2022-2023学年福建省漳州市高一年级下学期期末教学质量检测(数学)（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年福建省漳州市高一年级下学期期末教学质量检测(数学)（含详细答案解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知向量a=(4,2)，b=(x,3)，且a//b，则x=( )
A. 9B. 8C. 6D. 3
2.如果空间中两条直线m与n没有公共点，那么m与n( )
A. 共面B. 平行
C. 是异面直线D. 可能平行，也可能是异面直线
3.已知z1=a+i，z2=1+i，a∈R，若z1z2是纯虚数，则z1z2+(z1z2)2+(z1z2)3+⋯+(z1z2)2023=( )
A. 1B. −1C. iD. −i
4.福建省第七次人口普查统计数据显示，漳州市11个县(市、区)常住人口数据如下表所示，则这11个县(市、区)人口数据的第80百分位数是( )
A. 638060B. 560969C. 455042D. 411558
5.已知直线m,n与平面α,β,γ，则能使α⊥β的充分条件是( )
A. α⊥γ，β⊥γB. m⊥n，α∩β=m，n⊂β
C. m//α，m//βD. m//α，m⊥β
6.利用公式cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ，cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ可得csαcsβ=12[cs(α+β)+cs(α−β)].则cs10∘cs50∘+sin20∘cs70∘=( )
A. 1B. 34C. 12D. 14
7.平面向量a与b相互垂直，已知a=(6,−8)，|b|=5，且b与向量(1,0)的夹角是钝角，则b=( )
A. (−3,−4)B. (4,3)C. (−4,3)D. (−4,−3)
8.《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”.在阳马P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=1，AB=AD=2，点 E， F分别在棱AB， BC上，则空间四边形PEFD的周长的最小值为( )
A. 3+ 5B. 4+ 5C. 5+ 5D. 6+ 5
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.在以下调查中，适合用抽样调查的有( )
A. 调查某品牌的冰箱的使用寿命
B. 调查某个班级10名学生每周的体育锻炼时间
C. 调查一批炮弹的杀伤半径
D. 调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例
10.正方体ABCD−A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心，则( )
A. 直线BA1与CC1所成的角等于30∘B. 直线BA1与AC所成的角等于60∘
C. 直线AO1与CC1是异面直线D. 直线AO1与BD所成的角等于90∘
11.设A，B为两个随机事件，以下命题正确的为( )
A. 若A，B是互斥事件，P(A)=13，P(B)=12，则P(A∪B)=16
B. 若A，B是对立事件，则P(A∪B)=1
C. 若A，B是独立事件，P(A)=13，P(B)=23，则P(AB)=19
D. 若P(A)=13，P(B)=14，且P(AB)=14，则A，B是独立事件
12.已知△ABC的重心为G，外心为 O，内心为 I，垂心为 H，则下列说法正确的是( )
A. 若M是BC中点，则AG:GM=2:1
B. 若|AB|=1，则AB⋅AO=12
C. AH与AB|AB|csB+AC|AC|csC不共线
D. 若|AB|=1，|AC|=2，∠BAC=23π，AI=λAB+μAC(λ,μ∈R)，则λ+μ=9−3 72
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.一名射击运动员在一次射击测试中射击10次，每次命中的环数如下：5 6 6 7 7 7 7 8 8 9则其射击成绩的方差s2=__________.
14.△ABC的内角A， B， C所对边的长分别为a， b， c，若a=4，A=30∘，试写出一个 b值，使该三角形有两解，则满足题意的b的值可以是__________.
