备考2024届高考数学一轮复习好题精练第十章计数原理概率随机变量及其分布突破2概率与统计的综合命题点3概率与独立性检验综合

这是一份备考2024届高考数学一轮复习好题精练第十章计数原理概率随机变量及其分布突破2概率与统计的综合命题点3概率与独立性检验综合，共3页。
（1）设X表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X的分布列和数学期望.
（2）试验结果如下：
对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8
26.5 27.5 30.1 32.6 34.334.8 35.6
35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2
试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为
7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5
18.0 18.8 19.2 19.8 20.2 21.6 22.8
23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5
（i）求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表：
（ii）根据（i）中的列联表，能否有95％的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？
附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d），
解析 （1）X的所有可能取值为0，1，2，
P（X＝0）＝C20×（1－12）×（1－12）＝14，P（X＝1）＝C21×12×（1－12）＝12，P（X＝2）＝C22×12×12＝14，（另解：两只小白鼠分在两个组，每只小白鼠都各有两种分配方案，总的分配方案为4种，两只小白鼠全部分配到试验组有1种情况，有一只分配到对照组有2种情况，全部分配到对照组有1种情况，利用古典概型的概率公式即可得解）
所以X的分布列为
E（X）＝0×14＋1×12＋2×14＝1.
（2）（i）根据试验数据可以知道40只小白鼠体重增加量的中位数m＝23.2+23.62＝23.4.
列联表如下：
（ii）根据（i）中结果可得K2＝40×（6×6－14×14）220×20×20×20＝6.4＞3.841，
所以有95％的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异.
方法技巧
概率与独立性检验综合问题的解题思路
（1）收集数据列出2×2列联表，并按照公式求得?2的值后进行比较并判断；
（2）按照随机变量满足的概率模型求解.
训练3 [2022新高考卷Ⅰ]一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：
（1）能否有99％的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”，P（B｜A）P（B｜A）与P（B｜A）P（B｜A）的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.
（i）证明：R＝P（A｜B）P（A｜B）·P（A｜B）P（A｜B）.
（ii）利用该调查数据，给出P（A｜B），P（A｜B）的估计值，并利用（i）的结果给出R的估计值.
附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d），
解析 （1）K2＝200×（40×90－60×10）250×150×100×100＝24＞6.635，所以有99％的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）（i）R＝P（B｜A）P（B｜A）P（B｜A）P（B｜A）＝P（B｜A）·P（B｜A）P（B｜A）·P（B｜A），
由题意知，证明P（B｜A）·P（B｜A）P（B｜A）·P（B｜A）＝P（A｜B）·P（A｜B）P（A｜B）·P（A｜B）即可，
左边＝P（AB）P（A）·P（A B）P（A）P（AB）P（A）·P（A B）P（A）＝P（AB）·P（A B）P（AB）·P（AB），
右边＝P（AB）P（B）·P（A B）P（B）P（AB）P（B）·P（AB）P（B）＝P（AB）·P（A B）P（AB）·P（AB）.
左边＝右边，故R＝P（A｜B）P（A｜B）·P（A｜B）P（A｜B）.
（ii）由调查数据可知P（A｜B）＝40100＝25，P（A｜B）＝10100＝110，
且P（A｜B）＝1－P（A｜B）＝35，P（A｜B）＝1－P（A｜B）＝910，
所以R＝2535×910110＝6.＜m
≥m
对照组
试验组
P（K2≥k）
0.100 0.050 0.010
k
2.706 3.841 6.635
X
0
1
2
P
14
12
14
＜m
≥m
对照组
6
14
试验组
14
6
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
P（K2≥k）
0.050 0.010 0.001
k
3.841 6.635 10.828