2024年高考数学重难点突破讲义：第9练　立体几何与空间向量

这是一份2024年高考数学重难点突破讲义：第9练　立体几何与空间向量，共3页。
A．eq \f(\r(3),3)B．eq \f(\r(7),4)
C．eq \f(\r(2),2)D．eq \f(3,4)
2．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在线段CC1上，且eq \(MC1,\s\up6(→))＝2eq \(CM,\s\up6(→))，点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1，则线段AP的长为( )
A．eq \f(\r(,14),4)B．eq \f(\r(,14),3)
C．eq \f(\r(,14),5)D．eq \f(\r(,14),6)
3．(2023·湖州模拟)如图，已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为2，侧棱长为4，M为侧棱PC的中点，则直线BM与底面ABCD所成角的正弦值为( )
A．eq \f(2,3)B．eq \f(\r(,7),3)
C．eq \f(\r(,15),6)D．eq \f(\r(,21),6)
4．已知四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，PD＝AD，E是线段PB上的动点，则直线DE与平面PBC所成角的最大值为( )
A．eq \f(π,6)B．eq \f(π,4)
C．eq \f(π,3)D．eq \f(π,2)
5．(2023·邵阳二模)(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(AA1,\s\up6(→))，eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(CC1,\s\up6(→))，则( )
A．∠EBF为钝角
B．AD1⊥A1C
C．ED∥平面B1D1F
D．直线EF与平面BB1C1C所成角的正弦值为eq \f(2,3)
6．(2023·黄石一模)(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则( )
A．A1C⊥AB1
B．A1B与AD1所成的角为60°
C．D1D⊥AF
D．A1G∥平面AEF
7．(多选)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为正方形底面ABCD内一动点，则下列结论正确的有( )
A．三棱锥B1－A1D1P的体积为定值
B．存在点P，使得D1P⊥AD1
C．若D1P⊥B1D，则点P在正方形底面ABCD内的运动轨迹是线段AC
D．若P是AD的中点，Q是BB1的中点，过P，Q作平面α垂直于平面ACC1A1，则平面α截正方体ABCD－A1B1C1D1的截面周长为3eq \r(2)
8．如图，圆锥的轴截面ABC为正三角形，其面积为4eq \r(3)，D为弧AB的中点，E为母线BC的中点，则异面直线AC，DE所成的角的大小为________．
9．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，DD1＝4，则点B到平面A1C1D的距离为________．
10．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F是棱BB1的中点，则直线FC1到平面AB1E的距离为________．
11．如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．
(1) 求证：平面PEF⊥平面ABFD；
(2) 求DP与平面ABFD所成角的余弦值．
12．(2023·盐城模拟)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为BD和BB1的中点，P为棱C1D1上的动点．
(1) 是否存在点P，使得PE⊥平面EFC？若存在，求出满足条件时C1P的长度；若不存在，请说明理由．
(2) 当C1P为何值时，平面BCC1B1与平面PEF夹角的正弦值最小？