15.龙文塔位于漳州市龙文区步文镇鹤鸣山，是漳州古城的标志性建筑，某研究性学习小组想利用正弦定理测量龙文塔的高度，他们在塔底 B点的正西处的C点测得塔顶A点的仰角为30∘，然后沿着东偏南67∘的方向行进了64m后到达D点(B,C,D三点位于同一水平面内)，且B点在D点北偏东37∘方向上，由此可得龙文塔的高度为__________m.(参考数据：取sin53∘=0.8)
16.已知正四棱锥S−ABCD的底面边长为 2，侧棱长为2，则该正四棱锥相邻两个侧面所成二面角的余弦值为__________;该正四棱锥的外接球的体积为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AD=13AB，点E是CD的中点，设AB=a，AC=b，
(1)用a，b表示CD，AE;
(2)如果a=3b，CD，AE有什么位置关系?用向量方法证明你的结论.
18.(本小题12分)
某调研机构从某校2023届高三年级学生中随机抽取60名学生，将其某次质检的化学科赋分后的成绩分成七段：[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]，并制作了相应的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，估计该校高三年级学生在这次质检考试中化学科赋分后成绩的众数、平均数、中位数(小数点后保留一位有效数字);
(2)用分层随机抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则[70,80)分数段抽取的人数是多少?
19.(本小题12分)
下图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象.
(1)求f(x)的解析式;
(2)解不等式f(x)>32.
20.(本小题12分)
如图，由 X到Y的电路中有4个元件，分别为 A， B， C， D，每个元件可能正常(用1表示元件的“正常”状态)，也可能失效(用0表示元件的“失效”状态).分别用x1，x2，x3和x4表示元件A， B， C和D的可能状态，则这个电路的工作状态可用(x1,x2,x3,x4)表示.
(1)记M=“恰有两个元件正常”，用集合表示M;
(2)若A， B， C， D能正常工作的概率都是12，记N=“X到Y的电路是通路”，求P(N).
21.(本小题12分)
△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b= 3，且a= 3csC+ 33csinB.
(1)求B;
(2)求2a+c的最大值.
22.(本小题12分)
如图，正方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=1，点M，N分别为棱AD，DD1上的点(不与端点重合)，且AM=DN.
(1)求证：A1M⊥平面ABN;
(2)求三棱锥B−MDN的体积的最大值;
(3)点P在平面ABCD内运动(含边界)，当A1P⊥BD时，求直线A1P与直线BD1所成角的余弦值的最大值.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查向量共线的充要条件，属于基础题.
利用向量共线的充要条件和平面向量的坐标公式，列出关于x的方程，求解即可.
【解答】
解：因为 a=(4,2)，b=(x,3)，a//b，
则4×3=2x，解得x=6.
故选C.
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查空间中线线的位置关系，属于基础题．
根据空间中两直线的位置关系可确定结果．
【解答】
解：在空间中，两条直线的位置关系有三种：相交、平行、异面．
如果两条直线m与n没有公共点，
那么m与n可能平行，也可能是异面直线．
故选D.
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查复数的概念和运算，属于中档题.
求出a，得z1z2=i，再利用i的周期性即可求解.
【解答】
解：由题意，因为复数z1=a+i,z2=1+i,a∈R，
可得z1z2=a+i1+i=a+i1−i1+i1−i=a+12+1−a2i，
因为z1z2是纯虚数，
则a+12=01−a2≠0⇒a=−1，则z1z2=i，
则z1z2+(z1z2)2+(z1z2)3+⋯+(z1z2)2023
=i+i2+i3+⋯+i2023
=i−1−i+1×504+i−1−i
=−1.
故选B.
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查百分位数，属于基础题.
将11个数从小到大排列后，利用百分位数的定义，即可求解.
【解答】
解：将涉及到的11个数字从小到大排列为：
134276，219511，228235，301883，305259，411558，455042，560969，638060，847535，952000
因为11×80%=8.8，
故第80百分位数是638060.
故选A
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查面面垂直的判定，是中档题.
由线面、面面的平行与垂直的判定与性质依次判断各个选项即可.
