2022-2023学年河南省驻马店市高二下学期期末数学试题（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省驻马店市高二下学期期末数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.数列an的通项为an=7−2n(n∈N+)，则a3的值为
( )
A. 1B. 3C. 5D. 7
2.直线x−2y−3=0平分圆x2+y2−2ax+2y−1=0(a∈R)，则a=( )
A. 1B. −1C. 3D. −3
3.空间直角坐标系中，点(2, 3,3)到坐标平面xOy的距离为
( )
A. 2B. 3C. 3D. 4
4.定义在R上的函数y=fx在区间2,2+ΔxΔx>0内的平均变化率为ΔyΔx=Δx2+2Δx+1，其中Δy=f2+Δx−f2，则函数fx在x=2处的导数f′2=( )
A. −1B. 1C. 3D. 9
5.椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，点P为椭圆上不在坐标轴上的一点，点M，N满足F1M=MP，2ON=OP+OF2，若四边形MONP的周长等于4b，则椭圆C的离心率为e=( )
A. 12B. 22C. 32D. 63
6.函数f(x)=exx2−x+1−13x3−12x2+16的极值点为
( )
A. x=0和x=−1B. 0,76和−1,3e
C. x=−1D. −1,3e
7.下列说法正确的是( )
A. 某同学定点投篮每次命中的概率均为34，每命中一次得2分，若记10次投篮得分为X，则随机变量X服从二项分布，简记X∼B10,34．
B. 某工厂生产了一批产品50件，其中质量达到“A级”的有20件，则从该批产品中随机抽取10件，记录抽到的产品中为“非A级”的个数为Y，则随机变量Y的数学期望为EY=4．
C. 若随机变量X,Y的成对数据的线性相关系数r=1，则认为随机变量X与Y是确定的函数关系，不是线性相关关系．
D. 若随机变量X∼N(μ,σ2)，其分布密度函数为f(x)=1 2πe−(x−2)22(x∈R)，则P(X>1)>12．
8.设a=e15−1，b=sinπ18，c=19，则
( )
A. a>b>cB. a>c>bC. c>b>aD. b>a>c
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.一批电阻的阻值X(单位：Ω)服从正态分布N1000,25，现从甲、乙、丙三箱成品中各随机抽取一只电阻，测得阻值分别为1012Ω，986Ω，1025Ω，结合“3σ”原则，则可以认为
( )
A. 甲、乙、丙三箱电阻均可出厂B. 甲、乙两箱电阻可出厂
C. 乙、丙两箱不可出厂D. 丙箱电阻不可出厂
10.下列直线在两坐标轴上的截距相等的是( )
A. x−y=2023B. x+y=2023
C. x+2023y=0D. 2023x+y=2024
11.已知(1−2x)2023=a0+a1x+a2x2+⋯+a2023x2023，则下列正确的是
( )
A. a1+a2+a3+⋯+a2023=−2
B. a1−a2+a3−a4+⋯+−a2022+a2023=1−32023
C. a1+2a2+3a3+⋯+2023a2023=4046
D. a1+a2+⋯+a2023=32023
12.如图，平行六面体AC1中，∠A1AD=∠A1AB=45∘，AD=AB，AC与BD交于点O，则下列说法正确的有
( )
A. 平面ACC1A1⊥平面BDD1B1
B. 若A1O=AO，则平行六面体的体积V=12⋅A1CS四边形B1BDD1
C. A1O=12AB+12AD+AA1
D. 若∠BAD=60∘，则cs∠A1AC= 63
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.若随机变量X∼B(6,p)，且EX=2，则P(X=3)= ．
14.已知递增的等比数列an中，a2=1，a4=4，则数列an的前6项之积为 ．
15.共和国勋章，是中华人民共和国最高荣誉勋章，授予在中国特色社会主义建设和保卫国家中做出巨大贡献、建立卓越功勋的杰出人士.共和国勋章获得者有于敏、袁隆平、申纪兰、张富清、黄旭华、孙家栋、李延年、屠呦呦、钟南山，前四位共和国勋章获得者已经作古.某校为了学习共和国勋章获得者的先进事迹，弘扬时代精神，特在校园主干道设立并排的9个宣传栏，前四位共和国勋章获得者的先进事迹安排在1—4号栏，1—4号栏已经安排好，其余五位安排在5—9号栏.黄旭华和孙家栋两位的先进事迹安排在5至7号栏，李延年的先进事迹栏不放在9号，则不同的安排顺序有 种(用数字作答).
