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数学必修 第一册1.3 集合的基本运算第2课时一课一练
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这是一份数学必修 第一册1.3 集合的基本运算第2课时一课一练，共41页。
一．补集及其运算（共2小题）
1．（2023春•丹阳市校级月考）设集合A＝{x|x≤3}，B＝{x|x≤1}，则∁AB＝（ ）
A．（1，3]B．[1，3）C．[1，3]D．（﹣∞，3]
2．（2023春•蓬江区校级月考）已知集合，则∁RA＝（ ）
A．{x|1＜x＜2}B．{x|1≤x＜2}C．{x|x＜1或x＞2}D．{x|x≤1或x＞2}
二．全集及其运算（共1小题）
3．（2021秋•普宁市校级月考）已知全集U＝{x|x2﹣3x+2≥0}，A＝{x||x﹣2|＞1}，B＝，求∁UA，∁UB，A∩B，A∩（∁UB），（∁UA）∩B．
三．交、并、补集的混合运算（共3小题）
4．（2023春•雁塔区校级期末）设集合A＝{x|2＜x＜5}，B＝{x|x＞4}，则A∩（∁RB）＝（ ）
A．{x|4＜x≤5}B．{x|4＜x＜5}C．{x|2＜x＜4}D．{x|2＜x≤4}
5．（2023春•青铜峡市校级期末）已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，B＝{1，2，4}，则A∪（∁UB）＝（ ）
A．{1，3，5}B．{1，3}C．{1，2，4}D．{1，2，4，5}
6．（2023春•南通期末）设全集U＝Z，集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则{﹣2}＝（ ）
A．A∩BB．A∪BC．A∩（∁UB）D．（∁UA）∩B
四．Venn图表达集合的关系及运算（共6小题）
7．（2022秋•南平期末）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合M＝{x|x2﹣7x+12＝0}，N＝{2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．{1，3，4}B．{2，3，5}C．{2，6}D．{1，6}
8．（2022秋•金寨县校级期末）已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣1≤x≤6}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{x|3≤x≤6}B．{x|﹣1＜x≤3}C．{x|1＜x≤3}D．{x|﹣3＜x≤﹣1}
9．（2022秋•锦州期末）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣2＜x≤1}，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．{﹣2，﹣1}B．{﹣2，2}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}
10．（2022秋•泸州期末）设全集U及集合M与N，则如图阴影部分所表示的集合为（ ）
A．M∩NB．M∪NC．∁UM∩ND．∁U（M∪N）
11．（2022秋•广东期末）集合A＝{0，1，2，4，8}，B＝{0，1，2，3}，将集合A，B分别用如下图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2022秋•永川区校级期末）设集合U＝R，A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|x＜2}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{x|x≥2}B．{x|x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|2≤x＜3}
【能力提升】
一．选择题（共3小题）
1．（2022秋•龙岗区校级期中）若全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A＝{1，2，3，5}，B＝{1，2，4，6，7，8}，则（∁UA）∪（∁UB）＝（ ）
A．∅B．{3，4，5，6，7，8，9}
C．{9}D．{1，2}
2．（2022秋•天津期中）设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{﹣2，2}，B＝{﹣2，1}，则∁U（A∪B）＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，1，2}B．{﹣2，﹣1，0}C．{﹣1，0}D．{0}
3．（2020•东城区模拟）某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（ ）
A．8B．7C．6D．5
二．多选题（共3小题）
（多选）4．（2022秋•拱墅区校级期中）已知集合A中含有6个元素，全集U＝A∪B中共有12个元素，（∁UA）∪（∁UB）中有m个元素，已知m≥8，则集合B中元素个数可得为（ ）
A．2B．6C．8D．12
（多选）5．（2022秋•荔湾区校级月考）设A、B、I均为非空集合，且满足A⊆B⊆I，则下列各式中正确的是（ ）
A．（∁IA）∪B＝IB．（∁IA）∪（∁IB）＝I
C．A∩（∁IB）＝∅D．（∁IA）∩（∁IB）＝∁IB
（多选）6．（2021秋•屯溪区校级期中）向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人．则下列说法正确的是（ ）
A．赞成A的不赞成B的有9人
B．赞成B的不赞成A的有11人
C．对A、B都赞成的有21人
D．对A、B都不赞成的有8人
三．填空题（共3小题）
7．（2020秋•天津月考）设U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2+mx＝0}，若∁UA＝{1，2}，则实数m＝ ．
8．（2022秋•长寿区校级期末）某城市数．理．化竞赛时，高一某班有24名学生参加数学竞赛，28名学生参加物理竞赛，19名学生参加化学竞赛，其中参加数．理．化三科竞赛的有7名，只参加数．物两科的有5名，只参加物．化两科的有3名，只参加数．化两科的有4名．若该班学生共有48名，问没有参加任何一科竞赛的学生有 名．
9．（2022秋•徐汇区校级期中）集合M，N，S都是非空集合，现规定如下运算：M⊙N⊙S＝{x|x∈（M∩N）∪（N∩S）∪（S∩M）且x∉M∩N∩S}．假设集合A＝{x|a＜x＜b}，B＝{x|c＜x＜d}，C＝{x|e＜x＜f}，其中实数a，b，c，d，e，f满足：
（1）ab＜0，cd＜0；ef＜0；（2）b﹣a＝d﹣c＝f﹣e；（3）b+a＜d+c＜f+e．
计算A⊙B⊙C＝ ．
四．解答题（共16小题）
10．（2020秋•杏花岭区校级月考）设全集U＝{2，3，a2+2a﹣3}，A＝{|2a﹣1|，2}，∁UA＝{5}，求实数a的值．
11．（2020秋•集宁区校级月考）若A＝{a，b}，B＝{x|x⊆A}，M＝{A}，求∁BM．
12．（2022秋•番禺区校级期末）设集合A＝{x|3x﹣2＞1}，B＝{x|2m≤x≤m+3}．
（1）当m＝﹣1时，求A∩B，A∪B．
（2）若B⊆A，求m的取值范围．
13．（2022秋•桂林期末）已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|4＜x＜10}．求：
（1）A∩B；
（2）∁R（A∪B）．
14．（2022秋•泰山区校级月考）设A＝{x|x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0，m∈R}，B＝{x|2x2+（3n+1）x+2＝0，n∈R}．
（1）若A∩∁RB＝∅，求m，n的值；
（2）若对∀x∈B，有x∈A，求m，n的取值范围．
15．（2022秋•中山市校级月考）已知集合A＝{x|（2x+3）（x﹣4）≥0}，B＝{y|y＝3x+1（x＞0）}．
（1）求集合A∩B，（∁RA）∪B；
（2）若集合C＝{x|m﹣2≤x≤2m}且（∁RA）∩C＝C，求m的取值范围．
16．（2022秋•高淳区校级月考）设函数的定义域为集合A，集合B＝{x|x2+（2﹣2m）x+m（m﹣2）≤0}．给出下列条件①“x∈B”是“x∈A”的充分条件；②A∪B＝R；③B∩∁RA＝B．从中选一个作为已知填在横线上，并解答．
（1）若，求（∁RA）∩B；
（2）设集合A，B满足条件_____，若这样的实数m存在，求m取值范围，若不存在说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
17．（2020秋•郑州期中）已知集合P＝{x|﹣2≤x≤10}，Q＝{x|1﹣m≤x≤1+m}．
（1）求集合∁RP；
（2）若P⊆Q，求实数m的取值范围；
（3）若P∩Q＝Q，求实数m的取值范围．
18．（2022秋•徐汇区校级期中）已知有限集合A＝{a1，a2，…，an}（n≥2，n∈N），若集合A中任意元素ai都满足﹣1＜ai＜1，则称该集合A为收敛集合．对于收敛集合A，定义Γ变换有如下操作：从A中任取两个元素ai、aj（i≠j），由A中除了ai、aj以外的元素构成的集合记为C1，令A1＝C1∪，若集合A1还是收敛集合，则可继续实施Γ变换，得到的新集合记作A2，…，如此经过k次Γ变换后得到的新集合记作Ak．
（1）设A＝，请写出A1的所有可能的结果；
（2）设A＝{a1，a2，…，a10}是收敛集合，试判断集合A最多可进行几次Γ变换，最少可进行几次Γ变换，并说明理由；
（3）设A＝，对于集合A反复Γ变换，当最终所得集合Ak只有一个元素时，求所有的满足条件的集合Ak．
19．（2022秋•南开区校级期中）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{y|y＝，x∈（﹣3，0）∪（0，1）}，集合C＝{x|2x2+mx﹣8＜0}．
（1）求A∩B、A∪（∁RB）（R为全集）；
（2）若（A∩B）⊆C，求m的取值范围．
20．（2022秋•沈阳期中）已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A＝{x∈N|1＜x≤4}，B＝{x∈R|x2﹣3x+2＝0}．
（1）用列举法表示集合A与B；
（2）求A∩B及∁U（A∪B）．
21．（2022秋•高新区校级月考）已知集合A＝{x|2a+1＜x＜3a﹣5}，集合B＝{x|x2﹣13x﹣14＞0}．分别根据下列条件求实数a的取值范围．
（1）A∩B＝∅
（2）A⊆（A∩B）
22．（2022秋•井冈山市期末）已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＝m+1，m∈A}．
（Ⅰ）求图中阴影部分表示的集合C；
（Ⅱ）若非空集合D＝{x|4﹣a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），求实数a的取值范围．
23．（2022秋•秦州区校级期末）已知集合A＝{x|2x2﹣5x﹣12≥0}，B＝{y|y＝3x+1（x＞0）}．
（1）求集合A∩B，（∁RA）∪B；
（2）若集合C＝{x|m﹣2≤x≤2m}且（∁RA）∩C＝C，求m的取值范围．
24．在某次数学竞赛中共有甲、乙、丙三题，共25人参加竞赛，每个学生至少做对一题．在所有没解出甲题的同学中，解出乙题的人数是解出丙题的人数的2倍；解出甲题的人数比余下的人数多1人；只解出一题的同学中，有一半没解出甲题，问共有多少同学解出乙题？
25．为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支测绘队，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中有许多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有一些人三项工作都参加了，请问这个测绘队至少有多少人？
1.3全集与补集 (第2课时）（4种题型分类基础练+能力提升练）
【夯实基础】
一．补集及其运算（共2小题）
1．（2023春•丹阳市校级月考）设集合A＝{x|x≤3}，B＝{x|x≤1}，则∁AB＝（ ）
A．（1，3]B．[1，3）C．[1，3]D．（﹣∞，3]
