2022-2023学年广西桂林市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年广西桂林市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z满足z=3+2i，则z的虚部为( )
A. −2B. 2C. −3D. 3
2.下列各角中，与18∘角的终边相同的是( )
A. 378∘B. 78∘C. −18∘D. 118∘
3.已知向量a=(1,2)，b=(x,6)，且a//b，则x的值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.下列函数为偶函数的是( )
A. y=sinxB. y=csxC. y=tanxD. y=sin2x
5.将函数f(x)=sin2x的图象向右平移π6个单位长度得到g(x)图象，则函数的解析式是( )
A. g(x)=sin(2x+π3)B. g(x)=sin(2x+π6)
C. g(x)=sin(2x−π3)D. g(x)=sin(2x−π6)
6.已知a，b，c是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是( )
A. 若α//β，α//γ，则β//γB. 若a⊥b，a⊥c，则b//c
C. 若a⊥b，a⊥c，则b⊥cD. 若α⊥β，α⊥γ，则β//γ
7.两个粒子A，B从同一粒子源发射出来，在某一时刻，以粒子源为原点，它们的位移分别为SA=(4,0)，SB=(1, 3)，此时SB在SA上的投影向量为( )
A. −14SAB. 14SAC. −SAD. SA
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
8.下列说法正确的是( )
A. 长度相等的向量是相等向量B. 单位向量的模为1
C. 零向量的模为0D. 共线向量是在同一条直线上的向量
9.已知复数z1=1−i，z2=2i，则( )
A. z2是纯虚数
B. z1−z2在复平面内对应的点位于第二象限
C. 复数z1的共轭复数为1+i
D. z1z2=2i−2
10.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，下列结论正确的是( )
A. 函数f(x)的图象关于直线x=−1112π对称
B. f(x)的图象关于(56π,0)中心对称
C. 函数f(x)在区间[π24,π2]上单调递减
D. f(−π12)= 3
11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1，则( )
A. 直线BC1与直线DA1所成的角为60∘
B. 直线BC1与直线B1A所成的角为60∘
C. 直线BC1与平面ABCD所成的角为45∘
D. 直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30∘
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
12.计算：sin150∘=______.
13.若向量a=(1,2)与向量b=(λ,−1)垂直，则实数λ=______.
14.《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长(弧长)为10米，径长(两段半径的和)为10米，则该扇形田的面积为__________平方米.
15.已知△ABC的外接圆圆心为O，∠A=45∘，若AO=α⋅AB+β⋅AC(α,β∈R)，则α+β的最大值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
已知sinθ=45，θ为第二象限角.
(1)求sin2θ的值；
(2)求sin(θ+π4)的值.
17.(本小题12分)
已知向量a，b满足|a|=1，|b|= 2，a⋅(a+b)=2.
(1)求a⋅b；
(2)求a与b的夹角θ；
(3)求|a−2b|.
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC，E为PB的中点．
(1)求证：PD//面AEC；
(2)求证：平面AEC⊥平面PDB.
19.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且asinB=− 3bcsA.
(1)求角A的大小；
(2)若b=4，△ABC的面积S=2 3，求△ABC的周长.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin2x+ 3sinxcsx+12.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数的最大值及取得最大值时自变量X的取值集合；
(3)求函数的单调递减区间．
21.(本小题12分)
本市某路口的转弯处受地域限制，设计了一条单向双排直角拐弯车道，平面设计如图所示，每条车道宽为4米，现有一辆大卡车，在其水平截面图为矩形ABCD，它的宽AD为2.4米，车厢的左侧直线CD与中间车道的分界线相交于E、F，记∠DAE=θ.
(Ⅰ)若大卡车在里侧车道转弯的某一刻，恰好θ=π6，且A、B也都在中间车道的直线上，直线CD也恰好过路口边界O，求此大卡车的车长.
(Ⅱ)若大卡车在里侧车道转弯时对任意θ，此车都不越中间车道线，求此大卡车的车长的最大值.