【解答】
解：对于A，∵垂直于同一平面的两个平面平行或相交，∴α⊥γ，β⊥γ⇏α⊥β，A错误；
对于B，若m⊥n，α∩β=m，n⊂β，则只需m,n在平面β内互相垂直即可，无法得到α⊥β，B错误；
对于C，∵平行于同一条直线的两个平面平行或相交，∴m//α，m//β⇏α⊥β，C错误；
对于D，∵m//α，∴存在直线l⊂α，满足m//l，又m⊥β，∴l⊥β，
∵l⊂α，∴α⊥β，D正确.
故选：D.
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查积化和差与和差化积公式，属于基础题.
利用积化和差公式和诱导公式即可求解.
【解答】
解：原式=cs10∘cs50∘+cs70∘cs70∘
=12(cs60∘+cs40∘)+12(cs140∘+cs0∘)
=14+12cs40∘−12cs40∘+12
=34.
故选B.
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查向量数量积的坐标运算，向量的模的坐标运算，属于基础题.
设b=(x,y)，则由题意得6x−8y=0x2+y2=25，解出方程，检验即可.
【解答】
解：设b=(x,y)，则由题意得a⋅b=0 x2+y2=5，即6x−8y=0x2+y2=25，
解得x=4y=3或x=−4y=−3，
设c=(1,0)，当b=(4,3)时，此时csb,c=b⋅cbc=45>0，
又因为向量夹角范围为[0,π]，故此时夹角为锐角，舍去;
当b=(−4,−3)时，此时csb,c=b⋅cbc=−45<0，故此时夹角为钝角，
故选D.
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了棱锥的结构特征，涉及多面体和旋转体上的最短距离(折叠与展开图)、几何体中的截面问题，属于中档题.
把平面PAB展开到平面ABCD共面P′AB的位置，延长DC到D′，使CD′=2，则DF=D′F，由PD的长度为定值，只需P′,E,F,D′四点共线，PE+EF+FD=P′E+EF+FD′最小，由此即可求出结果.
【解答】
解：把平面PAB展开到平面ABCD共面P′AB的位置(如图)，
延长DC到D′，使CD′=2，则DF=D′F，
∵PD的长度为定值，只需PE+EF+FD=P′E+EF+FD′最小，
只需P′,E,F,D′四点共线，
∵P′D=3,DD′=4，
∴P′D′= 32+42=5，
又PD= PA2+AD2= 5，
∴空间四边形PEFD的周长的最小值为5+ 5.
故选C.
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查抽样调查，属于基础题.
根据已知条件，结合抽样调查、全面调查的定义，对选项逐个判断即可求解
【解答】
解：对于A、调查某品牌的冰箱的使用寿命，由于调查的范围较广，经济成本会较高，不适宜全面调查，适合用抽样调查；
对于B、调查某个班级10名学生每周的体育锻炼时间，样本数量较小，适合用全面调查；
对于C、调查一批炮弹的杀伤半径，由于调查的范围较广，经济成本会较高，不适宜全面调查，适合用抽样调查；
对于D、调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例，，由于调查的范围较广，经济成本会较高，不适宜全面调查，适合用抽样调查.
故选ACD.
10.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查异面直线所成角，异面直线的判定，属于中档题.
结合正方体的结构特征，可知直线BA1与CC1所成的角等于直线BA1与AA1所成的角，即为∠BA1A，继而可判断A；
可知直线BA1与AC所成的角等于直线BA1与A1C1所成的角，即为∠BA1C1，继而可判断B；
易知A，C，A1，C1四点共面，又易得O1∈平面ACC1A1，继而可判断C；
可知直线AO1与BD所成的角等于直线AO1与B1D1所成的角，即为∠AO1B1，继而可判断D.
