备考2024届高考数学一轮复习好题精练第三章一元函数的导数及其应用突破2利用导数研究恒能成立问题命题点1分离参数求参数范围

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例1 [2023湖南衡阳5月三模]已知函数f（x）＝2x＋ln x＋a.
（1）当a＝0时，求f（x）的极值；
（2）若对于任意的x∈[1，e2]，f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围.
解析 （1）当a＝0时，f（x）＝2x＋ln x，则f'（x）＝－2x2＋1x＝x－2x2，
当0＜x＜2时，f'（x）＜0，当x＞2时，f'（x）＞0，列表如下.
所以f（x）的极小值为f（2）＝1＋ln 2，无极大值.
（2）f（x）＝2x＋ln x＋a≤0，即a≤－2x－ln x.
令g（x）＝－2x－ln x，x∈[1，e2]，则a≤g（x）min.
求导得g'（x）＝2x2－1x＝2－xx2，当1≤x＜2时，g'（x）＞0，当2＜x≤e2时，g'（x）＜0，
所以g（x）在[1，2）上单调递增，在（2，e2]上单调递减.
因为g（1）＝－2，g（e2）＝－2e2－ln e2＝－2e2－2，所以g（1）＞g（e2），所以g（x）min＝g（e2）＝－2e2－2.
所以a≤g（x）min＝－2e2－2，
即实数a的取值范围为（－∞，－2e2－2].
方法技巧
步骤：（1）利用不等式的性质，将参数分离出来，转化为f（x）＞a或f（x）＜a的形式；
（2）通过研究函数的性质求出f（x）的最值；
（3）得出参数a的取值范围.
技巧：（1）f（x）＞a恒成立⇔f（x）min＞a；
f（x）＜a恒成立⇔f（x）max＜a.
（2）f（x）＞a有解⇔f（x）max＞a；
f（x）＜a有解⇔f（x）min＜a.
训练1 [2024辽宁省联考]已知函数f（x）＝ln（x＋1）－ax＋2.
（1）若a＝2，求f（x）在x＝0处的切线方程；
（2）当x≥0时，f（x）＋2x＋xln（x＋1）≥0恒成立，求整数a的最大值.
解析 （1）若a＝2，则f（x）＝ln（x＋1）－2x＋2，f（0）＝2，则切点坐标为（0，2），
f'（x）＝1x+1－2，则切线斜率为f'（0）＝－1，
所以切线方程为y－2＝－（x－0），即x＋y－2＝0.
（2）由f（x）＋2x＋xln（x＋1）≥0，得ax≤（x＋1）·[ln（x＋1）＋2]，
当x＝0时，a×0≤2，a∈R；
当x＞0时，a≤（x+1)[ln（x+1）+2]x，
设g（x）＝（x+1)[ln（x+1）+2]x，g'（x）＝x－2－ln（x+1）x2，
设h（x）＝x－2－ln（x＋1），h'（x）＝xx+1＞0，
则h（x）在（0，＋∞）单调递增，
因为h（3）＝1－ln 4＜0，h（4）＝2－ln 5＞0，
所以存在x0∈（3，4）使得h（x0）＝0，
即x0－2＝ln（x0＋1）.
当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，即g'（x）＜0；当x∈（x0，＋∞）时，h（x）＞0，即
g'（x）＞0.
则g（x）在（0，x0）单调递减，在（x0，＋∞）单调递增，g（x）min＝g（x0），
所以a≤g（x0）＝（x0+1)[ln（x0+1）+2]x0＝（x0+1)[(x0－2）+2]x0＝x0＋1.
因为x0∈（3，4），所以x0＋1∈（4，5），所以整数a的最大值为4.x
（0，2）
2
（2，＋∞）
f'（x）
－
0
＋
f（x）
↘
极小值
↗