备考2024届高考数学一轮复习分层练习第一章集合常用逻辑用语与不等式第3讲等式性质与不等式性质

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1.[2024四川广安模拟]已知P＝a2＋3，Q＝4a－1，则P，Q的大小关系是（ A ）
A.P≥QB.P＞Q
C.P≤QD.P＜Q
解析 P＝a2＋3，Q＝4a－1，P－Q＝a2＋3－4a＋1＝（a－2）2≥0，故P≥Q，故选A.
2.[2022上海高考]已知实数a，b，c，d满足：a＞b＞c＞d，则下列选项中正确的是（ B ）
A.a＋d＞b＋cB.a＋c＞b＋d
C.ad＞bcD.ac＞bd
解析 对于选项A，如取a＝4，b＝3，c＝2，d＝－4，此时a＋d＜b＋c，故A错误；
对于选项B，a＋c＞b＋c＞b＋d，故B正确；
对于选项C，D，如取a＝4，b＝－1，c＝－2，d＝－3，此时ad＜bc，ac＜bd，故C，D错误.故选B.
3.[2024陕西西安模拟]若a＜b＜0＜c＜d，则（ C ）
A.ac＜adB.a－c＞b－d
C.ca＞dbD.a＋cb＞b＋dc
解析 对于A，因为a＜0，c＜d，所以ac＞ad，故选项A错误；
对于B，取a＝－4，b＝－1，c＝1，d＝2，则a－c＝－5，b－d＝－3，故选项B错误；
对于C，ca－db＝bc－adab＞ac－adab＞0，所以ca＞db，故选项C正确；
对于D，取a＝－2，b＝－1，c＝1，d＝2，则a＋cb＝1，b＋dc＝1，故选项D错误.故选C.
4.已知0＜a＜b＜1，设m＝blna，n＝alnb，p＝ln（lnalnb），则m，n，p的大小关系为（ A ）
A.m＜n＜pB.n＜m＜p
C.p＜m＜nD.p＜n＜m
解析 由0＜a＜b＜1，得ba＞1，且ln a＜ln b＜0，即有lnalnb＞1，因此，ln（lnalnb）＞0，即p＞0，由m＜0，n＜0，mn＝blnaalnb＝ba·lnalnb＞1，得m＜n＜0，所以m＜n＜p.故选A.
5.[2024山东烟台模拟]已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是（ B ）
A.xy＞yzB.xy＞xz
C.xz＞yzD.x｜y｜＞｜y｜z
解析 因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0，y的符号无法确定.
对于A，由题意得x＞z，若y＜0，则xy＜0＜yz，故A错误；
对于B，因为y＞z，x＞0，所以xy＞xz，故B正确；对于C，因为x＞y，z＜0，所以xz＜yz，故C错误；
对于D，当｜y｜＝0时，x｜y｜＝｜y｜z，故D错误.故选B.
6.[2024广西柳州模拟]一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应该不小于10％，而且这个比值越大，采光效果越好.若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果（ B ）
A.变坏了B.变好了
C.不变D.无法判断
解析 设a和b分别表示公寓原来的窗户面积和地板面积，m表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），由题意得0＜a＜b，m＞0，则a＋mb＋m－ab＝ab＋bm－ab－amb（b＋m）＝m（b－a）b（b＋m），
因为b＞0，m＞0，所以b（b＋m）＞0，
又因为a＜b，则b－a＞0，
所以a＋mb＋m－ab＞0，即a＋mb＋m＞ab，
所以同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果变好了.
故选B.
7.[多选]若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论正确的是（ BCD ）
A.ad＞bcB.ad＋bc＜0
C.a－c＞b－dD.a（d－c）＞b（d－c）
解析 因为a＞0＞b，c＜d＜0，所以ad＜0，bc＞0，所以ad＜bc，故A错误；因为0＞
b＞－a，所以a＞－b＞0，因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，所以a（－c）＞（－b）·
（－d），所以ac＋bd＜0，又cd＞0，所以ac＋bdcd＝ad＋bc＜0，故B正确；因为c＜d，所以－c＞－d，因为a＞b，所以a＋（－c）＞b＋（－d），即a－c＞b－d，故C正确；因为a＞0＞b，d－c＞0，所以a（d－c）＞b（d－c），故D正确.
8.[多选]若a＞0，b＞0，则使a＞b成立的充要条件是（ ABD ）
A.a2＞b2B.a2b＞ab2
C.ba＞b+1a+1D.a＋1b＞b＋1a
解析 对于A，因为a＞0，b＞0，所以a＞b⇔a2＞b2，A选项符合题意；
对于B，因为a＞0，b＞0，所以a2b＞ab2⇔ab（a－b）＞0⇔a＞b，B选项符合题意；
对于C，当a＞b＞0时，ba－b+1a+1＝b（a+1)－a（b+1）a（a+1）＝b－aa（a+1）＜0，即ba＜b+1a+1，C选项不符合题意；
对于D，当a＞b＞0时，1b＞1a＞0，所以a＋1b＞b＋1a，反之，由a＞0，b＞0，a＋1b＞b＋1a，可得a＋1bb＋1a＞1，即a（ab+1）b（ab+1）＞1，即ab＞1，所以a＞b，D选项符合题意.故选ABD.