(Ⅲ)若某研究性学习小组记录了这两个车道在这一路段的平均道路通行密度(辆/km)，统计如下：
现给出两种函数模型：①f(x)=Asinωx+B(A>0,ω>0)
②g(x)=a|x−b|+c，请你根据上表中的数据，分别对两车道选择最合适的一种函数来描述早七点以后的平均道路通行密度(单位：辆/km)与时间x(单位：分)的关系，并根据表中数据求出相应函数的解析式.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为z=3+2i，所以复数z的虚部为2.
故选：B.
根据复数的概念即可求出结果．
本题主要考查复数虚部的定义，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：与18∘角的终边相同的角的集合为{β|β=18∘+k⋅360∘,k∈Z}，
令k=1，得到β=378∘，故选项A正确，易知，不存在k∈Z，使β=78∘，−18∘，118∘，故选项BCD均不正确．
故选：A.
写出与18∘角的终边相同的角的集合，根据集合即可求出结果．
本题主要考查终边相同的角，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：∵a//b，∴2x−1×6=0，解得x=3.
故选C.
利用向量共线的充要条件即可得出．
熟练掌握向量共线的充要条件及坐标表示是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：对于A，定义域为R，sin(−x)=−sinx，则为奇函数；
对于B.定义域为R，cs(−x)=csx，则为偶函数；
对于C.定义域为{x|x≠kπ+π2,k∈Z}，关于原点对称，tan(−x)=−tanx，则为奇函数；
对于D.定义域为R，f(−x)=−f(x)，则为奇函数．
故选B.
由常见函数的奇偶性和定义的运用，首先求出定义域，判断是否关于原点对称，再计算f(−x)，与f(x)的关系，即可判断为偶函数的函数．
本题考查函数的奇偶性的判断，考查常见函数的奇偶性和定义的运用，考查运算能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由题意可得g(x)=sin2(x−π6)=sin(2x−π3).
故选：C.
直接利用三角函数的图象变换求出结果．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：A中，若α//β，α//γ，由平行于同一平面的两平面平行，可得β//γ，所以A正确；
B中，若a⊥b，a⊥c，则b与c可能是异面直线，所以B错误；
C中，若a⊥b，a⊥c，则b与c可能平行，所以C错误；
D中，若α⊥β，α⊥γ，则β与γ可能相交，所以D错误．
故选：A.
根据空间中线线、面面位置关系的判定与性质，逐项判定，即可求解．
本题考查线面和面面的位置关系，考查转化思想和推理能力，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：因为SA=(4,0)，SB=(1, 3)，
所以SA⋅SB=4+0=4，|SA|=4，
所以SB在SA上的投影向量为SA⋅SB|SA|⋅SA|SA|=14SA.
故选：B.
根据平面向量数量积的坐标运算和投影向量的定义计算即可．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算与投影向量的应用问题，是基础题．
8.【答案】BC
【解析】解：对于A，长度相等、方向相同的向量叫相等向量，故A错误；
对于B，单位向量的模为1，故B正确；
对于C，零向量的模为0，故C正确；
对于D，方向相同或相反的向量叫共线向量，
它们不一定在同一条直线上，故D错误．
故选：BC.
根据相等向量、单位向量、零向量、共线向量的概念，对题目中的命题进行分析、判断即可．
本题考查向量的相关概念，属基础题．
9.【答案】AC
【解析】解：对于A，z2是纯虚数，故A正确；
对于B，z1−z2=(1−i)−2i=1−3i，对应的点的坐标为(1,−3)，位于第四象限，故B错误；
对于C，复数z1的共轭复数为z1−=1+i，故C正确；
对于D，z1z2=(1−i)⋅2i=2i+2，故D错误．
故选：AC.
对于A，根据纯虚数的定义即可判断；
对于B，先计算z1−z2，再根据复数的几何意义即可判断；
对于C，根据复数的共轭复数的定义即可判断；
对于D，根据乘法法则计算后即可判断．
本题主要考查复数的四则运算，纯虚数的定义，复数的几何意义，以及共轭分数复数的定义，属于基础题．
10.【答案】AB
【解析】解：由题意可得，A=2,3T4=7π12−(−π6)=3π4，故T=π，ω=2，则f(x)=2sin(2x+φ)，
又因为f(7π12)=2sin(7π6+φ)=−2，故7π6+φ=2kπ+3π2,k∈Z，
所以φ=π3+2kπ,k∈Z，所以 f(x)=2sin(2x+π3+2kπ)=2sin(2x+π3).
