2022-2023学年湖南省岳阳市岳阳楼区高一下学期期末考试数学试题（含详细答案解析）

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这是一份2022-2023学年湖南省岳阳市岳阳楼区高一下学期期末考试数学试题（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若集合M=x∣x2<1，N=x∣0≤x<2，则M∩N=( )
A. x∣−1C. x∣02.设x,y∈R，向量a=2,−6，b=1,x，且a//b，则|a+b=( )
A. 5B. 2 5C. 10D. 3 10
3.复数z满足z1+i=1−i，则z的模等于( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
4.已知a∈R，则“00”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.已知x>0，则下列说法正确的是( )
A. x+1x−2有最大值0
B. x+1x−2有最小值为0
C. x+1x−2有最大值为−4
D. x+1x−2有最小值为−4
6.民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知底面圆的直径AB=8cm，圆柱体的高BC=8cm，圆锥体的高CD=3cm，则这个陀螺的表面积是( )
A. 96πcm2B. 100πcm2C. 116πcm2D. 114πcm2
7.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是.一个大于2的偶数都可以写成两个素数(质数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.他是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都取得了相当好的成绩.若将16拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为( )
A. 38B. 58C. 415D. 25
8.已知函数fx=−x2+ax−14a−12(a<1)，gx=lnx.若hx=fx,fx>gxgx,fx≤gx，在0,+∞上有三个零点，则 a的取值范围为( )
A. 12,1B. 0,12C. 0,1D. 0,12
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数f(x)的图象可由函数gx=12sin2x+π4的图象向左平移π8个单位长度得到，则下列说法正确的是( )
A. f(x)的最小正周期为π
B. f(x)是偶函数
C. f(x)在[0,π4]上单调递增
D. 当x∈0,π4时，f(x)的取值范围为[0,12]
10.已知实数a,b,c满足a>1>b>c>0，则下列说法正确的是( )
A. aa>bbB. lgca11.将一枚质地均匀且标有数字1，2，3，4，5，6的骰子随机掷两次，记录每次正面朝上的数字.甲表示事件“第一次掷出的数字是1”，乙表示事件“第二次掷出的数字是2”，丙表示事件“两次掷出的数字之和是8”，丁表示事件“两次掷出的数字之和是7”.则( )
A. 事件甲与事件丙是互斥事件B. 事件甲与事件丁是相互独立事件
C. 事件乙包含于事件丙D. 事件丙与事件丁是对立事件
12.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点O为底面A1B1C1D1的中心，点E是正方形ABB1A1内(含边界)一个动点，则下列结论正确的是( )
A. BO⊥AC
B. 点E存在无数个位置满足OE//平面ACD1
C. 直线CC1与平面ACD1所成角的余弦值为 22
D. 三棱锥A−ECD1体积的最大值为13
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设α∈(π2,π)，若sin α=35，则sin 2α=__________.
14.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间0,10内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位岳阳市居民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.则这组数据的85%分位数是__________.
15.已知圆台上下底面半径分别为3，4，圆台的母线与底面所成的角为45∘，且该圆台上下底面圆周都在某球面上，则该球的体积为__________.
16.已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，∠ABC=π3，∠ABC的角平分线交AC于点D，且BD= 3，则a+c的最小值为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中.
(1)求证：AC⊥面BDD1；
(2)求异面直线BD和AD1所成角的大小.
18.(本小题12分)
已知平面向量a=1,2,b=−3,−2.
(1)若c⊥2a+b，且c= 5，求c的坐标；
(2)若a与a+λb的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
19.(本小题12分)
我校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组[75,80),第2组[80,85),第3组[85,90),第4组[90,95),第5组[95,100]，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．
(1)根据样本频率分布直方图估计样本的中位数与平均数；
(2)如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？
20.(本小题12分)
在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且 3a=2csinA.
(1)求角C的大小；
(2)若c=3，且ab=9，求△ABC周长.
21.(本小题12分)
在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校举办了“强国有我，挑战答题”的知识竞赛活动，已知甲、乙两队参加，每队3人，每人回答且仅回答一个问题，答对者为本队赢得1分，答错得0分．假设甲队中3人答对的概率分别为34，23，12，乙队中每人答对的概率均为23，且各人回答问题正确与否互不影响．
(1)分别求甲队总得分为1分和2分的概率；
(2)求活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率．
22.(本小题12分)
如图，在直角梯形ABCD中，BC//AD，AD⊥CD，BC=2，AD=3，CD= 3，边AD上一点E满足DE=1，现将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，使平面A1BE⊥平面BCDE，如图所示.