16.若函数f(x)=lnx−ax3+13有两个不同的零点，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
三台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.05，第二台出现废品的概率是0.03，第三台出现废品的概率是0.06，加工出来的零件放在一起，并且已知第一、二、三台加工的零件之比为3：4：3．
(1)求任意取出1个零件是废品的概率；
(2)如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．
18.(本小题12分)
已知数列an满足a1=2，an+1=2an−n+1n∈N+．
(1)证明数列an−n为等比数列；
(2)求数列an的通项公式；
(3)求数列an的前n项和Sn．
19.(本小题12分)
已知矩形ABCD中，AD=2AB=4，AD的中点为M，将▵ABM绕着BM折起，折起后点A记作P点(不在平面BCDM内)，连接PC、PD得到几何体P−BCDM，▵PBC为直角三角形．

(1)证明：平面PBM⊥平面BCDM；
(2)求平面PBC与平面PCD所成角的正弦值．
20.(本小题12分)
市场监管部门对某线下某实体店2023年前两季度的月利润情况进行调查统计，得到的数据如下：
(1)是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系？请用相关系数r加以说明；(参考：若r≥0.75时，则线性相关程度较高，0.3(2)利用最小二乘法求出y关于x的回归方程；用样本估计总体，请预估第9月份的利润．
附：对于一组数据ui,vi(i=1,2,3,⋯,n)，其回归直线v=α+βu的斜率
β=i=1nuivi−nu⋅vi=1nui2−n(u)2，α=v−βu.相关系数r=i=1nuivi−nu⋅v i=1nui2−n(u)2⋅ i=1nvi2−n(v)2．
参考数据：y=1.78，6(y)2≈19.01，i=16xiyi=42.3，i=16yi2=20.45， 17.5×1.44≈5.02，246875≈0.28．
21.(本小题12分)
已知f(x)=ax2−csx−xsinx+a(a∈R)．
(1)当a=14时，求y=f(x)在[−π,π]内的单调区间；
(2)若对任意的x∈R时，f(x)≥2恒成立，求实数a的取值范围．
22.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知点F1(−6,0)、F2(6,0)，△MF1F2的内切圆与直线F1F2相切于点D(4,0)，记点M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)设点T在直线x=2上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，连接BP,AQ.若直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0，试比较cs∠BAQ与cs∠BPQ的大小．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查求解数列中的项，属于基础题．
令 n=3 代入即可．
【解答】
解： a3=7−2×3=1 ，
故选：A．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于较易题．
直线平分圆，说明直线过圆心，把圆心坐标代入直线方程可得答案．
【解答】
解：因为直线 x−2y−3=0 平分圆 x2+y2−2ax+2y−1=0 ，
x2+y2−2ax+2y−1=0 化为 x−a2+y+12=a2+2 ，
所以直线 x−2y−3=0 经过该圆的圆心 a,−1 ，
则 a−2×−1−3=0 ，即 a=1 ．
故选：A．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查空间中点的坐标定义，属基础题．
由空间直角坐标系中点的坐标的定义即可求解．
