4.2 利用导数求单调性（导与练）-2024年高考数学一轮复习导与练高分突破（新高考）

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函数的单调性与导数的关系
一般地，设函数y＝f(x)在某个区间(a，b)内有导数，函数f(x)的单调性与其导函数f′(x)的正负之间具有如下关系：
①在某个区间(a，b)上，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，区间(a，b)为函数y＝f(x)的单调增区间；
②在某个区间(a，b)上，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，区间(a，b)为函数y＝f(x)的单调减区间．
③在某个区间(a，b)上，如果f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上为常函数．
易错点：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.
一．利用导数求函数单调区间的方法
法一：当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)>0或f′(x)<0求出单调区间；（无参函数）
确定函数单调区间的步骤
①确定函数f(x)的定义域．
②求f′(x)．
③解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
法二：当导函数方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间；
法三：若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f′(x)的结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．
易错点：若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”隔开．
二．根据函数单调性求参数的一般思路
法一：由函数在区间[a，b]上单调递增(减)可知f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立，列出不等式；
法二：利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；
法三：对等号单独检验，检验参数的取值能否使f′(x)在整个区间恒等于0．若f′(x)恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f′(x)＝0，则参数可取这个值．
法四：当函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题；当已知函数在某区间上不单调时，则转化为关于导函数的方程在该区间上有解问题．
含参函数单调性的分类讨论
1.研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
2.划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
3.讨论点一般有三类：①自变量系数a分 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a<0，,a＝0，,a>0，)) ②判别式Δ分 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Δ<0，,Δ＝0，,Δ>0，)) ③两根的大小分 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1x2.))
四．单调性的应用
1．比较大小：若自变量不在同一单调区间内，则要利用函数的性质，将其转化到同一个单调区间上，再进行比较．
2．利用单调性比较大小或解不等式，关键是根据题意构造辅助函数，利用构造的函数的单调性比较大小或解不等式．
3．与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f′(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式．
五．易错点
1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
注意：若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”或“和”连接，不能用“∪”连接．
考法一 利用导数求函数的单调区间（无参）
【例1-1】（2023春·湖北）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，令，解得，
所以函数的单调递增区间是.故选：B
【例1-2】（2023春湖南）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】 令，得 ，∴当时，单调递增.故选：B
【一隅三反】
1．（2023春·河南）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】的定义域为，，
由，可得，故的单调递减区间为.故选：C．
2．（2023春·吉林长春）函数的单调递增区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意得，令，解得或，故其单调增区间为，故选：A.
3．（2023春·山东）若函数，则函数的单调递减区间为（ ）．
A．，B．，
C．D．
【答案】C
【解析】，函数定义域为，，
令，解得，则函数的单调递减区间为.故选：C.
考法二 导函数图像判断原函数图像
【例2-1】（2023春·广东）已知函数的图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）

A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．当时，>0
D．当时，=0
【答案】C
【解析】由图像可知函数的增区间为，减区间为，故AB正确；
由单调性可知，函数在处取得极值，所以，D正确；
当时，函数单调递减，所以，C错误.故选：C
【例2-2】（2023·广西）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由导函数的图象可得当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
只有C选项的图象符合.故选：C.
【一隅三反】
1．（2023·山东）已知函数的导函数图像如图所示，则的图像是图四个图像中的（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意可知，当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
当时，单调递增，则在上增的越来越快，
当时，单调递减，则在上增的越来越慢，
当时，单调递减，则在上减的越来越快，
当时，单调递增，则在上减的越来越慢，
只有A选项符合.
故选：A.