【解答】
解：由题意作图，
对于A，正方体ABCD−A1B1C1D1中，CC1//AA1，
则直线BA1与CC1所成的角等于直线BA1与AA1所成的角，即为∠BA1A，
又∠BA1A=45∘，
所以直线BA1与CC1所成的角等于45∘，故A错误；
对于B，正方体ABCD−A1B1C1D1中，CC1=//AA1，
则四边形ACC1A1为平行四边形，
所以AC//A1C1，
所以直线BA1与AC所成的角等于直线BA1与A1C1所成的角，即为∠BA1C1，
又△BA1C1中，BA1=BC1=A1C1，
所以△BA1C1为等边三角形，
所以∠BA1C1=60∘，
所以直线BA1与AC所成的角等于60∘，故B正确；
对于C，正方体ABCD−A1B1C1D1中，CC1//AA1，
则A，C，A1，C1四点共面，
显然CC1⊂平面ACC1A1，
又O1∈A1C1，所以O1∈平面ACC1A1，
又A∈平面ACC1A1，
所以AO1⊂平面ACC1A1，
则直线AO1与CC1均在平面ACC1A1内，
所以直线AO1与CC1不是异面直线，故C错误；
对于D，正方体ABCD−A1B1C1D1中，BB1=//DD1，
则四边形BDD1B1为平行四边形，
所以BD//B1D1，
所以直线AO1与BD所成的角等于直线AO1与B1D1所成的角，即为∠AO1B1，
又正方体ABCD−A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1的中心，
所以AB1=AD1，O1B1=O1D1，
所以AO1⊥B1D1，
所以∠AO1B1=90∘，
所以直线AO1与BD所成的角等于90∘，故D正确.
故选BD.
11.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查互斥事件与对立事件和相互独立事件同时发生的概率，属于中档题.
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】
解：对于A，若A，B是互斥事件，P(A)=13，P(B)=12，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=56，故A错误；
对于B，若A，B是对立事件，则P(A∪B)=1，故B正确；
对于C，若A，B是独立事件，P(A)=13，P(B)=23，则P(AB)=P(A)P(B)=13×(1−23)=19，故C正确；
对于D，若P(A)=13，P(B)=14，则P(A)P(B)=13×(1−14)=14，所以P(AB)=P(A)P(B)，则A，B是独立事件，故D正确，
故选BCD.
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题是向量在平面几何中的应用题，考查向量的加减与数乘运算，考查向量数量积运算，考查平面向量数量积与向量垂直的关系，考查余弦定理，属于较难题.
对于A，易得GB+GC=2GM，并结合向量的加减及数乘运算即可判断正误；
对于B，根据|AO|cs∠OAB的几何意义即可判断正误；
对于C，应用向量数量积的运算律及定义化简(AB|AB|csB+AC|AC|cs C)⋅BC，再根据AH⊥BC判断正误；
对于D，根据余弦定理可求BC，进而根据切线长定理可求AN=AE=x=3− 72，进而根据数量积的运算以及几何意义即可求解.
【解答】
解：对于A，因为M是BC中点，且G为三角形ABC的重心，
所以GA+GB+GC=GA+2GM=0，
则AG=2GM，
所以AG:GM=2:1，故A正确；
对于B，由AB⋅AO=|AB||AO|cs∠OAB，
又|AO|cs∠OAB=|AB|2，|AB|=1，
故AO⋅AB=12AB2=12，故B正确;
对于C，(AB|AB|csB+AC|AC|csC)⋅BC
=AB⋅BC|AB|csB+AC⋅BC|AC|csC
=ABBCcs (π−B)ABcs B+ACBCcs CACcs C
=−|BC|+|BC|=0，
即AB|AB|csB+AC|AC|csC与BC垂直，
又AH⊥BC，
所以AH与AB|AB|csB+AC|AC|csC共线，故C错误;
对于D，
在△ABC，由余弦定理得
BC= AC2+AB2−2AC⋅ABcs∠BAC= 7，
设E，F，N分别是内切圆与边AB，BC，AC上的切点，
设AN=AE=x，
则NC=FC=2−x，BE=BF=1−x，
所以BC=BF+FC=1−x+2−x= 7，
则x=3− 72，
由AI=λAB+μAC得，
AI⋅AB=(λAB+μAC)⋅AB，
即|AE|⋅|AB|=λAB2+μACABcs2π3，
则AE=λ−μ ①，
同理由AI⋅AC=(λAB+μAC)⋅AC，
可得2AN=−λ+4μ ②，
联立①②以及AN=AE=x，
即可解得：
λ+μ=3x=3×3− 72=9−3 72，故D正确.