【解答】
解：空间直角坐标系中，点 (2, 3,3) 到坐标平面 xOy 的距离即为竖坐标3．
故选：C
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查导数的几何意义，属于较易题．
利用导数的定义可求得 f′2 的值．
【解答】
解：由导数的定义可得 f′2=limΔx→0f2+Δx−f2Δx=limΔx→0Δx2+2Δx+1=1 ，
故选：B．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查椭圆的离心率相关知识，属于中档题．
根据 F1M=MP ， 2ON=OP+OF2 ，可得点 M 为线段 PF1 的中点，点 N 为线段 PF2 的中点，再根据四边形 MONP 的周长结合椭圆的离心率公式即可得解．
【解答】
解：因为 F1M=MP ，所以点 M 为线段 PF1 的中点，
因为 2ON=OP+OF2 ，所以 ON−OP=OF2−ON ，
即 PN=NF2 ，所以点 N 为线段 PF2 的中点，
又因点 O 为线段 F1F2 的中点，
所以 OM//PF2 且 OM=12PF2 ， ON//PF1 且 ON=12PF1 ，
所以四边形 MONP 的周长为 PF1+PF2 ，
又因点P为椭圆上不在坐标轴上的一点，所以 PF1+PF2=2a ，
所以 2a=4b ，即 ba=12 ，
故椭圆C的离心率为 e=ca= 1−b2a2= 32 ．
故选：C．

6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，是基础题．
由 f′x=0 可求得实数 x 的值，再利用导数可求得函数 fx 的单调性，再判断极值点即可．
【解答】
解：因为 f(x)=exx2−x+1−13x3−12x2+16 ，
则 f′x=x2+xex−x2+x=xx+1ex−1 ，
由令f′(x)，解得x=0或x=−1，列表如下：
因此，函数 fx 的极值点为 x=−1 ．
故选：C．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查离散型随机变量的分布列和方差，属于中档题．
根据二项分布的定义即可判断A；根据超几何分布的期望公式即可判断B；根据相关系数的意义即可判断C；根据正态分布的对称性即可判断D．
【解答】
解：对于A，由题意，记10次投篮命中的次数为 x ，则 X=2x ，
随机变量命中次数 x 服从二项分布，而随机变量投篮得分X不服从二项分布，故A错误；
对于B，由题意随机变量 Y 服从超几何分布，则 EY=10×3050=6 ，故B错误；
对于C，若随机变量 X,Y 的成对数据的线性相关系数 r=1 ，
则认为随机变量X与Y是确定的函数关系，且是线性相关关系，故C错误；
对于D，因为随机变量 X∼N(μ,σ2) ，其分布密度函数为 f(x)=1 2πe−(x−2)22(x∈R) ，
所以 μ=2,σ=1 ，则 P(X>1)>P(X>2)=12 ，故D正确．
故选：D．
8.【答案】A
【解析】【分析】
常见的不等式转换 lnx≤x−1 ， ex≥x+1 ， lnxxx+1≤lnx+1≤xx>−1 ， sinx≤x ．
利用做差法比较 b,c ，构造新函数 fx=sinπ2x−x ，求导利用导数研究函数的单调性，找到 b>c ，令 hx=ex−x−1 ，可通过转换得到 a=e15−1>15 ，此时只需令 mx=sinx−x ，找到 b=sinπ18<π18<0.2 即可判定．
本题主要考查利用导数比较大小，属于中等题．
【解答】
解： b−c=sin19×π2−19 ，令 fx=sinπ2x−x ，
则 f′x=π2csπ2x−1,
根据余弦函数的单调性，易知， f′x 在 0,12 上单调递减，且 f′12= 2π4−1>0 ，
所以 fx 在 0,12 单调递增，所以 f19>f0=0 ，即 b>c ；
令 hx=ex−x−1,h′x=ex−1,
当 x>0 时， h′x>0 ， hx 单调递增；
当 x<0 时， h′x<0 ， hx 单调递减；