对于A，当x=−11π12时，2x+π3=−3π2，满足该函数取得最值的条件，A正确；
对于B，x=5π6时，2x+π3=2π，则(56π,0)是该函数的对称中心，B正确；
对于C，当x∈[π24,π2]时，则t=2x+π3∈[5π12,4π3]，
因为函数y=2sint在[5π12,4π3]不是单调减函数，
所以函数f(x)在区间[π24,π2]上不是单调递减函数，C错误；
对于D，f(−π12)=2sin(−π6+π3)=2sinπ6=1，D错误．
故选：AB.
由最值求A，由周期求ω，再由f(7π12)=−2，可求φ，进而可求函数解析式，然后结合正弦函数的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查三角函数的图像和性质，根据条件求出函数的解析式，利用三角函数的大小，单调性进行判断是解决本题的关键，是中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：如图，连接B1C、BC1，
因为A1B1//C1D1//CD，A1B1=C1D1=CD，
所以四边形A1B1CD为平行四边形，
所以A1D//B1C，
所以直线BC1与B1C所成的角即为直线BC1与DA1所成的角，
因为四边形BB1C1C为正方形，
所以B1C⊥BC1，
故直线BC1与DA1所成的角为90∘，A错误；
连接AD1，D1B1，因为AB//A1B1//D1C1，AB=A1B1=D1C1，
则四边形ABC1D1为平行四边形，
可得AD1//BC1，
直线BC1与B1A所成的角即为AD1与B1A所成的角，
设正方体棱长为1，则AD1=AB1=B1D1= 2，
所以△AB1D1为等边三角形，
所以直线BC1与B1A所成的角为60∘，故B正确；
因为C1C⊥平面ABCD，
所以∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角，
易得△C1BC为等腰直角三角形，
所以∠C1BC=45∘，故C正确；
连接A1C1，设A1C1∩B1D1=O，连接BO，
因为BB1⊥平面A1B1C1D1，C1O⊂平面A1B1C1D1，
则C1O⊥B1B，
因为C1O⊥B1D1，B1D1∩B1B=B1，B1D1，B1B⊂平面BB1D1D，
所以C1O⊥平面BB1D1D，
所以∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成的角，
设正方体棱长为1，则C1O= 22，BC1= 2，sin∠C1BO=C1OBC1=12，
则直线BC1与平面BB1D1D所成的角为30∘，故D正确．
故选：BCD.
数形结合，由异面直线所成角可判断A，B；直线与平面所成角可判断C，D.
本题主要考查空间角的定义及其求解，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】12
【解析】解：sin150∘=sin(180∘−30∘)=sin30∘=12.
故答案为：12.
直接利用诱导公式化简，计算即可得到结果．
此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．
13.【答案】2
【解析】解：因为向量a=(1,2)与向量b=(λ,−1)垂直，
所以1×λ+2×(−1)=0，解得：λ=2.
故答案为2.
题目给出了两个相互垂直向量的坐标，直接由向量垂直的坐标表示列式可求λ的值．
本题考查向量的数量积判断两个向量的垂直关系，考查计算能力，是基础题．
14.【答案】25
【解析】【分析】
本题考查弧长及扇形面积，属于基础题.
根据题意，求得扇形所在圆的半径，结合扇形的面积公式，即可求解．
【解答】
解：如图所示，因为径长为10米，下周长为10米，即OA+OB=10且AB的长=10，
所以扇形所在圆的半径为R=102=5米，
所以该扇形田的面积为S=12×10×5=25平方米．
故答案为：25.