(1)在棱A1C上是否存在点F，使直线DF//平面A1BE，若存在，求出A1FA1C，若不存在，请说明理由；
(2)求二面角A1−BC−D的平面角的正切值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
首先求出集合M，再根据交集的定义计算可得；
【解答】
解：因为M=x|x2<1，所以M=x|−1因为N=x|0≤x<2
所以M∩N=x|0≤x<1
故选：B
2.【答案】D
【解析】【分析】
根据题意，列出方程求得x=−3，结合向量的坐标运算，即可求解.
【解答】
解：由向量a=2,−6，b=1,x，
因为a//b，可得2x=−6×1，解得x=−3，
所以a+b=(3,−9)，所以a+b= 32+(−9)2=3 10.
故选：D.
3.【答案】C
【解析】【分析】
根据题意，利用复数的运算法则，求得z=−i，进而求得复数z的模，得到答案.
【解答】
解：由z1+i=1−i，可得z=1−i1+i=1−i1−i1+i1−i=−i，所以z=1.
故选：C.
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判定方法，考查一元二次不等式恒成立问题，属于基础题．
根据不等式恒成立结合充分必要条件的判定方法得答案．
【解答】
解：根据∀x∈R,ax2+2ax+1>0，
当a=0时，不等式恒成立；
当a≠0时，可知a>0Δ=4a2−4a<0，解得0综上可得0≤a<1，
所以“00充分不必要条件.
故选：A.
5.【答案】B
【解析】【分析】
由均值不等式可得x+1x≥2 x×1x=2，分析即得解
【解答】
解：由题意，x>0，由均值不等式
x+1x≥2 x×1x=2，当且仅当x=1x，即x=1时等号成立
故x+1x−2≥0，有最小值0
故选：B
6.【答案】B
【解析】【分析】
结合组合体特征，分解为圆柱、圆锥两个基本图形，利用它们的表面积的计算方法，计算出正确答案.
【解答】
解：圆柱、圆锥的底面半径为4cm，
圆锥的母线长为 42+32=5cm，
所以陀螺的表面积是π×42+2π×4×8+π×4×5=100πcm2.
故选：B.
7.【答案】C
【解析】【分析】
列举法求出所有拆解情况，利用古典概型公式即可求得答案.
【解答】
解：16可以拆成1+15,2+14,3+13,4+12,5+11,6+10,7+9,8+8,
9+7,10+6,11+5,12+4,13+3,14+2,15+1共有15种情况，
其中拆成的和式中加数全部为质数的有：3+13,5+11,13+3,11+5共有4种情况.
所以拆成的和式中，加数全部为质数的概率为P=415.
故选：C.
8.【答案】A
【解析】【分析】
分x=1，x>1，0【解答】
解：①当x=1时，因为g1=0，所以1为gx一个零点，
又f1=a−1−14a−12，因为a<1，所以f1<0，
所以h1=g1=0，
所以1为hx的一个零点．
②当x>1时，gx>0，hx≥gx>0，
所以hx在1,+∞上无零点．
③当0所以hx.在0,1上的零点个数是fx在0,1上的零点个数，
因为f0=−14a−12<0，f1=a−1−14a−12<0.
函数fx在0,1上有两个零点，即函数hx在0,1上有两个零点，
所以Δ=2a−1>0，0即12综上，a的取值范围为12,1.
故选：A.
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
运用图象平移变换求得f(x)的解析式，运用公式T=2π|ω|可判断A项，运用偶函数的定义可判断B项，求f(x)的单调递减区间，判断[0,π4]是否包含于f(x)的单调递减区间即可判断C项，运用f(x)在[0,π4]上单调递减求f(x)的值域即可判断D项.