所以 hx≥h0=0 ，所以 h15>0 ，即 a=e15−1>15 ．
令 mx=sinx−x,m′x=csx−1≤0 ，故 mx 在 R 上单调递减，
故 mπ18综上： a>b>c ．
故选：A．
9.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查正态分布的实际应用，属于较易题．
根据“3σ”原则计算区间[985,1015]，进而可判断．
【解答】
解：因为X∼N1000,25，所以μ=1000，σ=5，
所以μ−3σ=985，μ+3σ=1015，
因为1012∈[985,1015]，986∈[985,1015]，1025∉[985,1015]，
所以甲、乙两箱电阻可出厂，丙箱电阻不可出厂．
故选：BD．
10.【答案】BC
【解析】【分析】
本题主要考查直线的截距式方程，属于较易题．
根据坐标轴的截距的定义，结合选项，逐项判定，即可求解．
【解答】
解：对于A中，直线x−y=2023，可得在x轴和y轴上的截距分别为2023和−2023，
不符合题意，所以A不正确；
对于B中，直线x+y=2023，可得在x轴和y轴上的截距分别为2023和2023，
符合题意，所以B正确；
对于C中，直线x+2023y=0，可得在x轴和y轴上的截距分别为0和0，
符合题意，所以C正确；
对于D中，直线2023x+y=2024，可得在x轴和y轴上的截距分别为20242023和2024，
不符合题意，所以D不正确．
故选：BC．
11.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查二项式定理的应用，涉及赋值法以及导数的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
令x=1，找到a0=1，即可判定选项 A；令x=−1，即可判定选项 B；对二项式求导，令x=1，即可判定C选项；D选项可转换为B选项求解．
【解答】
解：对于A选项，令x=1，则a0+a1+a2+a3+⋯+a2023=−1，
又a0=C20230=1，所以a1+a2+a3+⋯+a2023=−2，故 A选项正确；
对于B选项，令x=−1，则a0−a1+a2−a3+⋯−a2023=32023，
−a1+a2−a3+⋯−a2023=32023−1，
故a1−a2+a3−a4+⋯+−a2022+a2023=1−32023，故 B选项正确；
对于C选项，记y=(1−2x)2023=a0+a1x+a2x2+⋯+a2023x2023，
则y′=−4046(1−2x)2022=a1+2a2x+⋯+2023a2023x2022，
令x=1，则a1+2a2+3a3+⋯+2023a2023=−4046，故 C选项错误；
对于D选项，(1−2x)2023的展开通项公式Tr+1=C2023r−2xr0≤r≤2023,r∈N，
当r为奇数时，系数为负数，
所以a1+a2+⋯+a2023=−a1+a2−a3+⋯−a2023=32023−1，故 D选项错误，
故选：AB．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
此题考查面面垂直的判断，考查平行六面体体积的求法，考查空间向量的运算，解题的关键是正确利用平行六面体的性质结合题意分析求解，考查空间想能力和计算能力，属于中档题．
对于A，由题意可得四边形ABCD为菱形，则可得BD⊥AC，再计算BD⋅AA1，可得BD⊥AA1，从而得BD⊥平面ACC1A1，再利用面面垂直的判定定理可得结论；对于B，连接A1C，可得A1C⊥AA1，从而可证得A1C⊥平面BDD1B1，进而可求出体积，对于C，利用空间向量的加法分析判断，对于C，设AB=a,AA1=b，则可得AC= 3aAC= 3a，然后利用向量的夹角公式计算判断．
【解答】
解：对于A，因为在平行四边形ABCD中，AD=AB，所以四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，
因为∠A1AD=∠A1AB=45∘，AD=AB，
所以AD⋅AA1=AD⋅AA1cs45∘,AB⋅AA1=AB⋅AA1cs45∘，所以AD⋅AA1=AB⋅AA1，
