2022-2023学年河南省驻马店市高一下学期期末数学试题（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年河南省驻马店市高一下学期期末数学试题（含详细答案解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如果点A在直线a上，而直线a又在平面α内，那么可以记作( )
A. A⊂a，a⊂αB. A∈a，a⊂αC. A⊂a，a∈αD. A∈a，a∈α
2.与sin2023∘的值最接近的数是( )
A. 12B. 22C. −12D. − 22
3.已知矩形ABCD的对角线相交于点O，则AO−BC=( )
A. ABB. ACC. OCD. OB
4.用斜二测画法画△ABC的直观图如图所示，其中O′B′=B′C′=2，A′B′=A′C′= 2，则△ABC中BC边上的中线长为( )
A. 3B. 2 3C. 3D. 1
5.在复平面内，角α的顶点为坐标原点，始边为实轴非负半轴，终边经过复数z=1− 3i所对应的点，则csα=( )
A. −12B. 12C. 22D. 32
6.我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点Ax1,y1,Bx2,y2,O为坐标原点，余弦相似度Similarity为向量OA,OB夹角的余弦值，记作csA,B，余弦距离为1−csA,B.已知Pcsα,sinα,Qcsβ,sinβ,Rcsα,−sinα，若P､Q的余弦距离为13,Q,R的余弦距离为12，则tanα⋅tanβ=( )
A. 17B. 14C. 4D. 7
7.直角梯形ABCD，满足AB⊥AD，CD⊥AD，AB=2AD=2CD=2，现将其沿AC折叠成三棱锥D−ABC，当三棱锥D−ABC体积取最大值时其外接球的体积为( )
A. 3π2B. 43πC. 3πD. 4π
8.已知函数fx=sin2x+π6,gx=fx2+π4，若对任意的a,b∈π−m,m，当a>b时，fa−fb0),b=(12, 32),f(x)=a⋅b.
(1)当x=π6时，函数fx取得最大值，求ω的最小值及此时fx的解析式；
(2)现将函数fx的图象沿x轴向左平移π3ω个单位，得到函数gx的图象.已知A,B,C是函数fx与gx图象上连续相邻的三个交点，若△ABC是锐角三角形，求ω的取值范围.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查点、线位置关系，为基础题.
结合平面的基本事实及其推论的应用判断即可
【解答】
解：直线上有无数个点，直线可看成点的集合，
点 A 在直线 a 上，可记作 A∈a ，
直线 a 在平面 α 内，可记作 a⊂α ，
故选B.
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查诱导公式，属于简单题.
利用诱导公式及特殊角的三角函数值判断即可.
【解答】
解： sin2023∘=sin360∘×5+223∘=sin223∘
=sin180∘+43∘=−sin43∘≈−sin45∘=− 22 .
故选：D.
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查向量的运算，属于基础题.
利用相等向量结合平面向量的减法可化简向量 AO−BC .
【解答】
解：在矩形 ABCD 中， BC=AD ，又因为 AC∩BD=O ，则 DO=OB ，
因此， AO−BC=AO−AD=DO=OB .
故选：D.
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查投影与斜二测画法
作出 △ABC 的原图形，结合三角形的几何性质可求得 △ABC 中 BC 边上的中线长.
【解答】
解：在直观图中， O′B′=B′C′=2 ，且 ∠B′O′C′=45∘ ，则 ∠O′C′B′=45∘ ，故 B′C′⊥O′B′ ，
又因为 A′B′=A′C′= 2 ，则 A′B′2+A′C′2=B′C′2 ，可得 A′B′⊥A′C′ ，
故 △A′B′C′ 为等腰直角三角形，所以， ∠A′B′C′=45∘ ，故 A′B′//y′ 轴，
依据题意，作出 △ABC 的原图形如下图所示：

延长 BA 至点 D ，使得 BA=AD ，则 A 为 BD 的中点，
由题意可知， OB=2 ， OC=4 2 ， AB=2 2 ，且 AB//OC ，
所以， BD//OC 且 BD=OC ，故四边形 OBDC 为平行四边形，则 CD=OB=2 ，
取 BC 的中点 E ，连接 AE ，
因为 A 、 E 分别为 BD 、 BC 的中点，则 AE=12CD=12×2=1 .
故选：D.
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查复数的代数表示及其几何意义
根据题意求出角 α 的终边经过的点的坐标，然后利用任意角的三角函数的定义可求得结果.
【解答】
解：复数 z=1− 3i 在复平面内所对应的点为 1,− 3 ，
因为在复平面内，角 α 的顶点为坐标原点，始边为实轴非负半轴，终边经过点 1,− 3 ，
所以 csα=1 12+(− 3)2=12 ，
故选：B
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查利用向量数量积求夹角，属于中档题.
由题设 OP=(csα,sinα) ， OQ=(csβ,sinβ) ， OR=(csα,−sinα) ，利用向量夹角公式求得 cs(P,Q)=cs(α−β) 、 cs (Q,R)=cs (α+β) ，根据新定义及正余弦齐次运算求目标式的值.
【解答】
解：由 OP=(csα,sinα) ， OQ=(csβ,sinβ) ， OR=(csα,−sinα) ，
cs(P,Q)=OP⋅OQOPOQ=csαcsβ+sinαsinβ=cs(α−β) ，
cs(Q,R)=OQ⋅OROQOR=csαcsβ−sinαsinβ=cs(α+β) ，
所以 1−cs(α−β)=131−cs(α+β)=12 ，故 cs(α−β)=23cs(α+β)=12 ，
则 cs(α−β)cs(α+β)=csαcsβ+sinαsinβcsαcsβ−sinαsinβ=1+tanαtanβ1−tanαtanβ=43 ，
整理得 tanαtanβ=17 .
故选：A.
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了棱锥的体积，外接球的体积，属于中档题.
由已知可得当平面 DAC⊥ 平面 ABC 时，三棱锥体积最大，根据线面位置关系可得确定球心及半径，即可得解.
【解答】
解：
由已知得 S△ABC 为定值，则当平面 DAC⊥ 平面 ABC 时，三棱锥体积取最大值，
由四边形 ABCD 为直角梯形， AB⊥AD ， CD⊥AD ， AB=2AD=2CD=2 ，
则 AC=BC= 2 ，
∴△ABC 为直角三角形，
∴BC⊥AC ，AC⊂平面 ACD，
∴BC⊥ 平面 ACD ，又AD⊂ 平面 ACD ，
故 BC⊥AD ，
又AD⊥CD ，且 CD∩BC=C ，CD,BC⊂平面 BCD，
∴AD⊥ 平面 BCD ，BD⊂平面 BCD，
∴AD⊥BD ， △ABD 为直角三角形，设AB的中点为O，
故 OA=OB=OC=OD ，
所以 O 为外接球球心，半径 r=OA=1 ，
外接球体积 V=4π3r3=4π3 ，
故选：B.
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用正弦函数的单调性解不等式，属于中档题.
根据三角恒等变换可化简为 a,b∈π−m,m ，当 a>b 时， sin (2a−π12)π4 即可，即可得解.