【解答】
解：由题意知，f(x)=12sin(2(x+π8)+π4)=12sin(2x+π2)=12cs2x，
对于A项，T=2π2=π，故A项正确；
对于B项，f(x)的定义域为R，f(−x)=12cs(−2x)=12cs2x=f(x)，所以f(x)为偶函数，故B项正确；
对于C项，因为2kπ≤2x≤π+2kπ，k∈Z，解得：kπ≤x≤π2+kπ，k∈Z，
所以f(x)单调递减区间为[kπ,π2+kπ]，k∈Z，
又因为[0,π4]⊆[kπ,π2+kπ]，k∈Z，
所以f(x)在[0,π4]上单调递减，故C项错误；
对于D项，由C项知，f(x)在[0,π4]上单调递减，f(0)=12，f(π4)=12csπ2=0，
所以f(x)的值域为[0,12]，故D项正确.
故选：ABD.
10.【答案】AC
【解析】【分析】
本题主要考查比较数的大小，考查幂函数，对数函数，指数函数性质，属于基础题.
利用幂函数，指数函数，对数函数的性质比较大小即可.
【解答】
解：∵a>1>b>c>0.
∴aa>ab>bb,b12>c12,lga clgb a，
故A项正确，B,D选项不正确；
∵lgc a<0,ac>0,∴lgc a故选：AC.
11.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查互斥事件和对立事件的定义、事件的包含、相互独立事件的判断，属于基础题．
根据互斥事件、相互独立事件、事件的包含、对立事件的概念，依次分析选项是否正确．
【解答】
解：根据题意，一枚质地均匀且标有数字1，2，3，4，5，6的骰子随机掷两次，所有可能的情况有36种.
甲表示事件“第一次掷出的数字是1”所有可能为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)
乙表示事件“第二次掷出的数字是2”所有可能为：(1,2)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)
丙表示事件“两次掷出的数字之和是8”所有可能为：(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，
丁表示事件“两次掷出的数字之和是7”所有可能为(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，
对于A，甲表示事件“第一次掷出的数字是1”，
丙表示事件“两次掷出的数字之和是8”，显然不可能同时发生，是互斥事件，故A正确；
对于B，P(甲)=16，P(丁)=16，
甲事件和丁事件的积事件包含的所有可能：(1,6)，则P(甲∩丁)=136=P(甲)P(丁)，即事件甲与事件丁是相互独立事件，故B正确；
对于C，事件乙发生，事件丙不一定发生，故C错误；
对于D，事件丙不发生不一定发生事件丁，事件丙与事件丁不是对立事件，故D错误；
故选：AB.
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查线面垂直的性质，线面平行的判定，直线与平面所成的角，棱锥的体积，属于中档题．
根据题意分别作图，利用图象再根据线面垂直、面面平行、线面角定义、三棱锥的体积公式解答．
【解答】
解：对于选项A，设BD∩AC=O′，作图如下：
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，易知OO′⊥AC，AC⊥BD，
因为OO′∩BD=O′，OO′，BD⊂平面OO′B，
所以AC⊥平面OO′B，因为OB⊂平面OO′B，所以AC⊥OB，故选项A正确；
对于选项B，根据题意作图如下：
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，易知AD1//BC1，
因为BC1⊄平面ACD1，AD1⊂平面ACD1，所以BC1//平面ACD1，
同理可得：BA1//平面ACD1，
因为BA1∩BC1=B，BA1，BC1⊂平面BA1C1，所以平面BA1C1//平面D1AC，
易知OB⊂平面BA1C1，当E∈BA1时，OE//平面D1AC，故选项B正确；
对于选项C，根据题意作图如下：
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，易知AC⊥BD，BB1⊥AC，
因为BD∩BB1=B，BD，BB1⊂平面BDB1，
所以AC⊥平面BDB1，又B1D⊂平面BDB1，所以AC⊥B1D，同理可得：B1D⊥D1C，
因为AC∩CD1=C，AC，CD1⊂平面ACD1，所以B1D⊥平面ACD1，
连接D1O′，易知D1O′∩B1D=F，
则∠DD1F为直线DD1与平面ACD1所成角，
在Rt△DD1O′中，cs∠DD1F=DD1D1O′=1 62= 63，
因为CC1//DD1，所以直线CC1与平面ACD1所成角的余弦值为 63，故选项C错误；
对于选项D，根据题意作图如下：
在正方体ABCD−A1B1C1D1中，
易知当点E与点B1重合时，三棱锥A−ECD1体积取最大值，
设点B1到平面ACD1的距离为h，则h=B1D−DD1sin∠DD1O′，
由选项C可知cs∠DD1O′= 63，则sin∠DD1O′= 33，可得h=2 33，
则三棱锥A−ECD1体积取最大值：
V=13⋅S△ACD1⋅h=13× 34× 2× 2×2 33=13，故选项D正确．
故选：ABD.
