备考2024届高考数学一轮复习强化训练第十章计数原理概率随机变量及其分布突破2概率与统计的综合

这是一份备考2024届高考数学一轮复习强化训练第十章计数原理概率随机变量及其分布突破2概率与统计的综合，共3页。试卷主要包含了05＋170×0等内容，欢迎下载使用。

（1）请根据频率分布折线图，估计该环保产品的市场月需求量的平均值及方差；
（2）以频率分布折线图的频率估计概率，若该公司计划环保产品的月产量n∈[180，190]，n∈N*（单位：件），求月利润Y（单位：万元）的数学期望的最大值.
参考数据：∑i=15xi2pi＝32 850，xi是各组区间中点值，pi是各组月需求量对应的频率，i＝1，2，3，4，5.
解析 （1）由题意，得该环保产品的市场月需求量的平均值x＝160×0.05＋170×0.2＋180×0.4＋190×0.3＋200×0.05＝181（件）.
解法一 该环保产品的市场月需求量的方差s2＝∑i=15xi2pi－x2＝32 850－1812＝89.
解法二 s2＝∑i=15xi-x2pi=160-1812×0.05+170-1812×0.2+180-1812×0.4+190-1812×0.3+200-1812×0.05=89.
（2）设市场月需求量为M件，由题意知，M的所有可能值为160，170，180，190，200，则M的分布列为
当180≤n≤190，n∈N*时，
若市场月需求量为160，则Y＝96－0.2n；
若市场月需求量为170，则Y＝102－0.2n；
若市场月需求量为180，则Y＝108－0.2n；
若市场月需求量为190或200，则Y＝0.4n.
故E（Y）＝（96－0.2n）×0.05＋（102－0.2n）×0.2＋（108－0.2n）×0.4＋0.4n×0.35＝68.4＋0.01n.
又n∈[180，190]，故当n＝190时，月利润Y的数学期望取得最大值，为70.3万元.
2.[命题点2/多选/2023沈阳市三检]下列命题中正确的是（ ABD ）
A.已知一组数据6，6，7，8，10，12，则这组数据的50％分位数是7.5
B.已知随机变量X～N（2，σ2），且P（X＞3）＝0.3，则P（1＜X＜2）＝0.2
C.已知随机变量Y～B（10，12），则E（Y）＝52
D.已知经验回归方程y^＝－2x＋3，则y与x具有负线性相关关系
解析 数据6，6，7，8，10，12的50％分位数，即中位数，为7+82＝7.5，所以选项A正确；因为随机变量X～N（2，σ2），且P（X＞3）＝0.3，所以P（2＜X＜3）＝P（X＞2）－P（X＞3）＝0.5－0.3＝0.2，则P（1＜X＜2）＝P（2＜X＜3）＝0.2，所以选项B正确；因为随机变量Y～B（10，12），所以E（Y）＝10×12＝5，所以选项C错误；因为经验回归方程y^＝－2x＋3中，x的系数为负，所以y与x具有负线性相关关系，所以选项D正确.综上，选ABD.
3.[命题点3/2024平许济洛第一次质检]“马街书会”是流行于河南省宝丰县的传统民俗活动，为国家级非物质文化遗产之一.每年农历正月十三为书会正日，届时来自各地的说书艺人负鼓携琴，汇集于此，说书亮艺，河南坠子、道情、琴书等曲种应有尽有，规模壮观.为了解人们对该活动的喜爱程度，现随机抽取200人进行调查统计，得到如下列联表：
单位：人
（1）完成2×2列联表，并依据小概率值α＝0.1的独立性检验，判断人们对该活动的喜爱程度是否与性别有关联.
（2）为宣传曲艺文化知识，当地文化局在书会上组织了戏曲知识竞赛活动.活动规定从8道备选题中随机抽取4道题进行作答.假设在8道备选题中，戏迷甲正确完成每道题的概率都是34，且每道题正确完成与否互不影响；戏迷乙只能正确完成其中的6道题.
①求戏迷甲至少正确完成其中3道题的概率；
②设随机变量X表示戏迷乙正确完成题的个数，求X的分布列及数学期望.
附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.
解析 （1）补全的 2×2 列联表如下：
单位：人
零假设为H0：人们对该活动的喜爱程度与性别无关.
根据表中数据，计算得到χ2＝200×（30×55－90×25）255×145×120×80＝300319＜2.706.
根据小概率值α＝0.1 的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，
因此我们可以认为H0成立，即认为人们对该活动的喜爱程度与性别无关.
（2）①记“戏迷甲至少正确完成其中 3 道题”为事件A，则
P（A）＝C43（34）314＋C44（34）4＝189256.
②X的所有可能取值为 2，3，4，
P（X＝2）＝C22C62C84＝1570＝314，P（X＝3）＝C21C63C84＝4070＝47，
P（X＝4）＝C20C64C84＝1570＝314，
X的分布列为
X的数学期望E（X）＝2×314＋3×47＋4×314＝3.M
160
170
180
190
200
P
0.05
0.2
0.4
0.3
0.05
不喜爱
喜爱
合计
男性
90
120
女性
25
合计
200
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
不喜爱
喜爱
合计
男性
30
90
120
女性
25
55
80
合计
55
145
200
X
2
3
4
P
314
47
314