故选ABD.
13.【答案】1.2
【解析】【分析】
本题考查方差，属于基础题.
求出平均数，由方差公式即可求解.
【解答】
解：由题意，得平均数为5+6+6+7+7+7+7+8+8+910=7，
则方差为
110[(5−7)2+2×(6−7)2+4×(7−7)2+
+2×(8−7)2+(9−7)2]
=1.2
答案为1.2
14.【答案】5(答案不唯一)
【解析】【分析】
本题考查解三角形，正弦定理，属于中档题.
利用正弦定理asinA=bsinB，可求得sinB=18b，然后根据三角形有两解，得到b>a，sinB<1，进行求解即可.
【解答】
解：∵在△ABC中，A=30∘，a=4，
∴由正弦定理asinA=bsinB，
得：4sin30∘=bsinB，
∴sinB=14bsin30∘=18b，可知sinB>0，
要使三角形ABC有两解，
则需b>a，即b>4，且0解得4∴b的取值范围为(4,8).
故答案为5.(答案不唯一，也可以是6、7)
15.【答案】40
【解析】【分析】
本题主要考查利用正弦定理、余弦定理解决高度问题，属于中档题.
由题意得∠BCD=67∘，∠CDB=60∘，则∠CBD=53∘，利用正弦定理及三角形的性质即可得解.
【解答】
解：由题意得∠BCD=67∘，∠CDB=90∘−67∘+37∘=60∘，
则∠CBD=180∘−60∘−67∘=53∘.
由正弦定理BCsin∠CDB=CDsin∠CBD，
得BC=CDsin∠CDBsin∠CBD=64⋅sin60∘sin53∘，
所以AB=BCtan30∘=64⋅sin60∘sin53∘⋅tan30∘=320.8=40(m).
故答案为40.
16.【答案】−17 ； 32 327π
【解析】【分析】
本题考查二面角、球的体积、球的切、接问题，属于中档题.
过点A作AF⊥SB交SB于点F，连接CF，得出平面SAB与平面SCB的平面角为∠AFC，利用余弦定理即可求出相邻两个侧面所成二面角的余弦值；求出球半径，代入球的体积公式，即可求出结果.
【解答】
解：过点A作AF⊥SB交SB于点F，连接CF，
如图所示：
在正四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是正方形，△SAB≌△SCB，
所以CF⊥SB，
所以平面SAB与平面SCB的平面角为∠AFC，
取AB的中点E，连接SE，则SE⊥AB，
因为正四棱锥S−ABCD的底面边长为 2，侧棱长为2，
所以SE= 22− 222= 7 2，
由12AB⋅SE=12SB⋅AF，得 2× 7 2=2AF，
所以AF=CF= 72，
又AC=2，
所以cs∠AFC=AF2+FC2−AC22AF⋅FC=74+74−42× 72× 72=−17;
如图：
SO1是正四棱锥S−ABCD的高，而AB= 2,SA=2，
AO1=AC2= 2AB2=1，
则SO1= SA2−AO12= 3，
显然正四棱锥S−ABCD的外接球的球心O在直线SO1上，
令SO=AO=R，则OO1=| 3−R|，
在Rt△AO1O中，R2=AO2=AO12+OO12=12+( 3−R)2，解得R=2 3，
所以该四棱锥的外接球体积为V=43πR3=43π×(2 3)3=32 327π.
故答案为−17;32 327π.
17.【答案】解：(1)因为AD=13AB，
所以CD=AD−AC=13AB−AC=13a−b，
因为E是CD的中点，
AE=12(AD+AC)=12(13AB+AC)=16AB+12AC=16a+12b；
(2)CD⊥AE.