因为BD=AD−AB，所以BD⋅AA1=AD−AB⋅AA1=AD⋅AA1−AB⋅AA1=0，
所以BD⊥AA1，所以BD⊥AA1，
因为AA1∩AC=A，AA1,AC⊂平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1，
因为BD⊂平面BDD1B1，所以平面ACC1A1⊥平面BDD1B1，所以 A正确，
对于B，连接A1C，因为A1O=AO，AO=CO，所以AO=CO=A1O，
所以▵AA1C为直角三角形，即A1C⊥AA1，因为AA1//BB1，所以A1C⊥BB1，
因为由选项A知BD⊥平面ACC1A1，A1C⊂平面ACC1A1，所以BD⊥A1C，
因为BB1∩BD=B，BB1,BD⊂平面BDD1B1，所以A1C⊥平面BDD1B1，
所以平行六面体的体积V=2V三棱柱ADB−A1B1D1=2×32VA1−BDD1B1=3×13S四边形BB1D1D⋅12A1C=12A1C⋅S四边形BB1D1D，所以 B正确，
对于C，因为四边形ABCD为平行四边形，所以O为BD的中点，
所以AO=12AB+12AD，所以A1O=A1A+AO=A1A+12AB+12AD，所以 C错误，
对于D，设AB=a,AA1=b，因为在菱形ABCD中，∠BAD=60∘，所以AC=2AO=2ABcs30∘= 3a，
所以cs∠A1AC=AA1⋅ACAA1⋅AC=AA1⋅AB+AD 3ab=2abcs45∘ 3ab= 63，所以 D正确，
故选：ABD

13.【答案】160729
【解析】【分析】
本题主要考查n次独立重复试验及其概率计算，属于基础题．
根据二项分布的期望公式得 p ，进而根据二项分布概率公式计算即可．
【解答】
解：因为随机变量 X∼B(6,p) ，且 EX=2 ，
所以 6p=2 ，解得 p=13 ，
则 P(X=3)=C63⋅133⋅1−133=160729 ．
故答案为： 160729 ．
14.【答案】512
【解析】【分析】
本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．
由条件结合等比数列通项公式求数列an的通项公式，再求数列an的前6项之积．
【解答】
解：设等比数列an的公比为q，由已知可得q>0，
因为a2=1，a4=4，
所以a1q=1,a1q3=4，
解得a1=12,q=2，所以an=2n−2，
所以a1a2a3a4a5a6=2−1×20×21×22×23×24=29=512，
故答案为：512．
15.【答案】24
【解析】【分析】
本题考查排列组合的相关知识，属于中档题．
根据题意，先安排黄旭华和孙家栋两位，再安排李延年，最后安排屠呦呦、钟南山，结合分步计数原理，即可求解．
【解答】
解：由题意，黄旭华和孙家栋两位的先进事迹安排在5至7号栏，有 A32=6 种安排方式，
又由李延年的先进事迹栏不放在9号，有 A21=2 种安排方式，
剩余的两位屠呦呦、钟南山，有 A22=2 种安排方式，
由分步计数原理可得，共有 6×2×2=24 种不同的安排方式．
故答案为 ： 24 ．
16.【答案】0【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的零点．
函数 f(x)=lnx−ax3+13 有两个不同的零点，即函数 f(x)=lnx−ax3+13 的图象与x轴有两个不同的交点，借助导数研究函数值变化， f(x)最大值=f(313a)=ln13a>0 ，得出结果．
【解答】
解：由题意， f′(x)=1x−3ax2=1−3ax3x ， (x>0) ，
当 a≤0 时， f′(x) 恒大于0，则函数递增，不可能有两个零点；
当 a>0 时，令 f′(x)=0 ，得 x=313a ，
即当 x∈(0,313a) 时， f′(x)>0 ，即 f(x) 单调递增，且 fx∈−∞,13ln13a ；
即当 x∈(313a,+∞) 时， f′(x)<0 ，即 f(x) 单调递减，且 fx∈−∞,13ln13a ；
由于函数 f(x)=lnx−ax3+13 有两个不同的零点，
