可求解．
本题主要考查了平行向量的坐标关系，考查了投影向量的定义，属于基础题．
19.【答案】解：(1)f(x)=(sinωx+csωx)2−2cs2ωx=sin2ωx−cs2ωx= 2sin(2ωx−π4)，
由2π2ω=π得：ω=1，即f(x)= 2sin(2x−π4)，
由2kπ−π2≤2x−π4≤2kπ+π2得：kπ−π8≤x≤kπ+3π8，
所以f(x)的单调递增区间为[kπ−π8,kπ+3π8](k∈Z).
(2)由(1)知f(x+m)= 2sin(2x+2m−π4)的图象关于直线x=π2对称，
所以2×π2+2m−π4=kπ+π2，所以m=kπ2−π8(k∈Z)，
又m>0，所以mmin=3π8.
【解析】(1)利用三角恒等变换化简解析式，利用周期求出解析式，代入增区间结论求解即可；
(2)先利用平移变换求得新函数解析式，然后根据函数的对称性求解m=kπ2−π8(k∈Z)，求解即可．
本题主要考查了同角平方关系，和差角公式及辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)证明：取侧棱PA的中点F，连结EF，BF，
因为E为PD的中点，所以EF//AD，且EF=12AD，
又BC//AD，且BC=12AD，
所以BC//EF，且BC=EF，即四边形BCEF为平行四边形，
从而EC//BF，且BF⊂平面PAB，EC⊄平面PAB，
所以EC//平面PAB.
(2)取AB的中点H，连结PH，DH，
因为△PAB为正三角形，所以PH⊥AB；
又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
所以PH⊥平面ABCD，从而HD为PD在平面ABCD内的射影，
所以∠PDH为直线PD与平面ABCD所成的角．
设AB=x，则PH= 32x，
所以VP−ABCD=13(BC+AD)×AB×12×PH=16(2+4)×x× 32x= 32x2，
由已知得： 32x2=4 3，所以x=2 2，
在Rt△PHD中PH= 6，HD= AH2+AD2= 2+16=3 2，
所以tan∠PDH=PHHD= 63 2= 33，又∠PDH为锐角，
所以∠PDH=π6，即直线PD与平面ABCD所成的角为π6.
【解析】(1)取侧棱PA的中点F，连结EF，BF，可证四边形BCEF为平行四边形，可得EC//BF，从而问题得证；
(2)取AB的中点H，连结PH，DH，可由条件证得∠PDH即为所求，再解Rt△PHD即可得答案．
本题考查线面平行的证明，线面角的求解，化归转化思想，属中档题．
21.【答案】解：(1)由csA1+sinA=tanB，得csA1+sinA=sinBcsB，
即sinB=csAcsB−sinAsinB=cs(A+B)，
由于a=b=1，所以A=B，且A，B∈(0,π2)，
所以sinB=cs2B，即2sin2B+sinB−1=0，
所以sinB=12(负值舍)，从而A=B=π6，所以C=2π3，
在△ABC中，由余弦定理得：c2=a2+b2−2abcsC=1+1−2×1×1×(−12)=3，
即c= 3.
(2)由(1)知sinB=−csC>0，所以csC<0，即C∈(π2,π)，B∈(0,π2)，
所以sinB=sin(C−π2)，由于B，C−π2∈(0,π2)，且y=sinx在(0,π2)上单调递增，
所以B=C−π2，由0所以sin2C∈(12,1)，
由已知及正弦定理得S1+S2S3=a2+b2c2=sin2A+sin2Bsin2C=cs22C+cs2Csin2C
=4sin4C−5sin2C+2sin2C=4sin2C+2sin2C−5≥2 4sin2C×2sin2C−5=4 2−5，
当且仅当4sin2C=2sin2C，即sin2C= 22∈(12,1)时取等号，
所以当sin2C= 22时，S1+S2S3的最小值为4 2−5.
【解析】(1)化切为弦结合两角和余弦公式及二倍角公式化简计算sinB=12，利用余弦定理即可求解；
(2)先通过诱导公式及正弦函数单调性求出B=C−π2，然后把面积化为4sin2C+2sin2C−5的最值问题，利用基本不等式求解即可．
本题主要考查解三角形，正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)由20+k20=k(k+1)得：k2=1，所以k=1或−1.
当k=1时，f(x)=2x+12x(x∈R)，由于f(−x)=2−x+12−x=2x+12x=f(x)，
所以f(x)为偶函数；
当k=−1时，f(x)=2x−12x(x∈R)，
由于f(−x)=2−x−12−x=−2x+12x=−(2x−12x)=−f(x)，所以f(x)为奇函数．
(2)当f(x)为奇函数时，f(x)=2x−12x(x∈R)，
由于f(x)=2x−12x=2x−(12)x，且y=2x及y=−(12)x在R上均单调递增，
所以f(x)在R上单调递增．
假设存在常数a>0，
使得关于t的不等式f[lga(t+1)+1]+f(−lgat+1)<0在区间[1,2]上解集非空，
所以f[lga(t+1)+1]由f(x)的单调性知lgat+1t<−2在区间[1,2]上的解集非空，
当a>1时，有0即a−2>(1+1t)min=32，所以a2<23，无解(与a>1矛盾)，
当0a−2在区间[1,2]上的解集非空，
即a−2<(1+1t)max=2，所以a2>12，所以a> 22，即 22综上可知，存在a>0使原命题成立，其范围是( 22,1).
【解析】(1)先求出函数解析式，然后利用奇偶性函数的定义判断即可；
(2)利用奇函数及单调性把问题转化为lgat+1t<−2在区间[1,2]上的解集非空，分类讨论求解即可．
本题考查函数的奇偶性，单调性，分类讨论思想，属于中档题．