【分析】根据条件，利用集合的运算即可求出结果．
【解答】解：因为集合A＝{x|x≤3}，B＝{x|x≤1}，
所以∁AB＝（1，3]．
故选：A．
【点评】本题主要考查补集及其运算，属于基础题．
2．（2023春•蓬江区校级月考）已知集合，则∁RA＝（ ）
A．{x|1＜x＜2}B．{x|1≤x＜2}C．{x|x＜1或x＞2}D．{x|x≤1或x＞2}
【分析】先解分式不等式得集合A，再根据补集的定义求解即可．
【解答】解：由，得或，解得x≥2或x＜1，即A＝{x|x＜1或x≥2}，
故∁UA＝{x|1≤x＜2}．
故选：B．
【点评】本题主要考查补集及其运算，属于基础题．
二．全集及其运算（共1小题）
3．（2021秋•普宁市校级月考）已知全集U＝{x|x2﹣3x+2≥0}，A＝{x||x﹣2|＞1}，B＝，求∁UA，∁UB，A∩B，A∩（∁UB），（∁UA）∩B．
【分析】先对集合U，A，B分别进行化简，得到最简形式，然后就很容易进行关系的判断．
【解答】解：由U＝{x|x2﹣3x+2≥0}得：U＝{x|x≤1或x≥2}
由A＝{x||x﹣2|＞1}得，A＝{x|x＜1或x＞3}
由B＝得，B＝{x|x≤1或x＞2}
∴∁UA＝{x|x＝1或2≤x≤3}
∁UB＝{x|x＝2}
A∩B＝{x|x＜1或x＞3}
A∩（∁UB）＝∅
（∁UA）∩B＝{x|x＝1或2＜x≤3}
【点评】本题考查的是交并补集的混合运算，要想准确得到结果必须先对集合UAB进行化简，属于基础题．
三．交、并、补集的混合运算（共3小题）
4．（2023春•雁塔区校级期末）设集合A＝{x|2＜x＜5}，B＝{x|x＞4}，则A∩（∁RB）＝（ ）
A．{x|4＜x≤5}B．{x|4＜x＜5}C．{x|2＜x＜4}D．{x|2＜x≤4}
【分析】先求出∁RB，再求A∩（∁RB）．
【解答】解：∵∁RB＝{x|x≤4}，
∴A∩（∁RB）＝{x|2＜x≤4}．
故选：D．
【点评】本题考查集合间的运算，属于基础题．
5．（2023春•青铜峡市校级期末）已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，B＝{1，2，4}，则A∪（∁UB）＝（ ）
A．{1，3，5}B．{1，3}C．{1，2，4}D．{1，2，4，5}
【分析】根据已知条件，结合补集、并集的定义，即可求解．
【解答】解：U＝{1，2，3，4，5}，B＝{1，2，4}，
则∁UB＝{3，5}，
A＝{1，3}，
则A∪（∁UB）＝{1，3，5}．
故选：A．
【点评】本题主要考查补集、并集的定义，属于基础题．
6．（2023春•南通期末）设全集U＝Z，集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则{﹣2}＝（ ）
A．A∩BB．A∪BC．A∩（∁UB）D．（∁UA）∩B
【分析】根据已知条件，结合交集、补集、并集的运算，即可求解．
【解答】解：A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，
则A∩B＝{﹣1，0，1，2}，A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，故AB错误；
A∩（∁UB）＝{﹣2}，故C正确；
（∁UA）∩B＝{3}，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查交集、补集、并集的运算，属于基础题．
四．Venn图表达集合的关系及运算（共6小题）
7．（2022秋•南平期末）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合M＝{x|x2﹣7x+12＝0}，N＝{2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．{1，3，4}B．{2，3，5}C．{2，6}D．{1，6}
【分析】根据韦恩图所表示的集合为∁U（M∪N），按照并集和补集的运算求解即可．
【解答】解：集合M＝{x|x2﹣7x+12＝0}＝{3，4}，N＝{2，3，5}，
则M∪N＝{2，3，4，5}，
则图中阴影部分表示的集合是∁U（M∪N）＝{1，6}．
故选：D．
【点评】本题主要考查并集和补集的运算，属于基础题．
8．（2022秋•金寨县校级期末）已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣1≤x≤6}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{x|3≤x≤6}B．{x|﹣1＜x≤3}C．{x|1＜x≤3}D．{x|﹣3＜x≤﹣1}
【分析】由图可得阴影部分表示（∁UB）∩A，然后用补集和交集的定义进行求解．
【解答】解：由图可得，图中阴影部分表示的集合为（∁UB）∩A，
因为A＝{x|﹣1≤x≤6}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，
所以∁UB＝{x|x≤﹣3或x≥3}，（∁UB）∩A＝{x|3≤x≤6}，
故选：A．
【点评】本题主要考查Venn图表达集合的关系及运算，考查运算求解能力，属于基础题．
9．（2022秋•锦州期末）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣2＜x≤1}，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．{﹣2，﹣1}B．{﹣2，2}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}
【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为A∩（∁RB），然后根据集合的基本运算求解即可．
【解答】解：由图象可知阴影部分对应的集合为A∩（∁RB），
∵B＝{x|﹣2＜x≤1}，∴∁RB＝{x|x≤﹣2或x＞1}，
∴A∩（∁RB）＝{﹣2，2}．
故选：B．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．
10．（2022秋•泸州期末）设全集U及集合M与N，则如图阴影部分所表示的集合为（ ）
A．M∩NB．M∪NC．∁UM∩ND．∁U（M∪N）
【分析】根据集合并集，补集的定义即可判断．
【解答】解：阴影部分所表示的集合为∁U（M∪N）．
故选：D．
【点评】本题考查集合并集，补集的定义，属于基础题．
11．（2022秋•广东期末）集合A＝{0，1，2，4，8}，B＝{0，1，2，3}，将集合A，B分别用如下图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先求出集合B，再根据图象和集合之间的关系即可得到结论．
【解答】解：集合A＝{0，1，2，4，8}，B＝{0，1，2，3}，
对于A，阴影部分表示的集合为A∩B＝{0，1，2}，元素个数为3个，故A错误，
对于B，阴影部分表示的集合为{4，8}，元素个数为2个，故B正确，
对于C，阴影部分表示的集合为{3}，元素个数为1个，故C错误，
对于D，阴影部分表示的集合为{4，8，3}，元素个数为3个，故D错误，
故选：B．
【点评】本题主要考查了Venn图表达集合的关系和运算，属于基础题．
12．（2022秋•永川区校级期末）设集合U＝R，A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|x＜2}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{x|x≥2}B．{x|x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|2≤x＜3}
【分析】根据韦恩图求出A∩（∁UB）即可．
【解答】解：由题知图中阴影部分为A∩（∁UB），
∴∁UB＝{x|x≥2}，
∴A∩（∁UB）＝{x|2≤x＜3}．
故选：D．
【点评】本题考查韦恩图与集合的运算，属于基础题．
【能力提升】
一．选择题（共3小题）
1．（2022秋•龙岗区校级期中）若全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A＝{1，2，3，5}，B＝{1，2，4，6，7，8}，则（∁UA）∪（∁UB）＝（ ）
A．∅B．{3，4，5，6，7，8，9}
C．{9}D．{1，2}
【分析】由补集与并集的概念求解，
【解答】解：由题意得∁UA＝{4，6，7，8，9}，∁UB＝{3，5，9}，（∁UA）∪（∁UB）＝{3，4，5，6，7，8，9}．
故选：B．
【点评】本题考查集合的基本运算，是基础题．
2．（2022秋•天津期中）设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{﹣2，2}，B＝{﹣2，1}，则∁U（A∪B）＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，1，2}B．{﹣2，﹣1，0}C．{﹣1，0}D．{0}
【分析】根据集合运算定义先求并集，再求补集即得．
【解答】解：因为全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{﹣2，2}，B＝{﹣2，1}，
所以A∪B＝{﹣2，1，2}，
所以∁U（A∪B）＝{﹣1，0}，
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，考查运算求解能力，属于基础题．
3．（2020•东城区模拟）某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（ ）
A．8B．7C．6D．5
【分析】设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），根据n（A∪B∪C）＝n（A）+n（B）+n（C）﹣n（A∩B）﹣n（A∩C）﹣n（B∩C）+n（A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C）可得．
【解答】解：设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），
则n（A）＝14，n（B）＝10，n（C）＝8，n（A∪B∪C）＝20，
因为n（A∪B∪C）＝n（A）+n（B）+n（C）﹣n（A∩B）﹣n（A∩C）﹣n（B∩C）+n（A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C），
所以14+10+8﹣20+n（A∩B∩C）≥3n（A∩B∩C），即n（A∩B∩C）≤＝6．
故选：C．
【点评】本题考查了Venn图表达集合的关系以及运算，属中档题．
二．多选题（共3小题）
（多选）4．（2022秋•拱墅区校级期中）已知集合A中含有6个元素，全集U＝A∪B中共有12个元素，（∁UA）∪（∁UB）中有m个元素，已知m≥8，则集合B中元素个数可得为（ ）
A．2B．6C．8D．12
【分析】利用（∁UA）∪（∁UB）＝（∁U（A∩B）有m个元素，可得A∩B中元素个数为12﹣m，进而可得18﹣x≥8，又结合A∪B中共有12个元素，可得x≥6，可得x的范围．
【解答】解：∵（∁UA）∪（∁UB）＝（∁U（A∩B）有m个元素，
又全集U＝A∪B中共有12个元素，∴A∩B中元素个数为12﹣m，
设集合B中元素个数为x，
则x+6﹣（12﹣m）＝12，得m＝18﹣x，又m≥8，
∴18﹣x≥8，∴x≤10，
又A∪B中共有12个元素，∴x≥6，
∴6≤x≤10
故选：BC．
【点评】本题考查学生掌握集合元素的互异性，掌握两集合交集及并集的意义，考查了推理的能力，属中档题．
（多选）5．（2022秋•荔湾区校级月考）设A、B、I均为非空集合，且满足A⊆B⊆I，则下列各式中正确的是（ ）
A．（∁IA）∪B＝IB．（∁IA）∪（∁IB）＝I
C．A∩（∁IB）＝∅D．（∁IA）∩（∁IB）＝∁IB
【分析】先画出文氏图，据图判断各答案的正确性，或者利用特殊元素法．
【解答】解一：∵A、B、I满足A⊆B⊆I，先画出文氏图，
根据文氏图可判断出A、C、D都是正确的，
解二：设非空集合A、B、I分别为A＝{1}，
B＝{1，2}，I＝{1，2，3}且满足A⊆B⊆I．
根据设出的三个特殊的集合A、B、I可判断出A、C、D都是正确的，
故选：ACD．
【点评】本题体现数形结合的数学思想和特殊值的方法．