2．（2023·山西）函数的图象如图所示，则（ ）
A．B．
C．D．的符号不确定
【答案】B
【解析】
如图所示，在上单调递减，所以故选：B
3．（2023春·河南新乡）已知定义在区间上的函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ）

A．在上单调递增
B．
C．曲线在处的切线的斜率为0
D．最多有3个零点
【答案】D
【解析】设，且．由图可得，当时，，
当时，．所以的单调递增区间为，，单调递减区间为．
故最多有3个零点．排除ABC.故选：D
4．（2023·海南）已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如下图所示，则该函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由导函数图象知，，恒成立，即函数在上单调递增，
而函数在上单调递增，在上单调递减，
因此在上，函数的变化率逐渐增大，即函数图象逐渐由缓变陡，选项AD不满足，
在上，函数的变化率逐渐减小，即函数图象逐渐由陡变缓，选项C不满足，选项B符合题意.
故选：B.
考法三 已知函数单调性求参数
【例3-1】（2023春·北京海淀）已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是___________；若在区间上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】因为，，
在区间内单调递增，在上恒成立，
在上恒成立，在上恒成立，
，，因为在，
，则的取值范围是：.
若在上存在单调递增区间，则在上有解，
即在上有解，，
又，.则的取值范围是：.
故答案为：；.
【例3-2】（2023·天津）若函数有三个单调区间，则b的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】，因为函数有三个单调区间，所以，解得：.故选：A
【例3-3】（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．m>1
【答案】B
【解析】函数的定义域为，且，
令，得，因为在区间上不单调，所以，解得：故选：B.
【一隅三反】
1.（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A．B．eC．D．
【答案】C
【解析】依题可知，在上恒成立，显然，所以，
设，所以，所以在上单调递增，
，故，即，即a的最小值为．
故选：C．
2．（2023·陕西西安·统考三模）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为函数在区间上单调递增，
所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，
令，则，
所以在上递增，又，所以.所以的取值范围是.故选：B
3．（2023春·四川成都）若函数的单调递减区间为，则实数k的值为（ ）
A．1B．C．3D．
【答案】A
【解析】由，由已知递减区间，则得：，
故，1是的两根，，，
故选：A
4．（2023春重庆）（多选）已知函数在上有三个单调区间，则实数的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【解析】由题意可知函数在上有三个单调区间，等价在有两个不同的根.，令，则，
即在有唯不为1的一根，则有有唯一不为1的根，
令，则，故当 单调递增，
当 单调递减，且
即，故选：BD
5．（2023·陕西）函数在区间上不单调，实数的范围是____________.
【答案】
【解析】，，令，得.
当或时，；当时，.
所以函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以函数的极大值点为，极小值点为.
由题意可得或，解得或.
所以实数的范围是.故答案为：.
考法四 单调性的应用--比较大小
【例4-1】．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，可得函数为偶函数，
当时，则，可得，
构建，则，
令，解得；令，解得；
所以在上单调递减，在上单调递增，
可得，
即在上恒成立，故在上单调递增，
又因为，且，
所以，即.
故选：D.
【例4-2】（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A．c＜b＜aB．b＜a＜cC．c＜a＜bD．a＜b＜c
【答案】D
【解析】设，则恒成立，
所以函数在上单调递增，
因为，所以，则，即，则.
故选：D.
【例4-3】（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令，则，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
故，所以，当时取等号.
所以，
令，则，
当时，，则在上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
故，所以，当时取等号.
所以，即.
故选：C.
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，，，所以构造函数，
因为，由有：，
由有：，所以在上单调递减，
因为，，,
因为，所以，故A，B，D错误.
故选：C.
2．（2023·山西·校联考模拟预测）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】易知，，，令，则，
，所以在上单调递减，
又因为，所以，即．故选：D.
3．（2023·河北·统考模拟预测）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设函数，则，
当时，，当时，，
故在单调递增，在上单调递减，
又，，，
因为，故，即，
故选：B
考法五 单调性的应用--解不等式
【例5-1】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）已知函数，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】均为偶函数，故函数为偶函数，
令则，
，即在R上单调递减，
又在恒成立，
故函数在上递减，在递增.
.故选：C.
【例5-2】（2023春·四川凉山·）已知函数满足，且的导函数，则的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，则，因为，所以，即函数在上单调递减，则，即，即，
所以，即的解集为.故选：D
【一隅三反】
1．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数，则不等式的解集是______.