即函数 f(x)=lnx−ax3+13 的图象与x轴有两个不同的交点，
所以 fx最大值=f313a=ln313a−a313a3+13=13ln13a>0 ，
解得， 0所以当 0故答案为： 017.【答案】解：(1)设事件 Ai(i=1,2,3) 表示“零件取自第 i 台车床”，
事件 B 表示“取到零件为废品”，
因此 A1 ， A2 ， A3 构成样本空间的一个划分．
根据条件则：
PBA1=0.05 ， PBA2=0.03 ， PBA3=0.06
PA1=310=0.3 ， PA2=410=0.4 ， PA3=310=0.3
根据全概率公式可得
P(B)=PA1⋅PBA1+PA2⋅PBA2+PA3⋅PBA3
=0.3×0.05+0.4×0.03+0.3×0.06=0.045；
(2)如果任意取出的1个零件是废品，它是第二台车床加工的概率 PA2B ．
又因为 PA2B=PA2⋅PBA2=0.03×0.4=0.012 ．
根据条件概率的求解公式
PA2B=PA2BP(B) = =415 ，即为所求．

【解析】本题考查全概率公式、条件概率公式等基础知识，属于中档题．
(1)利用全概率公式计算即可；
(2)利用条件概率公式计算即可．
18.【答案】解：(1)
由条件 an+1=2an−n+1 ，即 an+1−(n+1)=2an−n ，
又因 a1=2 ，则 a1−1=1≠0 ．
因此数列 an−n 是以 a1−1=1 为首项，2为公比的等比数列
(2)
由(1)知 an−n 是以 a1−1=1 为首项，2为公比的等比数列，
则 an−n=1×2n−1 ，即 an=2n−1+n ．
(3)
由(2)则 Sn=1+2+22+⋯+2n−1+(1+2+3+⋯+n)
=1×2n−12−1+n(1+n)2
=2n+12n2+12n−1 ．

【解析】本题考查等比数列的判定或证明，分组法求和，等比数列的通项公式与求和公式，属于中档题．
(1)由条件 an+1=2an−n+1 ，即 an+1−(n+1)=2an−n ，从而得证；
(2)由(1)写出 an−n 的通项公式，从而解决；
(3)利用分组求和法求前n项的和即可．
19.【答案】解：(1)
证明：如图，连接 MC ，连接 AC 交 BM 于点 E ，则 PE=AE ，
翻折前 AB⊥AM ，翻折后，则有 PB⊥PM ，
由于 ▵PBC 为直角三角形，且 PB=AB=2PC又因为 PM∩PC=P ， PM 、 PC⊂ 平面 PMC ，则 PB⊥ 面 PMC ，
因为 MC⊂ 平面 PMC ，从而可得 PB⊥MC ，
又因 MC=MB=2 2 ， BC=4 ，则 MC2+MB2=BC2 ，所以， MC⊥MB ．
又因 BP∩BM=B ， BP 、 BM⊂ 平面 PBM ，即 MC⊥ 面 PBM ，
因为 MC⊂ 平面 BCDM ，因此，面 PBM⊥ 面 BCDM ．

(2)
解：如图，取 BC 中点为 N ， BM 中点为 O ，连接 ON ，
由(1)可知，平面 PBM⊥ 平面 BCDM ，
因为 PB=PM ， O 为 BM 的中点，则 PO⊥BM ，
因为平面 PBM∩ 平面 BCDM=BM ， PO⊂ 平面 PBM ，所以， PO⊥ 面 BCDM ，
因为 O 、 N 分别为 BM 、 BC 的中点，则 ON//MC ，
因为 MC⊥MB ，则 ON⊥MB ，
以点 O 为坐标原点，分别以 OB 、 ON 、 OP 方向为 x 、 y 、 z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．

则 B 2,0,0 、 P0,0, 2 、 D−2 2, 2,0 、 C− 2,2 2,0 ，
得 BC=−2 2,2 2,0 ， BP=− 2,0, 2 ， CD=− 2,− 2,0 ， CP= 2,−2 2, 2 ，
设平面 PBC 的法向量为 n1=x1,y1,z1 ，
由 n1⋅BC=0n1⋅BP=0 ，则 −2 2x1+2 2y1=0− 2x1+ 2z1=0 ，
取 x1=1 ，则 y1=1 ， z1=1 ，得到 n1=1,1,1 ，
设平面 PCD 的法向量为 n2=x2,y2,z2 ，