（多选）6．（2021秋•屯溪区校级期中）向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人．则下列说法正确的是（ ）
A．赞成A的不赞成B的有9人
B．赞成B的不赞成A的有11人
C．对A、B都赞成的有21人
D．对A、B都不赞成的有8人
【分析】记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A，赞成事件B的学生全体为集合B．设对事件A，B都赞成的学生人数为x，列出方程能求出结果．
【解答】解：赞成A的人数为50×＝30，赞成B的人数为30+3＝33．
如图所示，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A，
赞成事件B的学生全体为集合B．
设对事件A，B都赞成的学生人数为x，
则对A，B都不赞成的学生人数为+1．赞成A而不赞成B的人数为30﹣x，
赞成B而不赞成A的人数为33﹣x．
依题意（30﹣x）+（33﹣x）+x+（+1）＝50，解得x＝21．
∴赞成A的不赞成B的有30﹣21＝9人，故A正确；
赞成B的不赞成A的有33﹣21＝12人，故B错误；
对A、B都赞成的有21人，故C正确；
对A、B都不赞成的有＝8人，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查满足条件的学生人数的求法，考查交集、并集、子集、补集、韦恩图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
三．填空题（共3小题）
7．（2020秋•天津月考）设U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2+mx＝0}，若∁UA＝{1，2}，则实数m＝ ﹣3 ．
【分析】根据全集U和∁UA，容易求出集合A，再根据已知集合A的等式判断出m的值
【解答】解：∵U＝{0，1，2，3}，∁UA＝{1，2}
∴A＝{0，3}
而∵A＝{x∈U|x2+mx＝0}，
∴0，3为x2+mx＝0的两个根
解得m＝﹣3
故答案为﹣3
【点评】本题考查集合间的关系，着重考查补集的知识点，最后考查韦达定理，求参数．属于基础题
8．（2022秋•长寿区校级期末）某城市数．理．化竞赛时，高一某班有24名学生参加数学竞赛，28名学生参加物理竞赛，19名学生参加化学竞赛，其中参加数．理．化三科竞赛的有7名，只参加数．物两科的有5名，只参加物．化两科的有3名，只参加数．化两科的有4名．若该班学生共有48名，问没有参加任何一科竞赛的学生有 3 名．
【分析】首先分析题目，发现题目已知条件太多，考虑到画图使条件简化，然后根据图形求出单独参加数理化的人数，然后把单独参加数理化的人数和参加2门参加3门竞赛的人数加在一起，即可得到参加竞赛的人数，拿总人数减去它即可得到答案．
【解答】解：画三个圆分别代表参加数学、物理、化学的人．
因为参加数、理、化三科竞赛的有7名，
只参加数、物两科的有5名，
只参加物、化两科的有3名，
只参加数．化两科的有4名．
分别填入图形中
又因为有24名学生参加数学竞赛，28名学生参加物理竞赛，19名学生参加化学竞赛．
故单独参加数学的有8人、单独参加物理的有13人，单独参加化学的有5人，
故8+13+5+5+7+4+3＝45是参加竞赛的人数，所以没参加的人数为48﹣45＝3人．
故答案为3．
【点评】此题主要考查数形结合思想在解决实际问题中的应用，题目已知条件过多，技巧性较强．同学们做此类题目要注意选择合适的解题方法．
9．（2022秋•徐汇区校级期中）集合M，N，S都是非空集合，现规定如下运算：M⊙N⊙S＝{x|x∈（M∩N）∪（N∩S）∪（S∩M）且x∉M∩N∩S}．假设集合A＝{x|a＜x＜b}，B＝{x|c＜x＜d}，C＝{x|e＜x＜f}，其中实数a，b，c，d，e，f满足：
（1）ab＜0，cd＜0；ef＜0；（2）b﹣a＝d﹣c＝f﹣e；（3）b+a＜d+c＜f+e．
计算A⊙B⊙C＝ {x|c＜x≤e或b≤x＜d} ．
【分析】根据题意得出a＜c＜e＜0＜b＜d＜f，计算A∩B、B∩C和C∩A，从而求出A⊙B⊙C．
【解答】解：因为A＝{x|a＜x＜b}，B＝{x|c＜x＜d}，C＝{x|e＜x＜f}，
所以a+b＜c+d，所以a﹣c＜d﹣b，
因为b﹣a＝d﹣c，所以a﹣c＝b﹣d，所以b﹣d＜d﹣b，所以b＜d；
同理，d＜f，所以b＜d＜f；
由（1）ab＜0，cd＜0；ef＜0；（2）b﹣a＝d﹣c＝f﹣e；（3）b+a＜d+c＜f+e；
所以a＜c＜e＜0＜b＜d＜f；
所以A∩B＝{x|c＜x＜b}，B∩C＝{x|e＜x＜d}，C∩A＝{x|e＜x＜b}；
所以A⊙B⊙C＝{x|c＜x≤e或b≤x＜d}．
故答案为：{x|c＜x≤e或b≤x＜d}．
【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了推理与判断能力，是难题．
四．解答题（共16小题）
10．（2020秋•杏花岭区校级月考）设全集U＝{2，3，a2+2a﹣3}，A＝{|2a﹣1|，2}，∁UA＝{5}，求实数a的值．
【分析】根据∁UA⊆U，可得a2+2a﹣3＝5，求出a的值，再进行验证，即可求得实数a的值．
【解答】解：∵集合U＝{2，3，a2+2a﹣3}，∁UA＝{5}，
∴a2+2a﹣3＝5，∴a＝2或﹣4．
当a＝2时，A＝{2，3}符合题意．
当a＝﹣4时，A＝{9，3}不符合题意，舍去．
故a＝2．
【点评】本题考查集合的补集运算，考查集合的关系，明确∁UA⊆U是解题的关键．
11．（2020秋•集宁区校级月考）若A＝{a，b}，B＝{x|x⊆A}，M＝{A}，求∁BM．
【分析】先分别求出集合B和M，由此能求出∁BM．
【解答】解：∵A＝{a，b}，
∴B＝{x|x⊆A}＝{∅，{a}，{b}，{a，b}}，
M＝{A}＝{{a，b}，
∴∁BM＝{{a}，{b}，∅}．
【点评】本题考查补集的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
12．（2022秋•番禺区校级期末）设集合A＝{x|3x﹣2＞1}，B＝{x|2m≤x≤m+3}．
（1）当m＝﹣1时，求A∩B，A∪B．
（2）若B⊆A，求m的取值范围．
【分析】（1）先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B，A∪B．
（2）由集合A＝{x|3x﹣2＞1}＝{x|x＞1}，B＝{x|2m≤x≤m+3}，B⊆A，当B＝∅时，2m＞m+3，当B≠∅时，，由此能求出m的取值范围．
【解答】解：（1）∵集合A＝{x|3x﹣2＞1}＝{x|x＞1}，B＝{x|2m≤x≤m+3}．
把m＝﹣1代入B中得：﹣2≤x≤2，即B＝{x|﹣2≤x≤2}，
∴A∩B＝{x|1＜x≤2}，A∪B＝{x|x≥﹣2}．
（2）∵集合A＝{x|3x﹣2＞1}＝{x|x＞1}，B＝{x|2m≤x≤m+3}，B⊆A，
∴当B＝∅时，2m＞m+3，解得m＞3，
当B≠∅时，，解得m≤3．
综上，m的取值范围是（，+∞）．
【点评】本题考查交集、并集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
13．（2022秋•桂林期末）已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|4＜x＜10}．求：
（1）A∩B；
（2）∁R（A∪B）．
【分析】（1）由A与B，求出两集合的交集即可；
（2）由A与B，求出两集合的并集，找出并集的补集即可．
【解答】解：（1）∵A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|4＜x＜10}，
∴A∩B＝{x|4＜x＜7}；
（2）∵A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|4＜x＜10}，
∴A∪B＝{x|3≤x＜10}，
则∁R（A∪B）＝{x|x＜3或x≥10}．
【点评】此题考查了交集及其运算，补集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
14．（2022秋•泰山区校级月考）设A＝{x|x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0，m∈R}，B＝{x|2x2+（3n+1）x+2＝0，n∈R}．
（1）若A∩∁RB＝∅，求m，n的值；
（2）若对∀x∈B，有x∈A，求m，n的取值范围．
【分析】（1）解不等式求出集合A，由A∩∁RB＝∅，得A⊆B，由此能求出结果．
（2）若对∀x∈B，有x∈A，则集合B⊆A，分Δ＜0，Δ＝0和Δ＞0，讨论满足条件的m，n的值，综合讨论结果，可得答案．
【解答】解：因为集合A＝{x|x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0，m∈R}，B＝{x|2x2+（3n+1）x+2＝0，n∈R}．
由x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0，得x＝2或x＝m+1，
若A∩∁RB＝∅，则A⊆B，
将x＝2代入2x2+（3n+1）x+2＝0，得n＝﹣2，
则B＝{x|2x2﹣5x+2＝0，n∈R}＝{2，}，
则m+1＝，则m＝﹣，
当A＝{2}时，m+1＝2时，得m＝1，
综上，m＝，n＝﹣2，或m＝1，n＝﹣2；
（2）若对∀x∈B，有x∈A，则B⊆A，
当Δ＝（3m+1）2﹣16＝0时，m＝，B＝{1}，m+1＝1，m＝0，
或n＝1时，B＝{﹣1}，m+1＝﹣1，m＝﹣2，当Δ＝（3n+1）2﹣16＞0时，即n＜，或n＞1时，则2∈B，由（1）得：m＝﹣，n＝﹣2；
当Δ＝（3n+1）2﹣16＜0时，即＜n＜1，B＝∅对m∈R，故成立，
综上，或或或．
【点评】本题考查集合的运算，考查补集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属中档题．
15．（2022秋•中山市校级月考）已知集合A＝{x|（2x+3）（x﹣4）≥0}，B＝{y|y＝3x+1（x＞0）}．
（1）求集合A∩B，（∁RA）∪B；
（2）若集合C＝{x|m﹣2≤x≤2m}且（∁RA）∩C＝C，求m的取值范围．
【分析】（1）化简集合A、B，根据交集与并集和补集的定义计算即可；
（2）因为（∁RA）∩C＝C，则A∩C＝∅，然后分集合C为空集与不是空集讨论，建立不等式关系即可求解．
【解答】解：集合A＝{x||（2x+3）（x﹣4）≥0}＝{x|x≤﹣或x≥4}，
B＝{y|y＝3x+1（x＞0）}＝{y|y＞2}．
（1）集合A∩B＝{x|x≥4}，
∁RA＝{x|﹣＜x＜4}，
∴（∁RA）∪B＝{x|x＞﹣}；
（2）因为（∁RA）∩C＝C，则A∩C＝∅，
当C＝∅时，m﹣2＞2m，即m＜﹣2满足题意，
当C≠∅时，，解得＜m＜2；
综上，m的取值范围是{m|m＜﹣2或＜m＜2}．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是中档题．
16．（2022秋•高淳区校级月考）设函数的定义域为集合A，集合B＝{x|x2+（2﹣2m）x+m（m﹣2）≤0}．给出下列条件①“x∈B”是“x∈A”的充分条件；②A∪B＝R；③B∩∁RA＝B．从中选一个作为已知填在横线上，并解答．
（1）若，求（∁RA）∩B；
（2）设集合A，B满足条件_____，若这样的实数m存在，求m取值范围，若不存在说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【分析】（1）根据已知条件，分别求出集合A，B，再结合交集、并集的定义，即可求解．
（2）选①，结合充分条件的定义，即可求解；
选②，结合并集的定义，列出不等式组，即可求解；
选③，集合补集、交集的定义，即可求解．
【解答】解：（1）∵，
∴x2﹣3x+2≥0，解得x≥2或x≤1，
故∁RA＝{x|1＜x＜2}，
若，则集合，
故，
∴．
（2）∵集合B＝{x|x2+（2﹣2m）x+m（m﹣2）≤0}，
∴B＝{x|m﹣2≤x≤m}，
集合A＝{x≥2或x≤1}，
选择①，∵“x∈B”是“x∈A”的充分条件，
∴B⫋A，则满足m﹣2≥2或m≤1，解得m≥4或m≤1，
∴故m的取值范围为（﹣∞，1]∪[4，+∞）；
选择②，∵A∪B＝R，
∴，解得2≤m≤3，
故m的取值范围为[2，3]；
选择③，∵∁RA＝{x|1＜x＜2}，又∵B∩∁RA＝B，
∴，解集为∅．
