甘肃省2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试卷(含答案)

这是一份甘肃省2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．“”是“”的( )
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件
3．函数的定义域是( )
A.B.C.D.
4．若,则关于x的不等式的解集是( )
A.B.或
C.或D.
5．如果,,那么函数的图象在( )
A.第一、二、三象限B.第一、三、四象限
C.第二、三、四象限D.第一、二、四象限
6．已知函数,下列结论正确的是( )
A.函数的最小正周期为
B.函数在区间上是增函数
C.函数的图象关于直线对称
D.函数是奇函数
7．已知函数,则( )
A.B.C.0D.
8．设,,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列叙述中正确的是( )
A.
B.若集合A,B是全集U的两个子集,且,则
C.命题“,”的否定是“,”
D.命题“,”的否定是“,”
10．下列计算正确的是( )
A.B.
C.D.
11．已知函数的部分图象如图所示,下列说法正确的是( )
A.函数的图象关于点对称
B.函数的图象关于直线对称
C.函数在单调递减
D.该图象向右平移个单位可得的图象
12．已知函数,则下列结论正确的是( )
A.存在实数a,函数无最小值
B.对任意实数a,函数都有零点
C.当时,函数在上单调递增
D.对任意,都存在实数m,使关于x的方程有3个不同的实根
三、填空题
13．__________．
14．青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V的满足.已知某同学视力的小数记录法数据为0.8,则其视力的五分记录法的数据约为___________.
15．写出一个同时具有下列三个性质的函数：___________.
①函数为指数函数;
②单调递增;
③.
16．对于函数,若存在,使,则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若函数的图象存在“隐对称点”,则实数m的取值范围是__________.
四、解答题
17．已知
（1）求的值;
（2）若x是第三象限角,化简,并求值.
18．已知,.
（1）求证：;
（2）若,求的最小值.
19．已知函数,是的一个零点.
（1）求;
（2）当时,求的值域.
20．“宸宸”“琮琮”“莲莲”是2023年杭州亚运会吉祥物,组合名为“江南忆”,出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆,最忆是杭州”,它融合了杭州的历史人文､自然生态和创新基因.某中国企业可以生产杭州亚运会吉祥物“宸宸”“琮踪”“莲莲”,根据市场调查与预测,投资成本x（百万元）与利润y（百万元）的关系如下表：
当投资成本x不高于12（百万元）时,利润y（百万元）与投资成本x（百万元）的关系有两个函数模型与可供选择.
（1）当投资成本x不高于12（百万元）时,选出你认为最符合实际的函数模型,并求出相应的函数解析式;
（2）当投资成本x高于12（百万元）时,利润y（百万元）与投资成本x（百万元）满足关系,结合第（1）问的结果,要想获得不少于一千万元的利润,投资成本x（百万元）应该控制在什么范围.（结果保留到小数点后一位）（参考数据：）
21．已知函数,且的图象过点.
（1）求a的值及的定义域;
（2）求在上的最小值;
（3）若,比较与的大小.
22．已知函数．
（1）若是偶函数,求a的值;
（2）若对任意,不等式恒成立,求a的取值范围．
参考答案
1．答案：C
解析：因为,,
所以,
故选：C.
2．答案：A
解析：当,则,则即充分性成立;
当,时, 不成立,即必要性不成立,即“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3．答案：D
解析：由题意知,,则函数的定义域是.
故选：D.
4．答案：D
解析：因为,所以,即,
所以,即,解得.
故选：D.
5．答案：B
解析：,的图象过第一、第二象限,且是单调增函数,经过,
的图象可看成把的图象向下平移个单位得到的,
故函数的图象经过第一、第三、第四象限,不经过第二象限,
故选：B.
6．答案：C
解析：对于A,由于,,因此,A错误;
对于B,当时,,则函数在区间上是减函数,B错误;
对于C,,
因此函数的图象关于直线对称,C正确;
对于D,由于,因此函数是偶函数,不是奇函数,D错误.
故选：C.
7．答案：A
解析：函数,
所以.
故选：A.
8．答案：B
解析：由,得,
由,得,
即,而,
所以.
故选：B.