因为a=3b，
CD⋅AE
=(13a−b)⋅(16a+12b)
=118a2+16a⋅b−16a⋅b−12b2
=118|a|2−12|b|2
=118(3|b|)2−12|b|2
=0
所以CD⊥AE，所以CD⊥AE.
【解析】本题重点考查平面向量基本定理的应用、数量积与垂直，属于一般题.
(1)利用平面向量的线性运算法则，准确化简，即可求解;
(2)通过求证CD⋅AE=0，得到CD⊥AE，即CD⊥AE.
18.【答案】解：(1)由图可知众数为75;
因为0.05+0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.05=1，
解得a=0.030，
平均数为35×0.05+45×0.05+55×0.1+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71.
各组对应频率fi，
因为f1+f2+f3+f4=0.4<0.5
且f1+f2+f3+f4+f5=0.7>0.5，
所以中位数在第5组，
设中位数为x，则0.05+0.05+0.1+0.2+0.03(x−70)=0.5，
解得x≈73.3，所以中位数为73.3.
故答案为：众数75，平均数71，中位数约为73.3
(2)因为总人数为60人，抽取20人，所以抽取比例为2060=13，
因为60人中[70,80)分数段人数为60×0.03×10=18人，
所以[70,80)分数段应抽取人数为18×13=6.
【解析】本题考查频率分布直方图、样本数字特征和分层抽样，属于一般题.
(1)观察频率分布直方图可求众数，由面积和为1求出a，利用平均数和中位数的定义即可求解;
(2)利用分层抽样的性质即可求解.
19.【答案】解：(1)由图可知，A=3，T4=3，可得T=12，
所以ω=2πT=π6，即f(x)=3sin(π6x+φ).
因为f(32)=3，所以π6×32+φ=π2+2kπ，k∈Z，
则φ=π4+2kπ，k∈Z，
因为0<φ<π，所以φ=π4.
故f(x)=3sin(π6x+π4).
(2)由f(x)>32，即3sin(π6x+π4)>32，
所以sin(π6x+π4)>12，
所以π6+2kπ<π6x+π4<5π6+2kπ，k∈Z，
所以12k−12所以不等式f(x)>32的解集为(12k−12,12k+72)(k∈Z).
【解析】本题主要考查了由部分图象求三角函数解析式，利用正弦函数的单调性解不等式，是中档题．
(1)直接由函数图象求得A，T，由周期公式求得ω，利用最高点(1.5,3)求出φ，求出f(x)的解析式；
(2)由已知可求sin(π6x+π4)>12，利用正弦函数的图象可得π6+2kπ<π6x+π4<5π6+2kπ，k∈Z，，进而解得不等式f(x)>32的解集．
20.【答案】解：(1)“恰有两个元件正常”等价于(x1,x2,x3,x4)∈Ω，且x1，x2，x3，x4中恰有两个为1，
所以M={(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1),(0,1,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,1)}.
(2)N1=“D正常工作”，
N2=“D没有正常工作， A正常工作，且 B， C中至少有一个正常工作”，
由于“X到Y的电路是通路”等价于“D正常工作”或“D没有正常工作， A正常工作，
且B，C中至少有一个正常工作”，即N=N1∪N2，
P(N1)=12，
P(N2)=(1−12)×12×(1−12×12)=316，
由于事件N1，N2互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得
P(N)=P(N1∪N2)=12+316=1116.
【解析】本题考查样本空间，相互独立事件的概率乘法公式，属于一般题.
(1)根据题意，利用列举法，即可求解;
(2)由相互独立事件的概率公式，结合互斥事件的概率加法公式，设事件，求出P(N1)和P(N2)，由P(N)=P(N1∪N2)即可求解.