【点评】本题主要考查集合的运算，考查转化能力，属于中档题．
17．（2020秋•郑州期中）已知集合P＝{x|﹣2≤x≤10}，Q＝{x|1﹣m≤x≤1+m}．
（1）求集合∁RP；
（2）若P⊆Q，求实数m的取值范围；
（3）若P∩Q＝Q，求实数m的取值范围．
【分析】（1）由全集为R，以及P，求出P的补集即可；
（2）根据P为Q的子集，列出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可确定出m的范围；
（3）根据P与Q的交集为Q，分Q为空集与Q不为空集时两种情况，求出m的范围即可．
【解答】解：（1）∵P＝{x|﹣2≤x≤10}，
∴∁RP＝{x|x＜﹣2或x＞10}；
（2）∵P⊆Q，P＝{x|﹣2≤x≤10}，Q＝{x|1﹣m≤x≤1+m}，
∴，
解得：m≥9，
则实数m的取值范围是[9，+∞）；
（3）由P∩Q＝Q，得到Q⊆P，
分两种情况考虑：
①当1﹣m＞1+m，即m＜0时，Q＝∅，符合题意；
②当1﹣m≤1+m，即m≥0时，需，
解得：0≤m≤3，
综上得：m≤3，
则实数m的取值范围为（﹣∞，3]．
【点评】此题考查了补集及其运算，交集及其运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
18．（2022秋•徐汇区校级期中）已知有限集合A＝{a1，a2，…，an}（n≥2，n∈N），若集合A中任意元素ai都满足﹣1＜ai＜1，则称该集合A为收敛集合．对于收敛集合A，定义Γ变换有如下操作：从A中任取两个元素ai、aj（i≠j），由A中除了ai、aj以外的元素构成的集合记为C1，令A1＝C1∪，若集合A1还是收敛集合，则可继续实施Γ变换，得到的新集合记作A2，…，如此经过k次Γ变换后得到的新集合记作Ak．
（1）设A＝，请写出A1的所有可能的结果；
（2）设A＝{a1，a2，…，a10}是收敛集合，试判断集合A最多可进行几次Γ变换，最少可进行几次Γ变换，并说明理由；
（3）设A＝，对于集合A反复Γ变换，当最终所得集合Ak只有一个元素时，求所有的满足条件的集合Ak．
【分析】（1）由题意可知，A＝{﹣，0，}，分ai，aj为﹣，0，ai，aj为﹣，和ai，aj为0，三种情况，结合集合新定义，可得A1的所有可能结果．
（2）由收敛集合的定义推出Ak仍是收敛集合，分∈∁k，∉∁k两种情况，进行Γ变换，可得结果．
（3）先根据运算：a∽b＝，满足交换律和结合律，再取﹣和，﹣和，﹣和，﹣和，0和﹣进行a∽b＝运算，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意可知，A＝{﹣，0，}，
若取ai，aj为﹣，0，则＝＝﹣，所以A1＝{﹣，}，
若取ai，aj为﹣，，则＝＝﹣，所以A1＝{﹣，0}，
若取ai，aj为0，，则＝＝，所以A1＝{﹣，}，
综上，A1的所有可能结果有{﹣，}，{﹣，0}．
（2）对任意的收敛集合Ak﹣1＝{a1，a2，…an}（n∈N，n≥4，k∈N，k≥2），
其中两个元素ai＜1，aj＜1，都有ai2＜1，aj2＜1，
则||2﹣1＝＝
＝﹣＝﹣＜0，
即﹣1＜＜1，所以Ak仍是收敛集合，
若∈∁k，则Ak的元素个数比Ak﹣1少2个，
若∉∁k，则Ak的元素个数比Ak﹣1少1个，
所以对于含有10个元素的集合A，
若每进行一次Γ变换，得到新收敛数列比前一个减少1个元素，
则至多可进行9次Γ变换，此时A9只含有一个元素，无法进行Γ变换；
若每进行一次Γ变换，得到新收敛数列比前一个减少2个元素，
则至少可进行5次Γ变换，此时A5只含有一个元素，无法进行Γ变换；
所以最多进行9次Γ变换，最少进行5次Γ变换．
（3）由于A＝{﹣，﹣，﹣，﹣，，，，}，
对于集合A反复Γ变换，当最终所得集合Ak只有一个元素时，
对于满足a，b∈{x|﹣1＜x＜1}的实数a，b定义运算：a∽b＝，
因为a∽b＝，且b∽a＝，
所以a∽b＝b∽a，该运算满足交换律，
因为a∽（b∽c）＝a∽＝＝，
且（a∽b）∽c＝∽c＝＝，
所以a∽（b∽c）＝（a∽b）∽c，该运算满足结合律，
所以a∽b＝，运算满足交换律和结合律，
由于A＝，
先取﹣，进行a∽b＝运算，得到A1＝{0，﹣，﹣，﹣，，，}，
再取﹣，进行a∽b＝运算，得到A2＝{0，﹣，﹣，，}，
再取﹣，进行a∽b＝运算，得到A3＝{0，﹣，﹣，}，
再取﹣，进行a∽b＝运算，得到A4＝{0，﹣}，
再取0，﹣进行a∽b＝运算，得到A5＝{﹣}，
所以＝{﹣}，
综上，最终所得集合Ak只有一个元素时，所有满足条件的集合Ak＝{﹣}．
【点评】本题考查集合新定义，解题中要认真审题，理解定义，属于难题．
19．（2022秋•南开区校级期中）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{y|y＝，x∈（﹣3，0）∪（0，1）}，集合C＝{x|2x2+mx﹣8＜0}．
（1）求A∩B、A∪（∁RB）（R为全集）；
（2）若（A∩B）⊆C，求m的取值范围．
【分析】（1）求出集合B中y的范围确定出B，根据全集R求出B的补集，找出A与B的交集，求出A与B补集的并集即可；
（2）根据A与B的交集为C的子集，确定出m的范围即可．
【解答】解：（1）由B中y＝，x∈（﹣3，0）∪（0，1），得到B∈（﹣∞，﹣）∪（1，+∞），
∵A＝（﹣1，3），
∴A∩B＝（﹣1，﹣）∪（1，3），
∵全集为R，
∴∁RB＝[﹣，﹣1]，
则A∪（∁RB）＝（﹣1，3）；
（2）令f（x）＝2x2+mx﹣8，
∵C＝{x|2x2+mx﹣8＜0}，A∩B＝（﹣1，﹣）∪（1，3），且（A∩B）⊆C，
∴，
解得：﹣6≤m≤﹣．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
20．（2022秋•沈阳期中）已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A＝{x∈N|1＜x≤4}，B＝{x∈R|x2﹣3x+2＝0}．
（1）用列举法表示集合A与B；
（2）求A∩B及∁U（A∪B）．
【分析】（1）列举出A与B即可；
（2）求出A与B的交集，以及A与B并集的补集即可．
【解答】解：（1）集合A＝{2，3，4}，B＝{1，2}；
（2）A∩B＝{2}；A∪B＝{1，2，3，4}，
∵全集U＝{0，1，2，3，4，5，6}，
∴∁U（A∪B）＝{0，5，6}．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
21．（2022秋•高新区校级月考）已知集合A＝{x|2a+1＜x＜3a﹣5}，集合B＝{x|x2﹣13x﹣14＞0}．分别根据下列条件求实数a的取值范围．
（1）A∩B＝∅
（2）A⊆（A∩B）
【分析】（1）根据A∩B＝∅，得出﹣1≤2a+1≤x≤3a﹣5≤16，由此求得a的取值范围；
（2）利用分类讨论，建立不等式组，从而求出实数a的取值范围．
【解答】解：集合A＝{x|2a+1＜x＜3a﹣5}，集合B＝{x|x2﹣13x﹣14＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞14}；
（1）若A∩B＝∅，则﹣1≤2a+1≤x≤3a﹣5≤14或2a+1≥3a﹣5，
即，或2a+1≥3a﹣5，
解得，或a≤6，
即6＜a≤，或a≤6；
综上知，a的取值范围是a≤；
（2）①当2a+1＜x＜3a﹣5≤﹣1，
即2a+1＜3a﹣5，且3a﹣5≤﹣1时，解得a＞6，且a≤，此时无解；
②当14≤2a+1＜x＜3a﹣5，
即14≤2a+1，且2a+1＜3a﹣5时，解得a≥6.5且a＞6，此时a≥6.5；
③当A＝∅时，即2a+1≥3a﹣5，即为a≤6也成立，
综上知，a的取值范围是（﹣∞，6]∪[6.5，+∞）．
【点评】本题考查了集合关系中的参数取值问题，也考查了运算与求解能力，是难题．
22．（2022秋•井冈山市期末）已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＝m+1，m∈A}．
（Ⅰ）求图中阴影部分表示的集合C；
（Ⅱ）若非空集合D＝{x|4﹣a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），求实数a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）根据条件求出集合A，B结合Venn图即可求图中阴影部分表示的集合C；
（Ⅱ）根据集合关系进行转化求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＝m+1，m∈A}．
所以B＝{x|2≤x≤4}，
根据题意，由图可得：C＝A∩（∁UB），
因为B＝{x|2≤x≤4}，则∁UB＝{x|x＞4或x＜2}，
而A＝{x|1≤x≤3}，则C＝A∩（∁UB）＝{x|1≤x＜2}；
（Ⅱ）因为集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2≤x≤4}，
所以A∪B＝{x|1≤x≤4}，
若非空集合D＝{x|4﹣a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），
则有，
解得2＜a≤3，
即实数a的取值范围为（2，3]．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
23．（2022秋•秦州区校级期末）已知集合A＝{x|2x2﹣5x﹣12≥0}，B＝{y|y＝3x+1（x＞0）}．
（1）求集合A∩B，（∁RA）∪B；
（2）若集合C＝{x|m﹣2≤x≤2m}且（∁RA）∩C＝C，求m的取值范围．
【分析】（1）化简集合A、B，根据交集与并集和补集的定义计算即可；
（2）根据题意（∁RA）∩C＝C知C⊆∁RA，讨论C＝∅和C≠∅时，分别求出m的取值范围．
【解答】解：集合A＝{x|2x2﹣5x﹣12≥0}＝{x|x≤﹣或x≥4}，
B＝{y|y＝3x+1（x＞0）}＝{y|y＞2}．
（1）集合A∩B＝{x|x≥4}，
∁RA＝{x|﹣＜x＜4}，
∴（∁RA）∪B＝{x|x＞﹣}；
（2）若集合C＝{x|m﹣2≤x≤2m}，且（∁RA）∩C＝C，
∴C⊆∁RA，
∴，解得＜m＜2；
当C＝∅时，m﹣2＞2m，解得∴m＜﹣2；
综上，m的取值范围是m＜﹣2或＜m＜2．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是中档题．
24．在某次数学竞赛中共有甲、乙、丙三题，共25人参加竞赛，每个学生至少做对一题．在所有没解出甲题的同学中，解出乙题的人数是解出丙题的人数的2倍；解出甲题的人数比余下的人数多1人；只解出一题的同学中，有一半没解出甲题，问共有多少同学解出乙题？
【分析】由题意列出等式：a+b+c+d+e+f+g＝25①；b+f＝2（c+f）②；a＝d+e+g+1③；a＝b+c④．联立①②③④解方程组即可．
【解答】解：设解出甲、乙、丙三题的学生的集合分别为A、B、C，并用三个圆表示之，
则重叠部分表示同时解出两题或三题的学生的集合，其人数分别以a，b，c，d，e，f，g表示．
由于每个同学至少选作一题，故a+b+c+d+e+f+g＝25①；
由于没有解出甲题的学生中，解出乙题的人数是解出丙题的人数的2倍，故b+f＝2（c+f）②；
由于解出甲题的人数比余下的人数多1人，故a＝d+e+g+1③
由于只解出一题的学生中，有一半没有解出甲题，故a＝b+c④
联立①②③④，可得b＝6
所以共有6个同学解出乙题．
【点评】本题考查了集合内的元素的个数的问题，讨论很复杂，要细心，属于中档题．
25．为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支测绘队，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中有许多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有一些人三项工作都参加了，请问这个测绘队至少有多少人？
【分析】借助韦恩图能求得测绘队总人数最少是多少．
【解答】解：设集合A＝{x|x是参加测量的学生}，B＝{x|x是参加计算的学生}，
C＝{x|x是参加绘图的学生}，
则由已知可得如下韦恩图，
∴card（A∪B∪C）＝10+x+8﹣x+x+8+x+6﹣x+4﹣x+6+x＝42+x，
∵2≤x≤4，
故所需要的最少的总人数为44人．
答：这个测绘队至少有44人．