13.【答案】−2425
【解析】【分析】
本题考查了二倍角公式，同角三角函数关系式的变换，属于基础题.
直接利用同角三角函数关系式求得csα，再由二倍角公式可得答案．
【解答】
解：已知 α∈(π2,π)， sinα=35，
所以 csα=− 1−sin2α=−45，
故可得sin 2α=2sinαcsα=−2425.
故答案为：−2425.
14.【答案】9
【解析】【分析】
利用百分位数的知识计算即可.
【解答】
解：∵10×85%=8.5，
∴从小到大排列后，取第9个数作为这组数据的85%分位数，第9个数是9.
故答案为：9.
15.【答案】500π3
【解析】【分析】
根据圆台轴截面及已知求圆台的高，再根据球体半径与圆台上下底面半径的几何关系列方程求出球体半径，进而求球体的体积．
【解答】
解：由题意，作出圆台的轴截面如下图示AB=6,CD=8,∠ADC=45∘，
故AE=DE=1，
设球心为O，球半径为R，
由于OF2=OA2−AF2=AE+ OD2−12CD22，则R2−9=(1+ R2−16)2，可得R=5，
所以该球体积为43πR3=500π3.
故答案为：500π3
16.【答案】4
【解析】【分析】
利用等面积法可得出S△ABC=S△ABD+S△BCD，化简可得1a+1c=1，将代数式a+c与1a+1c相乘，展开后利用基本不等式可求得a+c的最小值.
【解答】
解：因为∠ABC=π3，∠ABC的角平分线交AC于点D，且BD= 3，
因为S△ABC=S△ABD+S△BCD，即12acsinπ3=12c⋅BDsinπ6+12a⋅BDsinπ6，
即 34ac= 34c+a，即ac=a+c，所以，c+aac=1a+1c=1，
所以，a+c=a+c1a+1c=2+ca+ac≥2+2 ca⋅ac=4，
当且仅当a=c=2时，等号成立，故a+c的最小值为4.
故答案为：4.
17.【答案】解：(1)证明：因为ABCD−A1B1C1D1为正方体，所以ABCD为正方形，所以AC⊥BD，
又因为DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，故DD1⊥AC，
又BD∩DD1=D，BD,DD1⊂平面BDD1，
所以AC⊥平面BDD1.
(2)因为AD1//BC1，所以异面直线BD和AD1所成角，即BD与BC1所成的角或补角，
又三角形BC1D为等边三角形，
所以∠C1BD=π3，
所以异面直线BD和AD1所成角为π3.

【解析】(1)由AC⊥BD，DD1⊥AC，利用线面垂直的判定定理，即证结论；
(2)先利用定义找到角，求出∠C1BD=π3，即得异面直线BD和AD1所成角的大小．
18.【答案】解：(1)由a=1,2,b=−3,−2，
所以2a+b=2,4+−3,−2=−1,2，
设c=x,y，
因为c⊥2a+b，
所以c⋅2a+b=−x+2y=0，
因为c= 5，所以 x2+y2= 5，
解得x=−2y=−1，或x=2y=1，
所以c的坐标为−2,−1或2,1.
(2)由a=1,2,b=−3,−2，
所以a+λb=1,2+−3λ,−2λ=1−3λ,2−2λ，
因为a与a+λb的夹角为锐角，
所以a⋅a+λb>0且a与a+λb不共线，
1−3λ+22−2λ>021−3λ≠2−2λ，
解得λ<57且λ≠0，
即实数λ的取值范围为−∞,0∪0,57.

【解析】(1)根据平面向量数量积的坐标表示及垂直求解即可；
(2)由题意可得a⋅a+λb>0且a与a+λb不共线，进而根据平面向量数量积和共线的坐标表示求解即可.
