2022-2023学年广西桂林市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年广西桂林市高二（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  是数列、、、、的(    )

A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项

2.  函数的导函数(    )

A.  B.  C.  D.

3.  观察下列散点图，则正相关，负相关，不相关，这三句话与散点图的位置相对应的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若函数，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，那么在五次测试中恰有三次测到正品的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知各项均为正数的等比数列满足，，则公比(    )

A.  B.  C.  D.

7.  某市年至年新能源汽车年销量单位：千台与年份代号的数据如下表：

若根据表中的数据用最小二乘法求得关于的经验回归直线方程为，则表中的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  数列的通项公式为，那么“”是“为递增数列”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知数列满足，，则下列各数是的项的有(    )

A.  B.  C.  D.

10.  设是定义域为的奇函数，其导函数为，若时，图象如图所示，则可以使成立的的取值范围是(    )

A.
B.
C.
D.

11.  近年来，国家相关政策大力鼓励创新创业，某农业大学毕业生小佟货款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植红玫瑰和白玫瑰若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销售量分别服从正态分布和，且当随机变量服从正态分布时，有则下列正确的是(    )

A. 白玫瑰的日销售量在范围内的概率约为
B. 白玫瑰的日销售量比红玫瑰的日销售量更集中
C. 红玫瑰的日销售量比白玫瑰的日销售量更集中
D. 若红玫瑰的日销售量范围在的概率是，则红玫瑰的日销售量的平均数约为

12.  定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则(    )

A.  B.  C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  曲线在点处的切线的斜率是______．

14.  已知，则 ______ ．

15.  已知等差数列的公差，若，，成等比数列，则的值为        ．

16.  甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是______ 写出所有正确结论的编号．
；
；
事件与事件相互独立；
，，是两两互斥的事件．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
在等差数列中，，．
求数列的通项公式；
若数列的前项和，求．

18.  本小题分
已知在时取得极值，且．
试求常数，的值；
试判断时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．

19.  本小题分
哈三中高二数学备课组对学生的记忆力和判断力进行统计分析，所得数据如表所示：

Ⅰ请根据如表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；
Ⅱ根据Ⅰ中求出的线性回归方程，预测记忆力为的学生的判断力．
参考公式：，．

20.  本小题分
截至年，由新华社瞭望东方周刊与瞭望智库共同主办的“中国最具幸福感城市”调查推选活动已连续成功举办年，累计推选出余座幸福城市，全国亿多人次参与调查，使“城市幸福感”概念深入人心，为了便于对某城市的“城市幸福感”指数进行研究，现从该市抽取若干人进行调查，绘制成如下表所示不完整的列联表数据单位：人．

将列联表补充完整，并依据的独立性检验，分析“城市幸福感”指数与性别是否有关；
若感觉“非常幸福”记分，“比较幸福”记分，从上表男性中随机抽取人，记人得分之和为，求的分布列，并根据分布列求的概率，
附：，其中．

21.  本小题分
已知；；，在这三个条件中选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
设正项等比数列的前项和为，数列的前项和为，_____，，对，都有成立．
求数列，的通项公式；
若数列的前项和为，证明．

22.  本小题分
已知函数．
求函数在区间上的最大值；
求函数零点的个数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意可知，该数列为、、、、、、，
故是数列、、、、的第项．
故选：．
列举出该数列的前项，可得结果．
本题主要考查了数列的概念，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
直接利用求导公式求解即可．
本题主要考查了求导公式的应用，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由散点图的分布图分布比较集中，成圆形区域为不相关；图中成向右上方倾斜的带状区域，为正相关．
故选：．
由散点图成带状区域分布为相关，向右上方倾斜为正相关，圆形区域不相关．
本题考查由散点图看两个变量的相关关系，属基础知识的考查．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故选：．
利用导数的运算法则，导数的定义计算即可．
本题考查了导数的运算法则，导数的定义，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：某电子管正品率为，次品率为，
现对该批电子管进行测试，
在五次测试中恰有三次测到正品的概率是：
．
故选：．
利用次独立重复试验中事件恰好发生次的概率计算公式直接求解．
本题考查概率的求法，考查次独立重复试验中事件恰好发生次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由等比数列的性质可得：，，
解得，
则公比．
故选：．
利用等比数列的性质及其定义即可得出．
本题考查了等比数列的性质及其定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：依题意，，，
于是回归直线经过点，则，解得，
故选：．
根据数表求出样本的中心点，再代入回归直线方程计算作答．
本题主要考查线性回归方程的性质，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由，得，化为：，
由为递增数列，可得．
是为递增数列的充分不必要条件．
故选：．
由为递增数列，解出即可判断出结论．
本题考查了不等式的解法、数列的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查数列递推关系式的应用，数列的周期性，属于基础题．
根据递推关系式求出数列是周期为的数列，且前项分别为，，即可求解结论．

