2024年宝鸡市高考模拟检测（一）数学（理科）试卷及参考答案

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，满分60分．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．
13. 14. 15. 16.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 【详解】（1）根据所给的数据，完成列联表如下：
┄┄2分┄┄5分
故而有的把握认为使用“扫地机器人”与年龄有关. ┄┄6分
（2）由条件可知：的所有取值有0,1,2,3，
，
， ┄┄10分
分布列为：
┄┄12分
18.【详解】（1）证明：设为的中点，连接
∵ ∴
又∵，
∴,又
∴平面 ∴
又∵，
∴四边形为矩形 ┄┄3分
∴且
设为的中点，连接,则,且
∴四边形为平行四边形
∴,又平面
∴平面 ┄┄6分
（2）由 ，得,
如图建系，则,,
∴
设平面的法向量
由得：
得一个法向量为┄┄9分
平面的一个法向量为
，故二面角的余弦值为 ┄┄12分
19.【详解】（1）
又
是首项为2，公比为2的等比数列. ┄┄3分
， .┄┄5分
（2），且结合（1）得 ┄┄6分
┄┄7分

要使不等式对任意正整数n恒成立，只要，
即┄┄10分
由题意可得a>0a≠11-a>0，解得，
只需，解得
综上所述，实数a的取值范围是.┄┄12分
20. 【详解】（1）设，，

，
动点的轨迹的方程.┄┄5分
依题的斜率不为0，所以设：
联立x=my+tx212+y24=1 得
得 ，┄┄7分
又因为到的距离
=┄┄9分
=┄┄分
又因为
代入韦达定理得┄┄11分
化简得
综上，的面积是定值，且该定值为.┄┄12分
21.【详解】(1) 时, ,
┄┄2分
所以，当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
即的递增区间为，递减区间为┄┄4分
(2)因为，，
令 ，
则，
令，则┄┄6分
即在上单调递减，且，，
即存在唯一，使┄┄7分
且
又因为，则，
所以时，恒成立.即.┄┄9分
由（2）知函数的零点就是函数的零点，
当有唯一零点时，设为，则 ┄┄10分
又
即该函数的极值点为，代入得┄┄11分
，
化简得，此方程无解，所以原命题成立. ┄┄12分
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请先涂题号．
22．【详解】(1)由，将两个方程左右两边平方后相加，
可得曲线的直角坐标方程为
由得直线经过的定点的坐标为 ┄┄4分
(2)将代入
得，
即，设其两根为┄┄6分
则，
得，即，得，经检验┄┄9分
故直线l的普通方程为：┄┄10分
23.【详解】（1）因为的解集为，所以，得 当时，，得 ┄┄3分
当时， 得，
综上解得 ，
. ┄┄5分
（2）由（1）得，
┄┄7分
又均为正数，，所以 得，
所以
当 且时，即取得最小值┄┄10分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
D
B
C
B
D
C
B
B
A
B
A
0
1
2
3