【点评】应用题考查已成为数学高考的热点问题，它主要考查学生的数学意识和数学建模能力．如何把实际问题看成数学问题，看成什么数学问题是数学建模的关键．教学过程中，帮助学生树立运用数学模型的思想，对于培养学生整体处理问题的能力和创造性处理问题的能力，是大有裨益的．
一．补集及其运算（共2小题）
1．（2023春•丹阳市校级月考）设集合A＝{x|x≤3}，B＝{x|x≤1}，则∁AB＝（ ）
A．（1，3]B．[1，3）C．[1，3]D．（﹣∞，3]
2．（2023春•蓬江区校级月考）已知集合，则∁RA＝（ ）
A．{x|1＜x＜2}B．{x|1≤x＜2}C．{x|x＜1或x＞2}D．{x|x≤1或x＞2}
二．全集及其运算（共1小题）
3．（2021秋•普宁市校级月考）已知全集U＝{x|x2﹣3x+2≥0}，A＝{x||x﹣2|＞1}，B＝，求∁UA，∁UB，A∩B，A∩（∁UB），（∁UA）∩B．
三．交、并、补集的混合运算（共3小题）
4．（2023春•雁塔区校级期末）设集合A＝{x|2＜x＜5}，B＝{x|x＞4}，则A∩（∁RB）＝（ ）
A．{x|4＜x≤5}B．{x|4＜x＜5}C．{x|2＜x＜4}D．{x|2＜x≤4}
5．（2023春•青铜峡市校级期末）已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，B＝{1，2，4}，则A∪（∁UB）＝（ ）
A．{1，3，5}B．{1，3}C．{1，2，4}D．{1，2，4，5}
6．（2023春•南通期末）设全集U＝Z，集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则{﹣2}＝（ ）
A．A∩BB．A∪BC．A∩（∁UB）D．（∁UA）∩B
四．Venn图表达集合的关系及运算（共6小题）
7．（2022秋•南平期末）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合M＝{x|x2﹣7x+12＝0}，N＝{2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．{1，3，4}B．{2，3，5}C．{2，6}D．{1，6}
8．（2022秋•金寨县校级期末）已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣1≤x≤6}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{x|3≤x≤6}B．{x|﹣1＜x≤3}C．{x|1＜x≤3}D．{x|﹣3＜x≤﹣1}
9．（2022秋•锦州期末）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣2＜x≤1}，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．{﹣2，﹣1}B．{﹣2，2}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}
10．（2022秋•泸州期末）设全集U及集合M与N，则如图阴影部分所表示的集合为（ ）
A．M∩NB．M∪NC．∁UM∩ND．∁U（M∪N）
11．（2022秋•广东期末）集合A＝{0，1，2，4，8}，B＝{0，1，2，3}，将集合A，B分别用如下图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2022秋•永川区校级期末）设集合U＝R，A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|x＜2}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{x|x≥2}B．{x|x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|2≤x＜3}
【能力提升】
一．选择题（共3小题）
1．（2022秋•龙岗区校级期中）若全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A＝{1，2，3，5}，B＝{1，2，4，6，7，8}，则（∁UA）∪（∁UB）＝（ ）
A．∅B．{3，4，5，6，7，8，9}
C．{9}D．{1，2}
2．（2022秋•天津期中）设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{﹣2，2}，B＝{﹣2，1}，则∁U（A∪B）＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，1，2}B．{﹣2，﹣1，0}C．{﹣1，0}D．{0}
3．（2020•东城区模拟）某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（ ）
A．8B．7C．6D．5
二．多选题（共3小题）
（多选）4．（2022秋•拱墅区校级期中）已知集合A中含有6个元素，全集U＝A∪B中共有12个元素，（∁UA）∪（∁UB）中有m个元素，已知m≥8，则集合B中元素个数可得为（ ）
A．2B．6C．8D．12
（多选）5．（2022秋•荔湾区校级月考）设A、B、I均为非空集合，且满足A⊆B⊆I，则下列各式中正确的是（ ）
A．（∁IA）∪B＝IB．（∁IA）∪（∁IB）＝I
C．A∩（∁IB）＝∅D．（∁IA）∩（∁IB）＝∁IB
（多选）6．（2021秋•屯溪区校级期中）向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人．则下列说法正确的是（ ）
A．赞成A的不赞成B的有9人
B．赞成B的不赞成A的有11人
C．对A、B都赞成的有21人
D．对A、B都不赞成的有8人
三．填空题（共3小题）
7．（2020秋•天津月考）设U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2+mx＝0}，若∁UA＝{1，2}，则实数m＝ ．
8．（2022秋•长寿区校级期末）某城市数．理．化竞赛时，高一某班有24名学生参加数学竞赛，28名学生参加物理竞赛，19名学生参加化学竞赛，其中参加数．理．化三科竞赛的有7名，只参加数．物两科的有5名，只参加物．化两科的有3名，只参加数．化两科的有4名．若该班学生共有48名，问没有参加任何一科竞赛的学生有 名．
9．（2022秋•徐汇区校级期中）集合M，N，S都是非空集合，现规定如下运算：M⊙N⊙S＝{x|x∈（M∩N）∪（N∩S）∪（S∩M）且x∉M∩N∩S}．假设集合A＝{x|a＜x＜b}，B＝{x|c＜x＜d}，C＝{x|e＜x＜f}，其中实数a，b，c，d，e，f满足：
（1）ab＜0，cd＜0；ef＜0；（2）b﹣a＝d﹣c＝f﹣e；（3）b+a＜d+c＜f+e．
计算A⊙B⊙C＝ ．
四．解答题（共16小题）
10．（2020秋•杏花岭区校级月考）设全集U＝{2，3，a2+2a﹣3}，A＝{|2a﹣1|，2}，∁UA＝{5}，求实数a的值．
11．（2020秋•集宁区校级月考）若A＝{a，b}，B＝{x|x⊆A}，M＝{A}，求∁BM．
12．（2022秋•番禺区校级期末）设集合A＝{x|3x﹣2＞1}，B＝{x|2m≤x≤m+3}．
（1）当m＝﹣1时，求A∩B，A∪B．
（2）若B⊆A，求m的取值范围．
13．（2022秋•桂林期末）已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|4＜x＜10}．求：
（1）A∩B；
（2）∁R（A∪B）．
14．（2022秋•泰山区校级月考）设A＝{x|x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0，m∈R}，B＝{x|2x2+（3n+1）x+2＝0，n∈R}．
（1）若A∩∁RB＝∅，求m，n的值；
（2）若对∀x∈B，有x∈A，求m，n的取值范围．
15．（2022秋•中山市校级月考）已知集合A＝{x|（2x+3）（x﹣4）≥0}，B＝{y|y＝3x+1（x＞0）}．
（1）求集合A∩B，（∁RA）∪B；
（2）若集合C＝{x|m﹣2≤x≤2m}且（∁RA）∩C＝C，求m的取值范围．
16．（2022秋•高淳区校级月考）设函数的定义域为集合A，集合B＝{x|x2+（2﹣2m）x+m（m﹣2）≤0}．给出下列条件①“x∈B”是“x∈A”的充分条件；②A∪B＝R；③B∩∁RA＝B．从中选一个作为已知填在横线上，并解答．
（1）若，求（∁RA）∩B；
（2）设集合A，B满足条件_____，若这样的实数m存在，求m取值范围，若不存在说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
17．（2020秋•郑州期中）已知集合P＝{x|﹣2≤x≤10}，Q＝{x|1﹣m≤x≤1+m}．
（1）求集合∁RP；
（2）若P⊆Q，求实数m的取值范围；
（3）若P∩Q＝Q，求实数m的取值范围．
18．（2022秋•徐汇区校级期中）已知有限集合A＝{a1，a2，…，an}（n≥2，n∈N），若集合A中任意元素ai都满足﹣1＜ai＜1，则称该集合A为收敛集合．对于收敛集合A，定义Γ变换有如下操作：从A中任取两个元素ai、aj（i≠j），由A中除了ai、aj以外的元素构成的集合记为C1，令A1＝C1∪，若集合A1还是收敛集合，则可继续实施Γ变换，得到的新集合记作A2，…，如此经过k次Γ变换后得到的新集合记作Ak．
（1）设A＝，请写出A1的所有可能的结果；
（2）设A＝{a1，a2，…，a10}是收敛集合，试判断集合A最多可进行几次Γ变换，最少可进行几次Γ变换，并说明理由；
（3）设A＝，对于集合A反复Γ变换，当最终所得集合Ak只有一个元素时，求所有的满足条件的集合Ak．
19．（2022秋•南开区校级期中）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{y|y＝，x∈（﹣3，0）∪（0，1）}，集合C＝{x|2x2+mx﹣8＜0}．
（1）求A∩B、A∪（∁RB）（R为全集）；
（2）若（A∩B）⊆C，求m的取值范围．
20．（2022秋•沈阳期中）已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A＝{x∈N|1＜x≤4}，B＝{x∈R|x2﹣3x+2＝0}．
（1）用列举法表示集合A与B；
（2）求A∩B及∁U（A∪B）．
21．（2022秋•高新区校级月考）已知集合A＝{x|2a+1＜x＜3a﹣5}，集合B＝{x|x2﹣13x﹣14＞0}．分别根据下列条件求实数a的取值范围．
（1）A∩B＝∅
（2）A⊆（A∩B）
22．（2022秋•井冈山市期末）已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＝m+1，m∈A}．
（Ⅰ）求图中阴影部分表示的集合C；
（Ⅱ）若非空集合D＝{x|4﹣a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），求实数a的取值范围．
23．（2022秋•秦州区校级期末）已知集合A＝{x|2x2﹣5x﹣12≥0}，B＝{y|y＝3x+1（x＞0）}．
（1）求集合A∩B，（∁RA）∪B；
（2）若集合C＝{x|m﹣2≤x≤2m}且（∁RA）∩C＝C，求m的取值范围．
24．在某次数学竞赛中共有甲、乙、丙三题，共25人参加竞赛，每个学生至少做对一题．在所有没解出甲题的同学中，解出乙题的人数是解出丙题的人数的2倍；解出甲题的人数比余下的人数多1人；只解出一题的同学中，有一半没解出甲题，问共有多少同学解出乙题？
25．为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支测绘队，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中有许多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有一些人三项工作都参加了，请问这个测绘队至少有多少人？
1.3全集与补集 (第2课时）（4种题型分类基础练+能力提升练）
【夯实基础】
一．补集及其运算（共2小题）
1．（2023春•丹阳市校级月考）设集合A＝{x|x≤3}，B＝{x|x≤1}，则∁AB＝（ ）
A．（1，3]B．[1，3）C．[1，3]D．（﹣∞，3]
【分析】根据条件，利用集合的运算即可求出结果．
【解答】解：因为集合A＝{x|x≤3}，B＝{x|x≤1}，
所以∁AB＝（1，3]．
故选：A．