9.[多选/2024安徽模拟]已知2＜x＜3，－2＜y＜1，则下列选项正确的是（ CD ）
A.－23＜yx＜12B.2＜xy2＜12
C.－6＜xy＜3D.3＜2x－y＜8
解析 对于A，2＜x＜3，13＜1x＜12，当y＝0时，yx＝0；当0＜y＜1时，0＜yx＜12；当－2＜y＜0时，0＜－y＜2，0＜－yx＜1，－1＜yx＜0.所以－1＜yx＜12，A选项错误.对于B，－2＜y＜1，当y＝0时，xy2＝0，B选项错误.对于C，当y＝0时，xy＝0；当0＜y＜1时，0＜xy＜3；当－2＜y＜0时，0＜－y＜2，0＜－xy＜6，－6＜xy＜0.所以－6＜xy＜3，C选项正确.对于D，由2＜x＜3，得4＜2x＜6，由－2＜y＜1，得－1＜－y＜2，所以3＜2x－y＜8，D选项正确.故选CD.
10.[2024安徽省淮南市模拟]已知1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4，则4a－2b的取值范围是 [5，10] .
解析 令 4a－2b＝m（a－b）＋n（a＋b）＝（m＋n）a＋（n－m）b，则m＋n=4，n－m＝－2，解得n=1，m=3.因为1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4，所以5≤3（a－b）＋（a＋b）≤10，所以5≤4a－2b≤10.
11.若a＝ln33，b＝ln44，c＝ln55，则（ B ）
A.a＜b＜cB.c＜b＜a
C.c＜a＜bD.b＜a＜c
解析 解法一 易知a，b，c都是正数，ba＝3ln44ln3＝lg8164＜1，所以a＞b；bc＝5ln44ln5＝
lg6251 024＞1，所以b＞c，即c＜b＜a.故选B.
解法二 构造函数f（x）＝lnxx，则f'（x）＝1－lnxx2，由f'（x）＞0，得0＜x＜e；由
f'（x）＜0，得x＞e，所以f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减，所以f（3）＞f（4）＞f（5），即a＞b＞c.故选B.
12.[2024河南郑州模拟]某品牌手机为了打开市场，促进销售，准备对其特定型号的产品降价，有四种降价方案：①先降价a％，再降价b％；②先降价a＋b2％，再降价a％；③先降价a＋b2％，再降价a＋b2％；④一次性降价（a＋b）％.其中a＞b＞0，则最终降价幅度最小的方案是（ C ）
A.①B.②C.③D.④
解析 设原价为1，对于①，降价后的价格为（1－a％）（1－b％），
对于②，降价后的价格为（1－a＋b2％）（1－a％），
对于③，降价后的价格为（1－a＋b2％）2，
对于④，降价后的价格为1－（a＋b）％.
（1－a％）（1－b％）＝1－（a＋b）％＋a％b％＞1－（a＋b）％，所以①＞④.
因为a＞b，所以（1－a＋b2％）2－（1－a％）（1－b％）＝（a％＋b％2）2－a％b％＝（a％＋b％）2－4a％b％4＝（a％－b％2）2＞0，所以①＜③.
因为a＞b，所以a％＞a＋b2％，1－a％＜1－a＋b2％，（1－a＋b2％）（1－a％）＜（1－a＋b2％）2，所以②＜③.
则最终降价幅度最小的方案是③.故选C.
13.[多选/2024广东名校联考]若a＝ln b＋1，c＝eb－1，则（ ACD ）
A.a≤bB.c≤bC.a＜cD.b＜c
解析 a－b＝ln b－b＋1，构造函数f（x）＝ln x－x＋1，则f'（x）＝1x－1，所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，所以f（x）≤f（1）＝0，所以a≤b.
c－b＝eb－b－1，构造函数g（x）＝ex－x－1（x＞0），则g'（x）＝ex－1，因为x＞0，所以g'（x）＞0，所以g（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以g（x）＞e0－1＝0，所以c＞b.综上，a≤b＜c，故选ACD.
14.b克糖水中有a克糖（b＞a＞0），若再添加m克糖（m＞0），就会使糖水变得更甜，试根据这个事实提炼出一个不等式： ab＜a＋mb＋m .
解析 原来糖水浓度为ab，添加m克糖后变为a＋mb＋m，糖水变甜，意味着ab＜a＋mb＋m.
15.[多选/2024山东菏泽模拟]下列结论一定正确的有（ AD ）
A.若ln a2＞ln b2，则2｜a｜＞2｜b｜
B.若｜a｜a2＞｜b｜b2，则2a＜2b
C.若b＞a＞e，则ab＜ba
D.若0＜2a＜b＜3－a2，则sin a＜sin b2
解析 由ln a2＞ln b2可得a2＞b2，即｜a｜＞｜b｜，而y＝2x是增函数，所以2｜a｜＞2｜b｜成立，故A正确.由｜a｜a2＞｜b｜b2可得1｜a｜＞1｜b｜，故｜b｜＞｜a｜，若取a＝1，b＝－2，则
2a＞2b，所以2a＜2b不一定成立，故B错误.若取b＝4，a＝3，满足b＞a＞e，但34＝81＞43＝64，即ab＞ba，故ab＜ba不一定成立，故C错误.由0＜2a＜b＜3－a2可知0＜2a＜b＜3，所以0＜a＜b2＜32＜π2，而y＝sin x在x∈（0，π2）上单调递增，所以sin a＜sin b2，故D正确.故选AD.