15.【答案】2− 2
【解析】解：设△ABC三个角A、B、C所对的边分别为a，b，c，
取AB，AC中点D，E，连接OD，OE，
因为△ABC的外接圆圆心为O，所以OD⊥AB，OE⊥AC，
则AB⋅AO=c⋅12c=12c2，AC⋅AO=b⋅12b=12b2.
因为AO=αAB+βAC，
所以AB⋅AO=α|AB|2+βAB⋅AC，AC⋅AO=αAB⋅AC+β|AC|2，
即12c2=c2α+ 22bcβ，12b2= 22bcα+b2β，
解得α=1− 2b2cβ=1− 2c2b，
所以α+β=2− 22(bc+cb)≤2− 22×2 bc×cb=2− 2，
当且仅当bc=cb，即b=c时，等号成立，
所以α+β的最大值为2− 2.
故答案为：2− 2.
设△ABC三个角A、B、C所对的边分别为a，b，c，由AO=αAB+βAC，可得AB⋅AO=α|AB|2+βAB⋅AC，AC⋅AO=αAB⋅AC+β|AC|2，根据数量积的几何意义和定义，结合外接圆的性质可得12c2=c2α+ 22bcβ，12b2= 22bcα+b2β，求得α=1− 2b2cβ=1− 2c2b，从而可得α+β=2− 22(bc+cb)，利用基本不等式即可求解．
本题考查向量在平面图形中的应用，平面向量的数量积等，属于中档题．
16.【答案】解：(1)因为sinθ=45，θ为第二象限角，所以csθ=−35，
故sin2θ=2sinθcsθ=2×45×(−35)=−2425.
(2)由(1)sinθ=45，csθ=−35，
所以sin(θ+π4)=sinθcsπ4+csθsinπ4= 22×(45−35)= 210.
【解析】(1)根据条件，利用平方关系求出csθ=−35，再利用正弦的倍角公式即可求出结果；
(2)根据(1)中结果，利用正弦的和角公式即可求出结果．
本题主要考查三角函数值的计算，利用三角函数的倍角公式以及两角和差的正弦公式即求解是解决本题的关键，是基础题．
17.【答案】解：(1)∵|a|=1，|b|= 2，a⋅(a+b)=a2+a⋅b=2，
∴a⋅b=2−1=1；
(2)由(1)得a⋅b=1，则cs⟨a,b⟩=a⋅b|a|⋅|b|=11× 2= 22，
又⟨a,b⟩∈(0,π)，则⟨a,b⟩=π4，
故a与b的夹角θ=π4；
(3)由(1)得a⋅b=1，则|a−2b|2=a2−4a⋅b+4b2=1−4×1+4×2=5，即|a−2b|= 5.
【解析】(1)根据条件，利用数量积的运算法则，即可得出答案；
(2)根据(1)中结果，利用数量积夹角公式，可得⟨a,b⟩=π4，即可得出答案；
(3)根据平面向量的线性运算可得|a−2b|2=5，即可得出答案．
本题考查平面向量数量积的性质，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)证明：设AC∩BD=O，连接EO，
因为O，E分别是BD，PB的中点
，所以PD//EO…(4分)
而PD⊄面AEC，EO⊂面AEC，
所以PD//面AEC…(7分)
(2)连接PO，因为PA=PC，
所以AC⊥PO，
又四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD…(10分)
而PO⊂面PBD，BD⊂面PBD，PO∩BD=O，
所以AC⊥面PBD…(13分)
又AC⊂面AEC，
所以面AEC⊥面PBD…(14分)
【解析】(1)设AC∩BD=O，连接EO，证明PD//EO，利用直线与平面平行的判定定理证明PD//面AEC.
(2)连接PO，证明AC⊥PO，AC⊥BD，通过PO∩BD=O，证明AC⊥面PBD，然后证明面AEC⊥面PBD
本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力．
19.【答案】解：(1)在△ABC中，由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R得：
a=2RsinA，b=2RsinB代入式子asinB=− 3bcsA，
化简得，sinAsinB=− 3sinBcsA，
∵sinB≠0，
∴sinA=− 3csA，即tanA=− 3，
∵A∈(0,π)，∴A=2π3.