【解答】

解：因为数列满足，，
；
；
；
数列是周期为的数列，且前项分别为，，；
故选：．

10.【答案】 

【解析】解：由图可知函数当时，，当时，，
当时，，当时，，
故要使得，即与异号，
故当时，仅需满足即可．
又为奇函数，
故时，，当时，，
当时，，当时，，
故要使得，即与异号，
故当时，需满足或者．
故选：．
由函数为奇函数可判断函数在时的单调性及范围，从而进行求解的范围．
本题主要考查利用原函数图像及函数奇偶性进行判断正负，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于，白玫瑰日销售量范围在的概率，故A正确；
对于，红玫瑰日销售量的方差，白玫瑰日销售量的方差，
红玫瑰日销售量的方差小于白玫瑰日销售量的方差，则红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中，
故B错误，C正确；
对于，若红玫瑰日销售量范围在的概率是，则，即．
红玫瑰日销售量的平均数约为，故D错误．
故选：．
由原则求得白玫瑰日销售量范围在的概率，可判断A正确；比较方差的大小判断B错误，C正确；再由已知结合原则求得，判断D错误．
本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查了正态分布中两个量和的应用，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：令，
则，
因为恒成立，
所以恒成立，
所以在上单调递减，
所以，
即，
所以，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
故D错误．
故选：．
令，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性逐一判断即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，构造函数是解决本题的关键，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：的导数为，
由导数的几何意义，可得：
在点处的切线的斜率为．
故答案为：．
求出导数，由导数的几何意义：函数在某点出的导数即为曲线标准该点处切线的斜率，可得所求切线的斜率．
本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点出的导数即为曲线标准该点处切线的斜率，考查运算能力，正确求导是关键，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
则．
故答案为：．
根据已知条件，结合二项分布的方差公式，即可求解．
本题主要考查二项分布的方差公式，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意，可知，
，
即
化简得．
．
故答案为：．
本题根据等比中项有，然后根据等差数列通项公式代入化简，可得与的关系式，即可得到的值．
本题主要考查等差数列和等比数列的基础知识，考查了方程思想的应用和数学运算能力．本题属中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由题意，，是两两互斥的事件，，，；
，由此知，正确；
，；
而由此知不正确；
，，是两两互斥的事件，由此知正确；
对照四个命题知正确；
故答案为：．
由题意，，是两两互斥的事件，由条件概率公式求出，，对照四个命题进行判断找出正确命题，选出正确选项．
本题考查相互独立事件，解题的关键是理解题设中的各个事件，且熟练掌握了相互独立事件的概率简洁公式，条件概率的求法，本题较复杂，正确理解事件的内蕴是解题的突破点．
 

17.【答案】解：设数列的首项为，公差为，
，，
则，解得，
故；
由以及，，，
得方程，整理得，
解得或舍去，
故． 

【解析】根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解；
根据已知条件，结合等差数列的前项和公式，即可求解．
本题主要考查等差数列的性质，是基础题．
 

18.【答案】解：由已知，且，得，
又，，
，．
由知，
，
当或时，
当时，，
函数在和上单调递增，在上单调递减，
当时，函数取得极大值，
当时，函数取得极小值． 

【解析】求出函数的导数，得到关于，的方程，解出即可；
求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值．
本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，是基础题．
 

19.【答案】解：Ⅰ由题意可得，，，
，
，
故，
则，
所以线性回归方程为；
Ⅱ当时，，
故预测记忆力为的学生的判断力为． 

【解析】Ⅰ先求出样本中心，再利用公式求出回归系数，即可得到线性回归方程；
Ⅱ将代入回归方程求解即可．
本题考查了线性回归方程的求解，要掌握线性回归方程必过样本中心这一知识点，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：补充完整的表格如下所示：

零假设为：“城市幸福感”指数与性别无关．
计算可得；
依据的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，
即认为“城市幸福感”指数与性别无关，
由题可知，的可能取值有，，，，
则，
，
，
，
所以的分布列为：

所以． 

【解析】Ⅰ完成列联表，求出，从而没有的把握认为城市幸福感指数与性别有关．
Ⅱ由题可知，的可能取值为，，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和的概率．
本题考查独立性检验的应用，考查离散型随机变量的要布列、概率的求法，考查超几何分布等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：当时，，，
当时，，
又符合上式，
，
，
设等比数列的公比为，则，
选，由，知，
或舍，
．
选，，
，
．
选，由，得，解得或舍，
，
故数列，的通项公式分别为，．
证明：由知，，
，
，
两式相减得，，
，得证． 

【解析】利用求得，选：易得公比，再由等比数列的通项公式，得解；选：易得公比，再由等比数列的通项公式，得解；选：由等比数列的通项公式求得公比，再写出通项公式，即可；
利用错位相减法，求得后，即可得证．
本题考查数列的通项公式与前项和的求法，熟练掌握利用求通项公式，等比数列的通项公式，错位相减法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：，
令，则，
所以，所以，所以在上单调递增，
又，
，
故存在唯一，使得，
故为上的极小值，
又，，
故函数在区间上的最大值为．
函数的定义域是，
当时，，，
所以，所以在上单调递减，
又，所以，故此时的零点为；
当时，由知，函数在区间上有唯一零点；
当时，令，，
则，
所以在上单调递增，
所以．
又，故对任意，都有，
所以函数在区间上没有零点，
综上，函数有且仅有个零点． 

【解析】求出函数的导数，判断函数在上的单调性，即可求得答案；
分区间讨论，结合函数的导数，判断函数的单调性，结合零点存在定理以及函数值的正负情况，即可求得结论．
本题主要考查利用导数研究函数的最大值，函数零点个数的判断，考查运算求解能力，属于中档题．