19.【答案】解：(1)第一组的频率为0.05，第二组的频率为0.35，第三章的频率为0.30，第四组的频率为0.20，第五组的频率为0.10，
所以中位数在第三组，不妨设为x，则x−85×0.06=0.5−0.05−0.35，解得x=85+53=2603，
平均数为77.5×0.05+82.5×0.35+87.5×0.3+92.5×0.2+97.5×0.1=87.25；
(2)根据题意，“良好”的学生有40×0.4=16人，“优秀”的学生有40×0.6=24人，
所以分层抽样得“良好”的学生有5×1640=2人，“优秀”的学生有5×2440=3人，
将三名优秀学生分别记为A,B,C，两名良好的学生分别记为a,b，
则这5人中选2人的基本事件有：AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab共10种，
其中至少有一人是“优秀”的基本事件有：AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb共9种，
所以至少有一人是“优秀”的概率是P=910

【解析】(1)计算各组的频率得中位数在第三组，不妨设为x，进而根据x−85×0.06=0.1求解，根据平均数的计算方法计算即可得答案.
(2)由分层抽样得良好”的学生有2人，“优秀”的学生有3人，进而根据古典概型求解即可.
20.【答案】解：(1)∵ 3a=2csinA ，由正弦定理得 3sinA=2sinCsinA
∵sinA≠0，∴ 3=2sinC∴sinC= 32，∴∠C=60∘或∠C=120∘
∵△ABC是锐角三角形，∴∠C=60∘
(2)由余弦定理得c2=a2+b2−2abcsC，
∴9=a2+b2−ab=(a+b)2−3ab
∴a+b2=27+9=36，∴a+b=6，
所以△ABC的周长=a+b+c=6+3=9

【解析】(1)根据正弦定理即可边角化求解，
(2)由余弦定理即可求解.
21.【答案】解：(1)设甲队总得分为1分为事件A，甲队总得分为2分为事件B，
则P(A)=34×(1−23)×(1−12)+23×(1−34)×(1−12)+12×(1−23)×(1−34)=14.
P(B)=34×23×(1−12)+12×34×(1−23)+12×23×(1−34)=1124.
所以甲队总得分为1分的概率为14，2分的概率为1124.
(2)依题意甲队总得分为0分，即3道题全部错误的概率为
(1−23)×(1−34)×(1−12)=124.
得1分的概率为14，得2分的概率为1124，得3分的概率为34×23×12=14；
乙队总得分为0分的概率为(1−23)3=127，得1分的概率为3×23×(1−23)2=29，
得2分的概率为(23)2×(1−23)×3=49，得3分的概率为(23)3=827.
则活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率
P=14×827+1124×49+14×29=13.
【解析】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，互斥事件的概率加法公式，属于基础题．
(1)利用相互独立事件和互斥事件的概率公式计算可得；
(2)首先求出活动结束甲、乙两队得分及所对应的概率，再利用相互独立事件和互斥事件的概率公式计算可得.
22.【答案】解：(1)当F是AC的中点时，直线DF//平面A1BE.
证明如下：
设A1B的中点为N，连接EN，FN，
因为FN//BC，FN=12BC，且ED//BC，ED=12BC，
所以FN//ED且FN=ED，所以四边形DENF是平行四边形，所以DF//EN，
又因为DF⊄平面A1BE，EN⊂平面A1BE，所以DF//平面A1BE，
所以存在点F，使DF//平面A1BE，且A1FA1C=12.
(2)在平面图形中，连接CE，则∠ECD=30∘，∠ECB=60∘，
所以CB=CE=BE=AE=AB=2，
如图所示，取BE中点O，连接A1O，则BE⊥OA1，
因为A1O⊂平面A1BE，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE=BE，
所以A1O⊥平面BCDE，又因为BC⊂平面BCDE，所以A1O⊥BC
作OM⊥BC于M，连接A1M，
因为A1O∩OM=O，且A1O,OM⊂平面A1OM，所以BC⊥平面A1OM，
又因为A1M⊂平面A1OM，所以A1M⊥BC，
所以∠A1MO为二面角A1−BC−D的平面角，
在直角△A1MO中，A1O= 3，OM= 32，可得tan∠A1MO=2，
故二面角A1−BC−D的平面角的正切值为2.

【解析】(1)设A1B的中点为N，证得四边形DENF是平行四边形，得到DF//EN，得出DF//平面A1BE，进而得到结论；
(2)连接CE，取BE中点O，作OM⊥BC于M，证得A1M⊥BC，得到∠A1MO为二面角A1−BC−D的平面角，在直角△A1MO中，即可求解．