21.【答案】解：(1)由已知b= 3，得a= 3csC+ 33csinB=bcsC+ 33csinB
由正弦定理，得sinA=sinBcsC+ 33sinCsinB.
因为sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC，
所以csBsinC= 33sinBsinC，
因为C∈(0,π)，所以sinC≠0，
所以csB= 33sinB，即tanB= 3.
由于B∈(0,π)，所以B=π3.
(2)由(1)及正弦定理，得asinA=csinC=bsinB= 3 32=2，
所以a=2sinA，c=2sinC，且A+C=2π3.
所以2a+c=4sinA+2sinC
=4sinA+2sin(2π3−A)
=4sinA+2( 32csA+12sinA)
=5sinA+ 3csA
=2 7sin(A+φ).
其中tanφ= 35.
所以当A+φ=π2时，2a+c取最大值2 7.
【解析】本题考查正弦定理的应用，利用正弦定理解决范围与最值问题，求正弦型函数的值域或最值，属于中档题.
(1)由题意可知，得a=bcsC+ 33csinB，利用正弦定理和三角恒等变换求得tanB= 3，即可求B;
(2)利用正弦定理边化角，由三角恒等变换求得2a+c=2 7sin(A+φ)，利用三角函数的性质即可求解.
22.【答案】解：(1)因为正方体ABCD−A1B1C1D1，
所以AA1=AD，∠A1AM=∠ADN=90∘，
又因为AM=DN，
所以ΔA1AM≌ΔADN，
所以∠AA1M=∠NAD，
所以∠A1AN+∠AA1M=∠A1AN+∠NAD=∠A1AD=90∘，
即A1M⊥AN.
又因为AB⊥平面ADD1A1，且A1M⊂平面ADD1A1，
所以AB⊥A1M.
又因为AB∩AN=A，AB，AN⊂平面ABN.
所以A1M⊥平面ABN.
(2)设AM=DN=x，其中0所以S△MDN=12x(1−x)≤12⋅(x+1−x2)2=18，当且仅当x=12取等号.
因为三棱锥B−MDN的高AB=1，
所以三棱锥B−MDN的体积的最大值为13×18×1=124.
(3)因为A1A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以A1A⊥BD，
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
又因为A1A∩AC=A，A1A，AC⊂平面A1AC，
所以BD⊥平面A1AC，
因为BD⊥A1P，
所以A1P⊂平面A1AC，
因为点P在平面ABCD内运动(含边界)，且平面A1AC∩平面ABCD=AC，
所以点P∈AC，
所以点P的轨迹为线段AC，
作正方体ABEF−A1B1E1F1，
使原正方体扩展成长方体CC1D1D−EE1F1F，连结A1E，PE，AE，
依题意A1E//BD1，则∠EA1P为直线A1P与直线BD1所成的角(或其补角)，
设AP=t，0≤t≤ 2，
则A1P= t2+1，A1E= 3，PE= AE2+AP2= 2+t2，
所以cs∠EA1P=A1E2+A1P2−PE22A1E⋅A1P=3+(t2+1)−(2+t2)2 3× t2+1=1 3× t2+1，
因为0≤t≤ 2，
所以当t=0时，即P与A重合，此时直线A1P与直线BD1所成的角的余弦值的最大值为 33.

【解析】本题重点考查线面垂直的判定、棱锥的体积和异面直线的夹角，属于较难题.
(1)通过求证A1M⊥AN和AB⊥A1M，由线面垂直的判定定理即可求证;
(2)利用基本不等式和棱锥的体积公式即可求解;
(3)先判断出点P的轨迹为线段AC，作图，说明∠EA1P为直线A1P与直线BD1所成的角(或其补角)，利用余弦定理即可求解.地区
芗城区
龙文区
龙海市
云霄县
漳浦县
诏安县
常住人口
638060
301883
952000
411558
847535
560969
地区
长泰县
东山县
南靖县
平和县
华安县
常住人口
228235
219511
305259
455042
134276