备考2024届高考数学一轮复习好题精练第三章一元函数的导数及其应用突破5极值点偏移问题命题点2比差值换元法求极值点偏移问题

这是一份备考2024届高考数学一轮复习好题精练第三章一元函数的导数及其应用突破5极值点偏移问题命题点2比差值换元法求极值点偏移问题，共3页。
（1）讨论函数f（x）的单调性.
（2）记函数f（x）的导函数为f'（x）.当a＞0时，若x1，x2（0＜x1＜x2）满足f（x1）＝
f（x2），证明：f'（x1）＋f'（x2）＜0.
解析 （1）函数f（x）＝2ax－ln x的定义域为（0，＋∞），
且f'（x）＝2a－1x＝2ax－1x，x＞0.
①当a≤0时，f'（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立，
所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减.
②当a＞0时，令f'（x）＝0，可得x＝12a，
当x∈（0，12a）时，f'（x）＜0；当x∈（12a，＋∞）时，f'（x）＞0.
所以f（x）在（0，12a）上单调递减，在（12a，＋∞）上单调递增.
综上所述，当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递减；当a＞0时，f（x）在（0，12a）上单调递减，在（12a，＋∞）上单调递增.
（2）由x1，x2（0＜x1＜x2）满足f（x1）＝f（x2），可得2ax1－ln x1＝2ax2－ln x2，即lnx1－lnx2x1－x2＝2a.
因为f'（x1）＋f'（x2）＝2a－1x1＋2a－1x2＝4a－x1＋x2x1x2，
所以欲证f'（x1）＋f'（x2）＜0，即证x1＋x2x1x2＞4a，
即证x1＋x2x1x2＞2（lnx1－lnx2）x1－x2，
即证2lnx1x2＞x12－x22x1x2＝x1x2－x2x1.
设x1x2＝t（0＜t＜1），即证2ln t＋1t－t＞0.
设h（t）＝2ln t＋1t－t（0＜t＜1），则h'（t）＝2t－1t2－1＝－（t－1）2t2＜0在（0，1）上恒成立，
所以h（t）在（0，1）上单调递减，所以h（t）＞0，
所以2ln t＋1t－t＞0，即f'（x1）＋f'（x2）＜0.
方法技巧
比（差）值换元的解题要点：通过t＝x1x2或t＝x1－x2，消掉变量x1，x2，构造关于t的函数h（t）进行求解.
训练2 已知函数f（x）＝lnx+1ax.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若（ex1）x2＝（ex2）x1（e是自然对数的底数），且x1＞0，x2＞0，x1≠x2，证明：x12＋x22＞2.
解析 （1）由f（x）＝lnx+1ax得f'（x）＝－lnxax2，
令f'（x）＝0，得x＝1.
当a＞0时，若x∈（0，1），则f'（x）＞0；
若x∈（1，＋∞），则f'（x）＜0.
所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.
当a＜0时，若x∈（0，1），则f'（x）＜0；
若x∈（1，＋∞），则f'（x）＞0.
所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增.
综上，当a＞0时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减；当a＜0时，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增.
（2）由（ex1）x2＝（ex2）x1，两边取对数，得x2ln（ex1）＝x1ln（ex2），
即x2（ln x1＋1）＝x1（ln x2＋1），所以lnx1+1x1＝lnx2+1x2，
即当a＝1时，存在x1＞0，x2＞0，x1≠x2，满足f（x1）＝f（x2）.
由（1）可知，当a＝1时，f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，所以f（x）≤f（1）＝1.
当x∈（1，＋∞）时，f（x）＝lnx+1x＞0，
由于f（1e）＝0，故f（x）在（1e，1）上恒有f（x）＞0.
不妨令x1＜x2，记f（x1）＝f（x2）＝m，则m∈（0，1），且ln x1＋1＝mx1 ①，ln x2＋1＝mx2 ②，
①＋②得ln（x1x2）＝m（x1＋x2）－2 ③，
①－②得lnx1x2＝m（x1－x2），则m＝1x1－x2lnx1x2，代入③得ln（x1x2）＝（x1＋x2）x1－x2lnx1x2－2.
记t＝x1x2，0＜t＜1，则ln（x1x2）＝t+1t－1ln t－2＝（t+1）lnt－2（t－1）t－1.
设g（t）＝（t＋1）ln t－2（t－1）（0＜t＜1），则g'（t）＝ln t＋1t－1.
设h（t）＝ln t＋1t－1（0＜t＜1），则h'（t）＝1t－1t2＝t－1t2＜0，所以h（t）在（0，1）上单调递减.
又因为h（1）＝0，所以当t∈（0，1）时，h（t）＝g'（t）＞0，即g（t）在（0，1）上单调递增，
又g（1）＝0，所以当t∈（0，1）时，g（t）＜0，所以当t∈（0，1）时，ln（x1x2）＝（t+1）lnt－2（t－1）t－1＞0，
所以x1x2＞1，所以x12＋x22＞2x1x2＞2.