则 n2⋅CD=− 2x2− 2y2=0n2⋅CP= 2x2−2 2y2+ 2z2=0 ，取 x2=1 ，则 y2=−1 ， z2=−3 ，则 n2=1,−1,−3 ，
则 csn1,n2=n1⋅n2n1⋅n2=−3 3× 11=− 3 11 ，
从而 sinn1,n2= 1−csn1,n22= 1−− 3 112=2 2211 ，
也即平面 PBC 与平面 PCD 所成夹角的正弦值为 2 2211 ．

【解析】本题考查面面垂直的判定定理，平面与平面所成角的向量求法，考查了转化与化归思想，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
(1)证明出 PB⊥ 面 PMC ，可得出 PB⊥MC ，利用勾股定理可证得 MC⊥MB ，利用线面垂直和面面垂直的判定可证得结论成立；
(2)取 BC 中点为 N ， BM 中点为 O ，连接 ON ，推导出 PO⊥ 面 BCDM ， ON⊥MB ，以点 O 为坐标原点，分别以 OB 、 ON 、 OP 方向为 x 、 y 、 z 轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得平面 PBC 与平面 PCD 所成角的正弦值．
20.【答案】解：(1)
由条件则 x=(1+2+3+4+5+6)6=3.5 ，
6(x)2=73.5 ， 6x⋅y=6×3.5×1.78=37.38
i=16xi2=12+22+32+42+52+62=91 ．
根据相关系数公式则
r=i=16xiyi−6xy i=16xi2−6(x)2 i=16yi2−6(y)2=42.3−37.38 91−73.5× 20.45−19.01
=4.92 17.5× 1.44=≈0.98>0.75 ．
因此可以用线性回归模型拟合x与y的关系．
(2)
根据(1)则变量x，y线性相关，设所求的线性回归方程为 y=a+bx ．
根据回归方程的回归系数公式则
b=i=1nxiyi−nx⋅yi=1nxi2−n(x)2=42.3−37.3891−73.5=≈0.28 ．
又因为 a=y−bx=1.78−0.28×3.5=0.8 ．
从而可得变量x，y线性回归方程为 y=0.8+0.28x
当 x=9 时， y=0.8+0.28×9=3.32
因此预测9月份的利润为3.32万元．

【解析】本题考查线性回归方程相关知识，属于中档题．
(1)计算出相关数据，利用相关系数公式计算即可；
(2)根据线性回归方程公式计算即可．
21.【答案】解：(1)当 a=14 时， f(x)=14x2−csx−xsinx+14 ，
求导得 f′(x)=12x−xcsx=x(12−csx) ，
而 x∈[−π,π] ，由 csx=12 ，得 x=±π3 ，
当 x∈(−π3,π3) 时， 12−csx<0 ，当 x∈(π3,π]∪[−π,−π3) 时， 12−csx>0 ，
则当 x>0 时，若 f′(x)>0 ，则 x∈(π3,π] ；若 f′(x)<0 ，则 x∈(0,π3) ，
当 x<0 时，若 f′(x)>0 ，则 x∈(−π3,0) ；若 f′(x)<0 ，则 x∈[−π,−π3) ，
所以函数 y=f(x) 在 [−π,π] 内的单调增区间为： [−π3,0] ， [π3,π] ；
单调减区间为： [0,π3] ， [−π,−π3] ．
(2)因为 f(−x)=a(−x)2−cs(−x)−(−x)sin(−x)+a=f(x) ，
于是函数 f(x)=ax2−csx−xsinx+a(a∈R) 为偶函数，
则 f(x)≥2 对任意 x∈R 恒成立，等价于对任意的 x∈[0,+∞) ，恒有 f(x)≥2 成立，
求导得 f′(x)=2ax−xcsx=x(2a−csx) ，
当 x∈[0,+∞) 时，当 2a≥1 ， a≥12 成立时， 2a−csx≥0 恒成立，
即 f′(x)≥0 恒成立，函数 f(x) 在 [0,+∞) 内单调递增，则有 fxmin=f0=a−1 ，
因此 a−1≥2 ，解得 a≥3 ，则 a≥3 ；
当 2a<1 ， a<12 时，函数 y=csx 在 [0,π] 上单调递减，且 −1≤csx≤1 ，