【点评】本题主要考查补集及其运算，属于基础题．
2．（2023春•蓬江区校级月考）已知集合，则∁RA＝（ ）
A．{x|1＜x＜2}B．{x|1≤x＜2}C．{x|x＜1或x＞2}D．{x|x≤1或x＞2}
【分析】先解分式不等式得集合A，再根据补集的定义求解即可．
【解答】解：由，得或，解得x≥2或x＜1，即A＝{x|x＜1或x≥2}，
故∁UA＝{x|1≤x＜2}．
故选：B．
【点评】本题主要考查补集及其运算，属于基础题．
二．全集及其运算（共1小题）
3．（2021秋•普宁市校级月考）已知全集U＝{x|x2﹣3x+2≥0}，A＝{x||x﹣2|＞1}，B＝，求∁UA，∁UB，A∩B，A∩（∁UB），（∁UA）∩B．
【分析】先对集合U，A，B分别进行化简，得到最简形式，然后就很容易进行关系的判断．
【解答】解：由U＝{x|x2﹣3x+2≥0}得：U＝{x|x≤1或x≥2}
由A＝{x||x﹣2|＞1}得，A＝{x|x＜1或x＞3}
由B＝得，B＝{x|x≤1或x＞2}
∴∁UA＝{x|x＝1或2≤x≤3}
∁UB＝{x|x＝2}
A∩B＝{x|x＜1或x＞3}
A∩（∁UB）＝∅
（∁UA）∩B＝{x|x＝1或2＜x≤3}
【点评】本题考查的是交并补集的混合运算，要想准确得到结果必须先对集合UAB进行化简，属于基础题．
三．交、并、补集的混合运算（共3小题）
4．（2023春•雁塔区校级期末）设集合A＝{x|2＜x＜5}，B＝{x|x＞4}，则A∩（∁RB）＝（ ）
A．{x|4＜x≤5}B．{x|4＜x＜5}C．{x|2＜x＜4}D．{x|2＜x≤4}
【分析】先求出∁RB，再求A∩（∁RB）．
【解答】解：∵∁RB＝{x|x≤4}，
∴A∩（∁RB）＝{x|2＜x≤4}．
故选：D．
【点评】本题考查集合间的运算，属于基础题．
5．（2023春•青铜峡市校级期末）已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3}，B＝{1，2，4}，则A∪（∁UB）＝（ ）
A．{1，3，5}B．{1，3}C．{1，2，4}D．{1，2，4，5}
【分析】根据已知条件，结合补集、并集的定义，即可求解．
【解答】解：U＝{1，2，3，4，5}，B＝{1，2，4}，
则∁UB＝{3，5}，
A＝{1，3}，
则A∪（∁UB）＝{1，3，5}．
故选：A．
【点评】本题主要考查补集、并集的定义，属于基础题．
6．（2023春•南通期末）设全集U＝Z，集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则{﹣2}＝（ ）
A．A∩BB．A∪BC．A∩（∁UB）D．（∁UA）∩B
【分析】根据已知条件，结合交集、补集、并集的运算，即可求解．
【解答】解：A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，
则A∩B＝{﹣1，0，1，2}，A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，故AB错误；
A∩（∁UB）＝{﹣2}，故C正确；
（∁UA）∩B＝{3}，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查交集、补集、并集的运算，属于基础题．
四．Venn图表达集合的关系及运算（共6小题）
7．（2022秋•南平期末）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合M＝{x|x2﹣7x+12＝0}，N＝{2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．{1，3，4}B．{2，3，5}C．{2，6}D．{1，6}
【分析】根据韦恩图所表示的集合为∁U（M∪N），按照并集和补集的运算求解即可．
【解答】解：集合M＝{x|x2﹣7x+12＝0}＝{3，4}，N＝{2，3，5}，
则M∪N＝{2，3，4，5}，
则图中阴影部分表示的集合是∁U（M∪N）＝{1，6}．
故选：D．
【点评】本题主要考查并集和补集的运算，属于基础题．
8．（2022秋•金寨县校级期末）已知全集U＝R，集合A＝{x|﹣1≤x≤6}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{x|3≤x≤6}B．{x|﹣1＜x≤3}C．{x|1＜x≤3}D．{x|﹣3＜x≤﹣1}
【分析】由图可得阴影部分表示（∁UB）∩A，然后用补集和交集的定义进行求解．
【解答】解：由图可得，图中阴影部分表示的集合为（∁UB）∩A，
因为A＝{x|﹣1≤x≤6}，B＝{x|﹣3＜x＜3}，
所以∁UB＝{x|x≤﹣3或x≥3}，（∁UB）∩A＝{x|3≤x≤6}，
故选：A．
【点评】本题主要考查Venn图表达集合的关系及运算，考查运算求解能力，属于基础题．
9．（2022秋•锦州期末）已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|﹣2＜x≤1}，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．{﹣2，﹣1}B．{﹣2，2}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}
【分析】由图象可知阴影部分对应的集合为A∩（∁RB），然后根据集合的基本运算求解即可．
【解答】解：由图象可知阴影部分对应的集合为A∩（∁RB），
∵B＝{x|﹣2＜x≤1}，∴∁RB＝{x|x≤﹣2或x＞1}，
∴A∩（∁RB）＝{﹣2，2}．
故选：B．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．
10．（2022秋•泸州期末）设全集U及集合M与N，则如图阴影部分所表示的集合为（ ）
A．M∩NB．M∪NC．∁UM∩ND．∁U（M∪N）
【分析】根据集合并集，补集的定义即可判断．
【解答】解：阴影部分所表示的集合为∁U（M∪N）．
故选：D．
【点评】本题考查集合并集，补集的定义，属于基础题．
11．（2022秋•广东期末）集合A＝{0，1，2，4，8}，B＝{0，1，2，3}，将集合A，B分别用如下图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先求出集合B，再根据图象和集合之间的关系即可得到结论．
【解答】解：集合A＝{0，1，2，4，8}，B＝{0，1，2，3}，
对于A，阴影部分表示的集合为A∩B＝{0，1，2}，元素个数为3个，故A错误，
对于B，阴影部分表示的集合为{4，8}，元素个数为2个，故B正确，
对于C，阴影部分表示的集合为{3}，元素个数为1个，故C错误，
对于D，阴影部分表示的集合为{4，8，3}，元素个数为3个，故D错误，
故选：B．
【点评】本题主要考查了Venn图表达集合的关系和运算，属于基础题．
12．（2022秋•永川区校级期末）设集合U＝R，A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|x＜2}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{x|x≥2}B．{x|x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|2≤x＜3}
【分析】根据韦恩图求出A∩（∁UB）即可．
【解答】解：由题知图中阴影部分为A∩（∁UB），
∴∁UB＝{x|x≥2}，
∴A∩（∁UB）＝{x|2≤x＜3}．
故选：D．
【点评】本题考查韦恩图与集合的运算，属于基础题．
【能力提升】
一．选择题（共3小题）
1．（2022秋•龙岗区校级期中）若全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A＝{1，2，3，5}，B＝{1，2，4，6，7，8}，则（∁UA）∪（∁UB）＝（ ）
A．∅B．{3，4，5，6，7，8，9}
C．{9}D．{1，2}
【分析】由补集与并集的概念求解，
【解答】解：由题意得∁UA＝{4，6，7，8，9}，∁UB＝{3，5，9}，（∁UA）∪（∁UB）＝{3，4，5，6，7，8，9}．
故选：B．
【点评】本题考查集合的基本运算，是基础题．
2．（2022秋•天津期中）设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{﹣2，2}，B＝{﹣2，1}，则∁U（A∪B）＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，1，2}B．{﹣2，﹣1，0}C．{﹣1，0}D．{0}
【分析】根据集合运算定义先求并集，再求补集即得．
【解答】解：因为全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{﹣2，2}，B＝{﹣2，1}，
所以A∪B＝{﹣2，1，2}，
所以∁U（A∪B）＝{﹣1，0}，
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，考查运算求解能力，属于基础题．
3．（2020•东城区模拟）某学校高三教师周一、周二、周三开车上班的人数分别是8，10，14，若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是（ ）
A．8B．7C．6D．5
【分析】设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），根据n（A∪B∪C）＝n（A）+n（B）+n（C）﹣n（A∩B）﹣n（A∩C）﹣n（B∩C）+n（A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C）可得．
【解答】解：设周三，周二，周一开车上班的职工组成的集合分别为A，B，C，集合A，B，C中元素个数分别为n（A），n（B），n（C），
则n（A）＝14，n（B）＝10，n（C）＝8，n（A∪B∪C）＝20，
因为n（A∪B∪C）＝n（A）+n（B）+n（C）﹣n（A∩B）﹣n（A∩C）﹣n（B∩C）+n（A∩B∩C），且n（A∩B）≥n（A∩B∩C），n（A∩C）≥n（A∩B∩C），n（B∩C）≥n（A∩B∩C），
所以14+10+8﹣20+n（A∩B∩C）≥3n（A∩B∩C），即n（A∩B∩C）≤＝6．
故选：C．
【点评】本题考查了Venn图表达集合的关系以及运算，属中档题．
二．多选题（共3小题）
（多选）4．（2022秋•拱墅区校级期中）已知集合A中含有6个元素，全集U＝A∪B中共有12个元素，（∁UA）∪（∁UB）中有m个元素，已知m≥8，则集合B中元素个数可得为（ ）
A．2B．6C．8D．12
【分析】利用（∁UA）∪（∁UB）＝（∁U（A∩B）有m个元素，可得A∩B中元素个数为12﹣m，进而可得18﹣x≥8，又结合A∪B中共有12个元素，可得x≥6，可得x的范围．
【解答】解：∵（∁UA）∪（∁UB）＝（∁U（A∩B）有m个元素，
又全集U＝A∪B中共有12个元素，∴A∩B中元素个数为12﹣m，
设集合B中元素个数为x，
则x+6﹣（12﹣m）＝12，得m＝18﹣x，又m≥8，
∴18﹣x≥8，∴x≤10，
又A∪B中共有12个元素，∴x≥6，
∴6≤x≤10
故选：BC．
【点评】本题考查学生掌握集合元素的互异性，掌握两集合交集及并集的意义，考查了推理的能力，属中档题．
（多选）5．（2022秋•荔湾区校级月考）设A、B、I均为非空集合，且满足A⊆B⊆I，则下列各式中正确的是（ ）
A．（∁IA）∪B＝IB．（∁IA）∪（∁IB）＝I
C．A∩（∁IB）＝∅D．（∁IA）∩（∁IB）＝∁IB
【分析】先画出文氏图，据图判断各答案的正确性，或者利用特殊元素法．
【解答】解一：∵A、B、I满足A⊆B⊆I，先画出文氏图，
根据文氏图可判断出A、C、D都是正确的，
解二：设非空集合A、B、I分别为A＝{1}，
B＝{1，2}，I＝{1，2，3}且满足A⊆B⊆I．
根据设出的三个特殊的集合A、B、I可判断出A、C、D都是正确的，
故选：ACD．
【点评】本题体现数形结合的数学思想和特殊值的方法．
（多选）6．（2021秋•屯溪区校级期中）向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人．则下列说法正确的是（ ）
A．赞成A的不赞成B的有9人
B．赞成B的不赞成A的有11人
C．对A、B都赞成的有21人
D．对A、B都不赞成的有8人