(2)∵S=12bcsinA=12×4csin2π3= 3c=2 3，
∴c=2，
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA=42+22−2×4×2×(−12)=28，
∴a=2 7
∴a+b+c=2 7+4+2=6+2 7，
∴△ABC的周长为6+2 7.
【解析】(1)利用正弦定理化边为角即可求解；
(2)根据三角形的面积公式和余弦定理即可求解．
本题主要考查解三角形，正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)∵函数f(x)=sin2x+ 3sinxcsx+12=1−cs2x2+ 32sin2x+12=sin(2x−π6)+1，
故函数f(x)的最小正周期为2π2=π.
(2)函数f(x)的最大值为1+1=2，此时，2x−π6=2kπ+π2，求得x=kπ+π3，k∈Z.
故函数的最大值为1，取得最大值时自变量X的取值集合为{x|x=kπ+π3,k∈Z}.
(3)令2kπ+π2≤2x−π6≤2kπ+3π2，求得kπ+π3≤x≤kπ+5π6，
故函数的单调递减区间为[kπ+π3,kπ+5π6]，k∈Z.
【解析】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、最值以及单调性，属于中档题．
(1)利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得函数f(x)的最小正周期．
(2)根据正弦函数的最值求得函数的最大值及取得最大值时自变量X的取值集合．
(3)利用正弦函数的单调性求得函数的单调递减区间．
21.【答案】解：(Ⅰ)作EM⊥OM，垂足为M，作FN⊥ON，垂足为N，
因为∠DAE=π6，所以∠MEO=∠NOF=∠BFO=π6，
在Rt△ADE中，ED=2.4×tanπ6=4 35，
在Rt△BCF中，CF=2.4tanπ6=12 35，
在Rt△OME中，OE=4csπ6=8 33，
在Rt△ONF中，OF=4sinπ6=8，
所以CD=OE+OF−ED−CF=8 33+8−4 35−12 35=8−8 315.
(Ⅱ)因为∠DAE=θ，所以OE=4csθ，OF=4sinθ，ED=2.4sinθ，CF=2.4tanθ，
所以AB=CD=OE+OF−ED−CF=4csθ+4sinθ−2.4sinθ−2.4tanθ=4(sinθ+csθ)−2.4sinθcsθ，(0<θ<π2)，
令sinθ+csθ=t，则t= 2sin(θ+π4)，
∵0<θ<π2，∴θ+π4∈(π4,3π4)，
所以1所以AB=4t−2.4t2−12=8(t−35)t2−1，(1设k=t−35(25所以AB=8k(k+35)2−1=8k−1625k+65，
易知g(k)=k−1625k+65在(25, 2−35]单调递增，且g(k)>0，
所以，AB=8k(k+35)2−1=8k−1625k+65，在(25, 2−35]单调递减，
所以，当k= 2−35，即t= 2时，AB取最小值8 2−245，
所以，若大卡车在里侧车道转弯时对任意θ，此车都不越中间车道线，求此大卡车的车长的最大值为8 2−245.
(Ⅲ)由表可得，里侧车道通行密度有最大值和最小值，适用模型f(x)=Asinωx+B(A>0,ω>0)，
易得T=60，
所以，ω=2πT=π30，
又A=120−1002=10，B=120+1002=110，
所以f(x)=10sin(πx30)+110，
而外侧车道通行密度关于x=30对称，左侧递增，右侧递减，适用模型g(x)=a|x−b|+c，
易知b=30，代入(0,110)，(30,125)，得c=125，a=−12，
所以g(x)=−12|x−30|+125.
【解析】(Ⅰ)通过解直角三角形，分别求出OE，OF，ED，CF，即可求得本题答案；
(Ⅱ)用θ表示AB，利用换元法并结合函数的单调性，求出AB的最小值，即可得到大卡车车长的最大值；
(Ⅲ)先判断里外车道对应的模型，分别求出相应的解析式即可．
本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．时间
7：00
7：15
7：30
7：45
8：00
里侧车道通行密度
110
120
110
100
110
外侧车道通行密度
110
117.5
125
117.5
110