因此存在 x0>0 ，使得当 x∈(0,x0) 时， 2a−csx<0 ， f′(x)<0 ，函数 f(x) 在 (0,x0) 上递减，
此时 x∈0,x0 ， fx所以实数 a 的取值范围为 [3,+∞) ．

【解析】探讨函数 f(x) 是偶函数，把在实数集上恒成立问题转化为 x∈[0,+∞) 时，不等式恒成立求解是关键．
(1)把 a=14 代入，求出函数 f(x) 的导数 f′(x) ，分段讨论求解 f′(x)>0 、 f′(x)<0 作答．
(2)探讨函数 f(x) 的奇偶性，把问题转化为 ∀x∈[0,+∞) 时， f(x)≥2 恒成立求解．
22.【答案】解：(1)
因为点 F1(−6,0) 、 F2(6,0) ， △MF1F2 的内切圆与直线 F1F2 相切于点 D(4,0) ，
所以 MF1−MF2=F1D−F2D=10−2=8因此根据双曲线的定义可知，点 M 的轨迹为以 F1 ， F2 为焦点的双曲线的右支，
设点 M 的轨迹C的方程为 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 ，焦距为 2cc>0 ，
所以 F1F2=2c=12 ， MF1−MF2=2a=8 ，
所以 a=4 ， c=6 ， b2=c2−a2=20 ，
所以点 M 的轨迹方程C为 x216−y220=1(x≥4)
(2)
由题意，直线 AB,PQ 的斜率互为相反数，记 kAB=k(k2>54) ，
则 kPQ=−k ， Ax1,y1 ， Bx2,y2 ， Cx3,y3 ， Dx4,y4 ，
设 T(2,t) ，则直线 AB:y=k(x−2)+t ， PQ:y=−k(x−2)+t ．
联立直线 AB 和双曲线方程 y=k(x−2)+tx216−y220=1 ，
整理得 20−16k2x2+64k2−32ktx−8k−4t2−320=0 ．
该方程有两个不等实根 x1 ， x2 ，
则 20−16k2≠0Δ=64k2−32kt2−420−16k2−8k−4t2−320>0
根据韦达定理可得 x1+x2=16k2−8kt4k2−5 ， x1x2=(4k−2t)2+804k2−5 ，
同理可得 x3+x4=16k2+8kt4k2−5 ， x3⋅x4=(4k+2t)2+804k2−5 ．
又因为 TA= 1+k2x1−2 ， TB= 1+k2x2−2 ．
TP= 1+k2x3−2 ， TQ= 1+k2x4−2 ．
则 TATB=1+k2x1−2x2−2=1+k2x1x2−2x1+x2+4=1+k24t2+604k2−5 ，
同理可得 TPTQ=1+k24t2+604k2−5
即 TPTQ=TATB
进而可得 △TPA 相似于 △TBQ ，
即 ∠TPA=∠TBQ ， ∠TAP=∠TQB ，
也即A，B，Q，P四点共圆，可得 ∠BAQ=∠BPQ
从而得 cs∠BAQ=cs∠BPQ ．
因此 cs∠BAQ=cs∠BPQ

【解析】本题考查直线与双曲线的综合问题.关键在于直线与双曲线方程的联立，进而通过韦达定理的转化得到 TPTQ=TATB ，进而得到 △TPA 相似于 ▵TBQ ，由A，B，Q，P四点共圆，可得 ∠BAQ=∠BPQ 从而 cs∠BAQ=cs∠BPQ 进而得到答案.本题考查学生的数据运算与分析能力、数形结合能力、转化与化归能力，属于难题．
(1)根据内切圆的性质得到 MF1−MF2=F1D−F2D=8(2)根据条件设 kAB=k(k2>54) ， kPQ=−k ， Ax1,y1 ， Bx2,y2 ， Cx3,y3 ， Dx4,y4 ，根据直线与双曲线方程的联立，由韦达定理得到 x1+x2=16k2−8kt4k2−5 ， x1x2=(4k−2t)2+804k2−5 ，结合弦长公式得到 TATB=1+k24t2+604k2−5 ，从而证明 TPTQ=TATB ，进而可得 △TPA 相似于 ▵TBQ ，由四点共圆的知识即可得到答案．
月份x
1
2
3
4
5
6
净利润y(万元)
1.0
1.4
1.7
2.0
2.2
2.4
x
−∞,−1
−1
−1,0
0
0,+∞
f′x
−
0
+
0
+
fx
减
极小值
增
增