【分析】记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A，赞成事件B的学生全体为集合B．设对事件A，B都赞成的学生人数为x，列出方程能求出结果．
【解答】解：赞成A的人数为50×＝30，赞成B的人数为30+3＝33．
如图所示，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A，
赞成事件B的学生全体为集合B．
设对事件A，B都赞成的学生人数为x，
则对A，B都不赞成的学生人数为+1．赞成A而不赞成B的人数为30﹣x，
赞成B而不赞成A的人数为33﹣x．
依题意（30﹣x）+（33﹣x）+x+（+1）＝50，解得x＝21．
∴赞成A的不赞成B的有30﹣21＝9人，故A正确；
赞成B的不赞成A的有33﹣21＝12人，故B错误；
对A、B都赞成的有21人，故C正确；
对A、B都不赞成的有＝8人，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查满足条件的学生人数的求法，考查交集、并集、子集、补集、韦恩图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
三．填空题（共3小题）
7．（2020秋•天津月考）设U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2+mx＝0}，若∁UA＝{1，2}，则实数m＝ ﹣3 ．
【分析】根据全集U和∁UA，容易求出集合A，再根据已知集合A的等式判断出m的值
【解答】解：∵U＝{0，1，2，3}，∁UA＝{1，2}
∴A＝{0，3}
而∵A＝{x∈U|x2+mx＝0}，
∴0，3为x2+mx＝0的两个根
解得m＝﹣3
故答案为﹣3
【点评】本题考查集合间的关系，着重考查补集的知识点，最后考查韦达定理，求参数．属于基础题
8．（2022秋•长寿区校级期末）某城市数．理．化竞赛时，高一某班有24名学生参加数学竞赛，28名学生参加物理竞赛，19名学生参加化学竞赛，其中参加数．理．化三科竞赛的有7名，只参加数．物两科的有5名，只参加物．化两科的有3名，只参加数．化两科的有4名．若该班学生共有48名，问没有参加任何一科竞赛的学生有 3 名．
【分析】首先分析题目，发现题目已知条件太多，考虑到画图使条件简化，然后根据图形求出单独参加数理化的人数，然后把单独参加数理化的人数和参加2门参加3门竞赛的人数加在一起，即可得到参加竞赛的人数，拿总人数减去它即可得到答案．
【解答】解：画三个圆分别代表参加数学、物理、化学的人．
因为参加数、理、化三科竞赛的有7名，
只参加数、物两科的有5名，
只参加物、化两科的有3名，
只参加数．化两科的有4名．
分别填入图形中
又因为有24名学生参加数学竞赛，28名学生参加物理竞赛，19名学生参加化学竞赛．
故单独参加数学的有8人、单独参加物理的有13人，单独参加化学的有5人，
故8+13+5+5+7+4+3＝45是参加竞赛的人数，所以没参加的人数为48﹣45＝3人．
故答案为3．
【点评】此题主要考查数形结合思想在解决实际问题中的应用，题目已知条件过多，技巧性较强．同学们做此类题目要注意选择合适的解题方法．
9．（2022秋•徐汇区校级期中）集合M，N，S都是非空集合，现规定如下运算：M⊙N⊙S＝{x|x∈（M∩N）∪（N∩S）∪（S∩M）且x∉M∩N∩S}．假设集合A＝{x|a＜x＜b}，B＝{x|c＜x＜d}，C＝{x|e＜x＜f}，其中实数a，b，c，d，e，f满足：
（1）ab＜0，cd＜0；ef＜0；（2）b﹣a＝d﹣c＝f﹣e；（3）b+a＜d+c＜f+e．
计算A⊙B⊙C＝ {x|c＜x≤e或b≤x＜d} ．
【分析】根据题意得出a＜c＜e＜0＜b＜d＜f，计算A∩B、B∩C和C∩A，从而求出A⊙B⊙C．
【解答】解：因为A＝{x|a＜x＜b}，B＝{x|c＜x＜d}，C＝{x|e＜x＜f}，
所以a+b＜c+d，所以a﹣c＜d﹣b，
因为b﹣a＝d﹣c，所以a﹣c＝b﹣d，所以b﹣d＜d﹣b，所以b＜d；
同理，d＜f，所以b＜d＜f；
由（1）ab＜0，cd＜0；ef＜0；（2）b﹣a＝d﹣c＝f﹣e；（3）b+a＜d+c＜f+e；
所以a＜c＜e＜0＜b＜d＜f；
所以A∩B＝{x|c＜x＜b}，B∩C＝{x|e＜x＜d}，C∩A＝{x|e＜x＜b}；
所以A⊙B⊙C＝{x|c＜x≤e或b≤x＜d}．
故答案为：{x|c＜x≤e或b≤x＜d}．
【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，也考查了推理与判断能力，是难题．
四．解答题（共16小题）
10．（2020秋•杏花岭区校级月考）设全集U＝{2，3，a2+2a﹣3}，A＝{|2a﹣1|，2}，∁UA＝{5}，求实数a的值．
【分析】根据∁UA⊆U，可得a2+2a﹣3＝5，求出a的值，再进行验证，即可求得实数a的值．
【解答】解：∵集合U＝{2，3，a2+2a﹣3}，∁UA＝{5}，
∴a2+2a﹣3＝5，∴a＝2或﹣4．
当a＝2时，A＝{2，3}符合题意．
当a＝﹣4时，A＝{9，3}不符合题意，舍去．
故a＝2．
【点评】本题考查集合的补集运算，考查集合的关系，明确∁UA⊆U是解题的关键．
11．（2020秋•集宁区校级月考）若A＝{a，b}，B＝{x|x⊆A}，M＝{A}，求∁BM．
【分析】先分别求出集合B和M，由此能求出∁BM．
【解答】解：∵A＝{a，b}，
∴B＝{x|x⊆A}＝{∅，{a}，{b}，{a，b}}，
M＝{A}＝{{a，b}，
∴∁BM＝{{a}，{b}，∅}．
【点评】本题考查补集的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
12．（2022秋•番禺区校级期末）设集合A＝{x|3x﹣2＞1}，B＝{x|2m≤x≤m+3}．
（1）当m＝﹣1时，求A∩B，A∪B．
（2）若B⊆A，求m的取值范围．
【分析】（1）先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B，A∪B．
（2）由集合A＝{x|3x﹣2＞1}＝{x|x＞1}，B＝{x|2m≤x≤m+3}，B⊆A，当B＝∅时，2m＞m+3，当B≠∅时，，由此能求出m的取值范围．
【解答】解：（1）∵集合A＝{x|3x﹣2＞1}＝{x|x＞1}，B＝{x|2m≤x≤m+3}．
把m＝﹣1代入B中得：﹣2≤x≤2，即B＝{x|﹣2≤x≤2}，
∴A∩B＝{x|1＜x≤2}，A∪B＝{x|x≥﹣2}．
（2）∵集合A＝{x|3x﹣2＞1}＝{x|x＞1}，B＝{x|2m≤x≤m+3}，B⊆A，
∴当B＝∅时，2m＞m+3，解得m＞3，
当B≠∅时，，解得m≤3．
综上，m的取值范围是（，+∞）．
【点评】本题考查交集、并集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
13．（2022秋•桂林期末）已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|4＜x＜10}．求：
（1）A∩B；
（2）∁R（A∪B）．
【分析】（1）由A与B，求出两集合的交集即可；
（2）由A与B，求出两集合的并集，找出并集的补集即可．
【解答】解：（1）∵A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|4＜x＜10}，
∴A∩B＝{x|4＜x＜7}；
（2）∵A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|4＜x＜10}，
∴A∪B＝{x|3≤x＜10}，
则∁R（A∪B）＝{x|x＜3或x≥10}．
【点评】此题考查了交集及其运算，补集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
14．（2022秋•泰山区校级月考）设A＝{x|x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0，m∈R}，B＝{x|2x2+（3n+1）x+2＝0，n∈R}．
（1）若A∩∁RB＝∅，求m，n的值；
（2）若对∀x∈B，有x∈A，求m，n的取值范围．
【分析】（1）解不等式求出集合A，由A∩∁RB＝∅，得A⊆B，由此能求出结果．
（2）若对∀x∈B，有x∈A，则集合B⊆A，分Δ＜0，Δ＝0和Δ＞0，讨论满足条件的m，n的值，综合讨论结果，可得答案．
【解答】解：因为集合A＝{x|x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0，m∈R}，B＝{x|2x2+（3n+1）x+2＝0，n∈R}．
由x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0，得x＝2或x＝m+1，
若A∩∁RB＝∅，则A⊆B，
将x＝2代入2x2+（3n+1）x+2＝0，得n＝﹣2，
则B＝{x|2x2﹣5x+2＝0，n∈R}＝{2，}，
则m+1＝，则m＝﹣，
当A＝{2}时，m+1＝2时，得m＝1，
综上，m＝，n＝﹣2，或m＝1，n＝﹣2；
（2）若对∀x∈B，有x∈A，则B⊆A，
当Δ＝（3m+1）2﹣16＝0时，m＝，B＝{1}，m+1＝1，m＝0，
或n＝1时，B＝{﹣1}，m+1＝﹣1，m＝﹣2，当Δ＝（3n+1）2﹣16＞0时，即n＜，或n＞1时，则2∈B，由（1）得：m＝﹣，n＝﹣2；
当Δ＝（3n+1）2﹣16＜0时，即＜n＜1，B＝∅对m∈R，故成立，
综上，或或或．
【点评】本题考查集合的运算，考查补集、交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，属中档题．
15．（2022秋•中山市校级月考）已知集合A＝{x|（2x+3）（x﹣4）≥0}，B＝{y|y＝3x+1（x＞0）}．
（1）求集合A∩B，（∁RA）∪B；
（2）若集合C＝{x|m﹣2≤x≤2m}且（∁RA）∩C＝C，求m的取值范围．
【分析】（1）化简集合A、B，根据交集与并集和补集的定义计算即可；
（2）因为（∁RA）∩C＝C，则A∩C＝∅，然后分集合C为空集与不是空集讨论，建立不等式关系即可求解．
【解答】解：集合A＝{x||（2x+3）（x﹣4）≥0}＝{x|x≤﹣或x≥4}，
B＝{y|y＝3x+1（x＞0）}＝{y|y＞2}．
（1）集合A∩B＝{x|x≥4}，
∁RA＝{x|﹣＜x＜4}，
∴（∁RA）∪B＝{x|x＞﹣}；
（2）因为（∁RA）∩C＝C，则A∩C＝∅，
当C＝∅时，m﹣2＞2m，即m＜﹣2满足题意，
当C≠∅时，，解得＜m＜2；
综上，m的取值范围是{m|m＜﹣2或＜m＜2}．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是中档题．
16．（2022秋•高淳区校级月考）设函数的定义域为集合A，集合B＝{x|x2+（2﹣2m）x+m（m﹣2）≤0}．给出下列条件①“x∈B”是“x∈A”的充分条件；②A∪B＝R；③B∩∁RA＝B．从中选一个作为已知填在横线上，并解答．
（1）若，求（∁RA）∩B；
（2）设集合A，B满足条件_____，若这样的实数m存在，求m取值范围，若不存在说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【分析】（1）根据已知条件，分别求出集合A，B，再结合交集、并集的定义，即可求解．
（2）选①，结合充分条件的定义，即可求解；
选②，结合并集的定义，列出不等式组，即可求解；
选③，集合补集、交集的定义，即可求解．
【解答】解：（1）∵，
∴x2﹣3x+2≥0，解得x≥2或x≤1，
故∁RA＝{x|1＜x＜2}，
若，则集合，
故，
∴．
（2）∵集合B＝{x|x2+（2﹣2m）x+m（m﹣2）≤0}，
∴B＝{x|m﹣2≤x≤m}，
集合A＝{x≥2或x≤1}，
选择①，∵“x∈B”是“x∈A”的充分条件，
∴B⫋A，则满足m﹣2≥2或m≤1，解得m≥4或m≤1，
∴故m的取值范围为（﹣∞，1]∪[4，+∞）；
选择②，∵A∪B＝R，
∴，解得2≤m≤3，
故m的取值范围为[2，3]；
选择③，∵∁RA＝{x|1＜x＜2}，又∵B∩∁RA＝B，
∴，解集为∅．
【点评】本题主要考查集合的运算，考查转化能力，属于中档题．
17．（2020秋•郑州期中）已知集合P＝{x|﹣2≤x≤10}，Q＝{x|1﹣m≤x≤1+m}．
（1）求集合∁RP；
（2）若P⊆Q，求实数m的取值范围；
（3）若P∩Q＝Q，求实数m的取值范围．
【分析】（1）由全集为R，以及P，求出P的补集即可；