【答案】
【解析】因为函数，所以，即函数为奇函数，
且，则函数为增函数，
则不等式等价于，
即，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
2．（2023春·江苏盐城）已知函数的定义域为R，为的导函数，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】根据题意，构造函数，则，
所以函数在R上单调递增，又，即，
所以，即，解得.故选：D.
3．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知函数，，若，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】由，
函数是定义在上的偶函数，又，
令且，则，故在上递增，
所以，即在上恒成立，所以在上恒成立，
所以在上递增，则上递减，
，则，
，即，即，
在上单调递增，，即，解得．故答案为：．
考法六 含参函数单调性的分类讨论
【例6-1】（2023·河北·模拟预测）已知函数.讨论函数的单调性；
【答案】答案见解析.
【解析】函数，，则，
当，即时，恒成立，即在上单调递增；
当，即时，令，解得，
综上所述，当是，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
【例6-2】．2023·广东佛山·校联考模拟预测）已知函数，讨论的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】的定义域为，，
当时，，在上为增函数；
当时，由，得，由，得，
所以在上为减函数，在上为增函数.
综上所述：当时，在上为增函数；当时，在上为减函数，在上为增函数.
【例6-3】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）已知函数，讨论函数的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】，
令，则两根分别为.
1.当时，在恒成立，故的单调递增区间为，无单调递减区间；
2.当时，令得或，令得，
所以单调递增区间为，单调递减区间为；
3.当时，令得或时，令得，
所以单调递增区间为，单调递减区间为.
综上当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，单调递减区间为；当时，单调递增区间为，单调递减区间为.
【例6-4】（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知函数，讨论函数的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】因为，该函数的定义域为，
.
因为，由得：或.
①当，即时，对任意的恒成立，且不恒为零，
此时，函数的增区间为，无减区间；
②当，即时，由得或；由得.
此时，函数的增区间为、，减区间为；
③当，即时，由得或；由得.
此时函数的增区间为、，减区间为.
综上所述：当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的增区间为、，减区间为；
当时，函数的增区间为、，减区间为.
【例6-5】（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知函数，讨论的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】的定义域为R，
，，对于，则，
当时，，在上单调递增，
当时，由得，
当和时，，
当时，，
在单调递增，在上单调递减，
综上，当时，在上单增，
当时，在上单调递增，在上单调递减；.
【一隅三反】
1．（2023·陕西咸阳）已知，讨论函数的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】由题知，.
当时，当时，；当时，，
在区间上是㺂函数，在区间上是增函数；
当时，；当或时，；当时，；
在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间上是增函数；
当时，在区间上是增函数；
当时，；当或时，；当时，；
在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间上是增函数；
综上所述，当时，在区间上是减函数，在区间上是增函数；
当时，在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间上是增函数；
当时，在区间上是增函数；
当时，在区间上是增函数，在区间上是减函数，在区间上是增函数.
2．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知函数，，讨论的单调区间；
【答案】答案见解析
【解析】的定义域为，
若，当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
若，则恒成立，在上单调递增.
综上，当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间
3（2023·贵州）已知函数.讨论的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】的定义域是，，
（i）当时，，在递减，无增区间；
（ii）当时，令，解得，令，解得，
故在上递减，在上递增；
（iii）当时，令，解得，
令，解得，
故在递减，在递增；
综上，当时，的减区间为，无增区间；
当时，的减区间为，增区间为；
当时，的减区间为，增区间为.
4．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知函数，讨论函数的单调性；
【答案】答案见解析；
【解析】的定义域为，
①当时，，此时函数在上单调递增；
②当时，由得，由得
此时函数在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
5．（2023·山东德州·三模）已知函数，其中．
(1)当时，求函数在处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性；
【答案】(1)(2)答案见解析
【解析】（1）当时，，定义域为，所以，
所以，又，所以函数在处的切线方程为，即.
（2）的定义域是，
，，
令，则．
①当或，即时，恒成立，所以在上单调递增．
②当，即时，由，得或；
由，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减
+
0
↗
极大值
↘