9．答案：AC
解析：对于选项A：因为,所以,故A正确;
对于选项B：B错误,可举特例说明,如,,
则,
所以,故B错误;
全称量词命题的否定是：,故选项C正确;选项D错误.
故选：AC.
10．答案：AC
解析：对于选项A,,故选项A正确;
对于选项B,,故选项B不正确;
对于选项C,,故选项C正确;
对于选项D,,故选项D不正确.
故选：AC.
11．答案：BD
解析：根据函数的部分图象,
可得,,可得,
再根据五点作图法,可得,解得,所以,
对于A中,当,可得,
所以不是函数的对称中心,所以A错误;
对于B中,当时,可得,即函数的最小值,
所以函数的图象关于直线对称,所以B正确;
对于C中,当,可得,
根据余弦函数的性质,可得在函数在先减后增,所以C不正确;
对于D中,将函数该图象向右平移个单位,
可得的图象,所以D正确.
故选：BD.
12．答案：ABD
解析：函数的定义域为R,
函数图象由函数的图象向右平移1个单位而得,函数在R上是增函数,
对于A,当时,函数在上单调递增,当时,,
当时,,此时函数无最小值,A正确;
对于B,当时,由,得,解得,当时,由,得,解得,
因此对任意实数a,函数都有零点,B正确;
对于C,取,当时,在上单调递增,
当时,在上单调递增,而,
此时函数在上不单调,C错误;
对于D,对任意,函数在上单调递减,函数值集合为,
在上单调递增,函数值集合为,在上单调递增,函数值集合为,
显然恒有,当时,直线与函数的图象有3个交点,
因此方程有3个不同的实根,D正确.
故选：ABD.
13．答案：
解析：.
故答案为：.
14．答案：4.9
解析：由,当时,
,
所以.
故答案为：4.9.
15．答案：（答案不唯一）
解析：因函数是指数函数,则令,且,于是得,
由于单调递增,则,又,解得,取,
所以.
故答案为：（答案不唯一）.
16．答案：
解析：由“隐对称点”的定义可知,的图象上存在关于原点对称的点,
设的图象与,图象关于原点对称,
设,则, ,
所以,,
故的图象与,的图象有交点,
等价于方程有实根,
故,
当且仅当时,取得等号,所以,故实数m的取值范围是.
故答案为：.
17．答案：（1）2;
（2）
解析：（1）由,得,解得,
所以值为2.
（2）由（1）知,,即,而,于是,
而x是第三象限角,即,因此,
所以.
18．答案：（1）证明见解析;
（2）8.
解析：（1）,
则,当且仅当时取等号,
所以.
（2）由,且,得,
当且仅当,即时取等号,
所以当,时,取得最小值8.
19．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）依题意,,即,
则,而,
所以,.
（2）由（1）知,,当时,,
而正弦函数在上单调递增,在上单调递减,
因此当,即时,取得最小值,
当,即时,取得最大值1,则,,
所以的值域是.
20．答案：（1）最符合实际的函数模型为,解析式为
（2）
解析：（1）最符合实际的函数模型为,
理由如下：
若选函数,将点,代入可得,
解得,所以,
当时,可得,与实际数据差别较大;
若选函数,
将点,代入可得,解得,,
所以,当时,可得,符合题意,
综上可得,最符合实际的函数模型为.
（2）由题意知,利润y与投资成本x满足关系式,
要获得不少于一个亿的利润,即,
当时,即,即,
又因为,所以;
当时,即,可得,
解得,又因为,所以,
综上可得,,
所以要获得不少于一个亿的利润,投资成本x（千万）的范围是.
21．答案：（1）,
（2）
（3）
解析：（1）依题意,,因此,
由,解得,所以的定义域为.
（2）由（1）知,,
,当时,则,
所以,因此当时,函数,
所以在上的最小值.
（3）,,则,,
显然,,即有,
于是,而,则,,
又,则,,即,
,,从而,,
因为函数在上是增函数,又在上是减函数,则在上是减函数,
所以.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为是偶函数,所以,
即,故．
（2）由题意知在上恒成立,
则,
又因为,所以,则,
令,则,
可得,
又因为,当且仅当时,等号成立,
所以,即a的取值范围是．
x（百万元）
2
4
12
y（百万元）
0.4
0.8
12.8