（2）根据P为Q的子集，列出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可确定出m的范围；
（3）根据P与Q的交集为Q，分Q为空集与Q不为空集时两种情况，求出m的范围即可．
【解答】解：（1）∵P＝{x|﹣2≤x≤10}，
∴∁RP＝{x|x＜﹣2或x＞10}；
（2）∵P⊆Q，P＝{x|﹣2≤x≤10}，Q＝{x|1﹣m≤x≤1+m}，
∴，
解得：m≥9，
则实数m的取值范围是[9，+∞）；
（3）由P∩Q＝Q，得到Q⊆P，
分两种情况考虑：
①当1﹣m＞1+m，即m＜0时，Q＝∅，符合题意；
②当1﹣m≤1+m，即m≥0时，需，
解得：0≤m≤3，
综上得：m≤3，
则实数m的取值范围为（﹣∞，3]．
【点评】此题考查了补集及其运算，交集及其运算，以及集合的包含关系判断及应用，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
18．（2022秋•徐汇区校级期中）已知有限集合A＝{a1，a2，…，an}（n≥2，n∈N），若集合A中任意元素ai都满足﹣1＜ai＜1，则称该集合A为收敛集合．对于收敛集合A，定义Γ变换有如下操作：从A中任取两个元素ai、aj（i≠j），由A中除了ai、aj以外的元素构成的集合记为C1，令A1＝C1∪，若集合A1还是收敛集合，则可继续实施Γ变换，得到的新集合记作A2，…，如此经过k次Γ变换后得到的新集合记作Ak．
（1）设A＝，请写出A1的所有可能的结果；
（2）设A＝{a1，a2，…，a10}是收敛集合，试判断集合A最多可进行几次Γ变换，最少可进行几次Γ变换，并说明理由；
（3）设A＝，对于集合A反复Γ变换，当最终所得集合Ak只有一个元素时，求所有的满足条件的集合Ak．
【分析】（1）由题意可知，A＝{﹣，0，}，分ai，aj为﹣，0，ai，aj为﹣，和ai，aj为0，三种情况，结合集合新定义，可得A1的所有可能结果．
（2）由收敛集合的定义推出Ak仍是收敛集合，分∈∁k，∉∁k两种情况，进行Γ变换，可得结果．
（3）先根据运算：a∽b＝，满足交换律和结合律，再取﹣和，﹣和，﹣和，﹣和，0和﹣进行a∽b＝运算，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意可知，A＝{﹣，0，}，
若取ai，aj为﹣，0，则＝＝﹣，所以A1＝{﹣，}，
若取ai，aj为﹣，，则＝＝﹣，所以A1＝{﹣，0}，
若取ai，aj为0，，则＝＝，所以A1＝{﹣，}，
综上，A1的所有可能结果有{﹣，}，{﹣，0}．
（2）对任意的收敛集合Ak﹣1＝{a1，a2，…an}（n∈N，n≥4，k∈N，k≥2），
其中两个元素ai＜1，aj＜1，都有ai2＜1，aj2＜1，
则||2﹣1＝＝
＝﹣＝﹣＜0，
即﹣1＜＜1，所以Ak仍是收敛集合，
若∈∁k，则Ak的元素个数比Ak﹣1少2个，
若∉∁k，则Ak的元素个数比Ak﹣1少1个，
所以对于含有10个元素的集合A，
若每进行一次Γ变换，得到新收敛数列比前一个减少1个元素，
则至多可进行9次Γ变换，此时A9只含有一个元素，无法进行Γ变换；
若每进行一次Γ变换，得到新收敛数列比前一个减少2个元素，
则至少可进行5次Γ变换，此时A5只含有一个元素，无法进行Γ变换；
所以最多进行9次Γ变换，最少进行5次Γ变换．
（3）由于A＝{﹣，﹣，﹣，﹣，，，，}，
对于集合A反复Γ变换，当最终所得集合Ak只有一个元素时，
对于满足a，b∈{x|﹣1＜x＜1}的实数a，b定义运算：a∽b＝，
因为a∽b＝，且b∽a＝，
所以a∽b＝b∽a，该运算满足交换律，
因为a∽（b∽c）＝a∽＝＝，
且（a∽b）∽c＝∽c＝＝，
所以a∽（b∽c）＝（a∽b）∽c，该运算满足结合律，
所以a∽b＝，运算满足交换律和结合律，
由于A＝，
先取﹣，进行a∽b＝运算，得到A1＝{0，﹣，﹣，﹣，，，}，
再取﹣，进行a∽b＝运算，得到A2＝{0，﹣，﹣，，}，
再取﹣，进行a∽b＝运算，得到A3＝{0，﹣，﹣，}，
再取﹣，进行a∽b＝运算，得到A4＝{0，﹣}，
再取0，﹣进行a∽b＝运算，得到A5＝{﹣}，
所以＝{﹣}，
综上，最终所得集合Ak只有一个元素时，所有满足条件的集合Ak＝{﹣}．
【点评】本题考查集合新定义，解题中要认真审题，理解定义，属于难题．
19．（2022秋•南开区校级期中）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{y|y＝，x∈（﹣3，0）∪（0，1）}，集合C＝{x|2x2+mx﹣8＜0}．
（1）求A∩B、A∪（∁RB）（R为全集）；
（2）若（A∩B）⊆C，求m的取值范围．
【分析】（1）求出集合B中y的范围确定出B，根据全集R求出B的补集，找出A与B的交集，求出A与B补集的并集即可；
（2）根据A与B的交集为C的子集，确定出m的范围即可．
【解答】解：（1）由B中y＝，x∈（﹣3，0）∪（0，1），得到B∈（﹣∞，﹣）∪（1，+∞），
∵A＝（﹣1，3），
∴A∩B＝（﹣1，﹣）∪（1，3），
∵全集为R，
∴∁RB＝[﹣，﹣1]，
则A∪（∁RB）＝（﹣1，3）；
（2）令f（x）＝2x2+mx﹣8，
∵C＝{x|2x2+mx﹣8＜0}，A∩B＝（﹣1，﹣）∪（1，3），且（A∩B）⊆C，
∴，
解得：﹣6≤m≤﹣．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
20．（2022秋•沈阳期中）已知全集U＝{0，1，2，3，4，5，6}，集合A＝{x∈N|1＜x≤4}，B＝{x∈R|x2﹣3x+2＝0}．
（1）用列举法表示集合A与B；
（2）求A∩B及∁U（A∪B）．
【分析】（1）列举出A与B即可；
（2）求出A与B的交集，以及A与B并集的补集即可．
【解答】解：（1）集合A＝{2，3，4}，B＝{1，2}；
（2）A∩B＝{2}；A∪B＝{1，2，3，4}，
∵全集U＝{0，1，2，3，4，5，6}，
∴∁U（A∪B）＝{0，5，6}．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
21．（2022秋•高新区校级月考）已知集合A＝{x|2a+1＜x＜3a﹣5}，集合B＝{x|x2﹣13x﹣14＞0}．分别根据下列条件求实数a的取值范围．
（1）A∩B＝∅
（2）A⊆（A∩B）
【分析】（1）根据A∩B＝∅，得出﹣1≤2a+1≤x≤3a﹣5≤16，由此求得a的取值范围；
（2）利用分类讨论，建立不等式组，从而求出实数a的取值范围．
【解答】解：集合A＝{x|2a+1＜x＜3a﹣5}，集合B＝{x|x2﹣13x﹣14＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞14}；
（1）若A∩B＝∅，则﹣1≤2a+1≤x≤3a﹣5≤14或2a+1≥3a﹣5，
即，或2a+1≥3a﹣5，
解得，或a≤6，
即6＜a≤，或a≤6；
综上知，a的取值范围是a≤；
（2）①当2a+1＜x＜3a﹣5≤﹣1，
即2a+1＜3a﹣5，且3a﹣5≤﹣1时，解得a＞6，且a≤，此时无解；
②当14≤2a+1＜x＜3a﹣5，
即14≤2a+1，且2a+1＜3a﹣5时，解得a≥6.5且a＞6，此时a≥6.5；
③当A＝∅时，即2a+1≥3a﹣5，即为a≤6也成立，
综上知，a的取值范围是（﹣∞，6]∪[6.5，+∞）．
【点评】本题考查了集合关系中的参数取值问题，也考查了运算与求解能力，是难题．
22．（2022秋•井冈山市期末）已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＝m+1，m∈A}．
（Ⅰ）求图中阴影部分表示的集合C；
（Ⅱ）若非空集合D＝{x|4﹣a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），求实数a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）根据条件求出集合A，B结合Venn图即可求图中阴影部分表示的集合C；
（Ⅱ）根据集合关系进行转化求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）因为A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x＝m+1，m∈A}．
所以B＝{x|2≤x≤4}，
根据题意，由图可得：C＝A∩（∁UB），
因为B＝{x|2≤x≤4}，则∁UB＝{x|x＞4或x＜2}，
而A＝{x|1≤x≤3}，则C＝A∩（∁UB）＝{x|1≤x＜2}；
（Ⅱ）因为集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2≤x≤4}，
所以A∪B＝{x|1≤x≤4}，
若非空集合D＝{x|4﹣a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），
则有，
解得2＜a≤3，
即实数a的取值范围为（2，3]．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
23．（2022秋•秦州区校级期末）已知集合A＝{x|2x2﹣5x﹣12≥0}，B＝{y|y＝3x+1（x＞0）}．
（1）求集合A∩B，（∁RA）∪B；
（2）若集合C＝{x|m﹣2≤x≤2m}且（∁RA）∩C＝C，求m的取值范围．
【分析】（1）化简集合A、B，根据交集与并集和补集的定义计算即可；
（2）根据题意（∁RA）∩C＝C知C⊆∁RA，讨论C＝∅和C≠∅时，分别求出m的取值范围．
【解答】解：集合A＝{x|2x2﹣5x﹣12≥0}＝{x|x≤﹣或x≥4}，
B＝{y|y＝3x+1（x＞0）}＝{y|y＞2}．
（1）集合A∩B＝{x|x≥4}，
∁RA＝{x|﹣＜x＜4}，
∴（∁RA）∪B＝{x|x＞﹣}；
（2）若集合C＝{x|m﹣2≤x≤2m}，且（∁RA）∩C＝C，
∴C⊆∁RA，
∴，解得＜m＜2；
当C＝∅时，m﹣2＞2m，解得∴m＜﹣2；
综上，m的取值范围是m＜﹣2或＜m＜2．
【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是中档题．
24．在某次数学竞赛中共有甲、乙、丙三题，共25人参加竞赛，每个学生至少做对一题．在所有没解出甲题的同学中，解出乙题的人数是解出丙题的人数的2倍；解出甲题的人数比余下的人数多1人；只解出一题的同学中，有一半没解出甲题，问共有多少同学解出乙题？
【分析】由题意列出等式：a+b+c+d+e+f+g＝25①；b+f＝2（c+f）②；a＝d+e+g+1③；a＝b+c④．联立①②③④解方程组即可．
【解答】解：设解出甲、乙、丙三题的学生的集合分别为A、B、C，并用三个圆表示之，
则重叠部分表示同时解出两题或三题的学生的集合，其人数分别以a，b，c，d，e，f，g表示．
由于每个同学至少选作一题，故a+b+c+d+e+f+g＝25①；
由于没有解出甲题的学生中，解出乙题的人数是解出丙题的人数的2倍，故b+f＝2（c+f）②；
由于解出甲题的人数比余下的人数多1人，故a＝d+e+g+1③
由于只解出一题的学生中，有一半没有解出甲题，故a＝b+c④
联立①②③④，可得b＝6
所以共有6个同学解出乙题．
【点评】本题考查了集合内的元素的个数的问题，讨论很复杂，要细心，属于中档题．
25．为完成一项实地测量任务，夏令营的同学们成立了一支测绘队，需要24人参加测量，20人参加计算，16人参加绘图．测绘队的成员中有许多同学是多面手，有8人既参加了测量又参加了计算，有6人既参加了测量又参加了绘图，有4人既参加了计算又参加了绘图，另有一些人三项工作都参加了，请问这个测绘队至少有多少人？
【分析】借助韦恩图能求得测绘队总人数最少是多少．
【解答】解：设集合A＝{x|x是参加测量的学生}，B＝{x|x是参加计算的学生}，
C＝{x|x是参加绘图的学生}，
则由已知可得如下韦恩图，
∴card（A∪B∪C）＝10+x+8﹣x+x+8+x+6﹣x+4﹣x+6+x＝42+x，
∵2≤x≤4，
故所需要的最少的总人数为44人．
答：这个测绘队至少有44人．
【点评】应用题考查已成为数学高考的热点问题，它主要考查学生的数学意识和数学建模能力．如何把实际问题看成数学问题，看成什么数学问题是数学建模的关键．教学过程中，帮助学生树立运用数学模型的思想，对于培养学生整体处理问题的能力和创造性处理问题的能力，是大有裨益的．
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