河北省石家庄市赵县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份河北省石家庄市赵县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．下列分式中，属于最简分式的是（ ）．
A．B．C．D．
2．计算的结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．若分式的值为零，则x的值为（ ）
A．2B．3C．D．2或
5．若，，则的值为（ ）
A．B．11C．23D．27
6．如图在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是，则经过第2019次变换后，所得A点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，数学课上，老师让学生尺规作图画∠MON的角平分线OB．小明的作法如图所示，连接BA、BC，你认为这种作法中判断△ABO≌△CBO的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．AAS
8．已知时，代数式的值为（ ）
A．6B．－2C．6或－2D．0
9．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称点的坐标在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．如图，在中，H是高和的交点，且，已知，，则的长为（ ）
A．5B．7C．9D．11
11．若关于x的方程－3=有增根，则增根为（ ）
A．x=6B．x=5
C．x=4D．x=3
12．已知5x=3，5y=2，则52x﹣3y=（ ）
A．B．1C．D．
13．当n为自然数时，（n+1）2﹣（n﹣3）2一定能（ ）
A．被5整除B．被6整除C．被7整除D．被8整除
14．下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ）
A．B．C．D．
15．，则的值是（ ）
A．－8B．－4C．D．16
16．为了践行“绿色生活”的理念，甲、乙两人每天骑自行车出行，甲匀速骑行40千米的时间与乙匀速骑行35千米的时间相同，已知甲每小时比乙每小时多骑行2千米，设甲每小时骑行x千米，根据题意列出的方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
17．若是完全平方式，则 m 的值是 ．
18．如图，CD是等边△ABC的中线，，垂足为点E．若DE的长度为3cm，则点D到BC的距离为 cm．
19．如图，某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，将阴影部分进行绿化，则阴影部分的面积 （用含有a，b的式子表示）．若，时，绿化的面积 ．
三、解答题
20．完成下列各题
(1)因式分解．
(2)先化简，再求值：，其中．
(3)解分式方程：．
21．如图，在等边三角形中，是中线，延长至，使，求证：．
22．如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，顶点A，B，C在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出关于直线L成轴对称的；
(2)在直线L上找一点P，使的长最短，标出点P（保留作图痕迹）．
23．甲乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，第一次的价格为m元/千克，第二次的价格为n元/千克（m，n是正数，且），甲每次购买800千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料．
(1)甲、乙所购饲料的平均单价各是多少元？
(2)谁的购买方式平均单价较低？
24．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了，过程如下：
这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
(1)分解因式；
(2)若三边a，b，c满足，判断的形状．
25．在“双十二”期间，两个超市开展促销活动，活动方式如下：
超市：购物金额打9折后，若超过2000元再优惠300元；
超市：购物金额打8折．
某学校计划购买某品牌的篮球做奖品，该品牌的篮球在两个超市的标价相同，根据商场的活动方式：
（1）若一次性付款4200元购买这种篮球，则在商场购买的数量比在商场购买的数量多5个，请求出这种篮球的标价；
（2）学校计划购买100个篮球，请你设计一个购买方案，使所需的费用最少．（直接写出方案）
26．完成下列各题
问题初探
如图1，中，，，点D是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，猜想和有怎样的数量关系，并说明理由．
图1
类比再探
如图2，中，，，点M是上一点，点D是上一点，连接，以为一边作，使，，连接，则______．（直接写出答案，不写过程，但要求作出辅助线）
图2
方法迁移
如图3，是等边三角形，点D是上一点，连接，以为一边作等边，连接，则之间有怎样的数量关系？______（直接写出答案）
图3
拓展创新
如图4，是等边三角形，点M是上一点，点D是上一点，连接，以为一边作等边，连接，猜想的度数并说明理由．
图4
参考答案：
1．D
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【详解】A. ，该选项错误；
B. ，该选项错误；
C. ，该选项错误；
D. ，分子、分母中没有公因式，是最简分式；
故选：D
【点睛】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．
2．A
【分析】直接利用积的乘方运算法则计算得出答案．
【详解】解：（-b2）3=-b6．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．
3．C
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方法则分别计算即可．
【详解】解：A．不能合并，故错误，本选项不合题意；
B．，故错误，本选项不合题意；
C．，故正确，本选项符合题意；
D．，故错误，本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
4．C
【分析】本题主要考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零时，需满足分子为零而分母不为零两个条件，是解决问题的关键．分式的值为零的前提是分式有意义，即分式的分母不能为零．根据分式的值为零，得到且，得到．
【详解】解：分式的值为零，
且，
解得或且，
．
故选：C．
5．B
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，根据进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了轴对称的坐标变换，点的坐标变换规律探究，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．
观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2019除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．
【详解】解：点A第一次关于x轴对称后在第四象限，所得A点的坐标是；
点A第二次关于y轴对称后在第三象限，所得A点的坐标是；
点A第三次关于x轴对称后在第二象限，所得A点的坐标是；
点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，所得A点的坐标是；
所以，每四次对称为一个循环组依次循环，
∵余3，
∴经过第2019次变换后所得的A点与第三次变换的位置相同，在第二象限，坐标为．
故选：C．
7．A
【分析】根据作图的方法确定三角形全等的判定方法．
【详解】作法：①以O为圆心，任意长为半径画弧，交MO、NO于点A、G，
②再分别以A、G为圆心，大于AG长为半径画弧，两弧交于点B，
③画射线OB，射线OB即为所求，
由作图过程可得：OA=OG，AB=GB，而OB=OB，
则用到的三角形全等的判定方法是：SSS．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定，作线段相等，理解三角形全等的判定是解题的关键．
8．B
【分析】本题考查分式化简求值．先化简分式，再把代入计算即可．
【详解】解：
∵
∴
∵
∴
当时，原式．
故选：B．
9．C
【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，判定点所在象限．解答本题的关键在于熟练掌握关于x轴对称的点，x值相同，y值互为相反数．
先根据关于x轴对称点的坐标特征，求出点关于x轴对称点的坐标，再根据各象限内点的坐标特征判定点所在象限即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中．点关于x轴的对称点的坐标是，
∴点关于x轴对称点的坐标在第三象限内．
故选：C．
10．B
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：∵H是高和的交点，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
11．B
【分析】根据分式方程有增根即分式方程的分母为0进行求解即可．
【详解】解：∵方程－3＝有增根，
∴x-5=0，
解得x=5.
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式方程有增根的情况，熟知分式方程有增根即分式方程的分母为0是解题的关键．
12．D
【分析】首先根据幂的乘方的运算方法，求出52x、53y的值；然后根据同底数幂的除法的运算方法，求出52x﹣3y的值为多少即可．
【详解】∵5x=3，5y=2，
∴52x=32=9，53y=23=8，
∴52x﹣3y=．
故选D．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法法则，以及幂的乘方与积的乘方，同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．
13．D
【分析】先把（n+1）2﹣（n﹣3）2分解因式可得结果为：从而可得答案.
【详解】解： （n+1）2﹣（n﹣3）2



n为自然数
所以（n+1）2﹣（n﹣3）2一定能被8整除，
故选D
【点睛】本题考查的是利用平方差公式分解因式，掌握“”是解题的关键.
14．B
【分析】根据平方差公式的结构特点逐项判断即得答案；平方差公式是.
【详解】解：A、，能运用平方差公式进行运算；
B、，不能运用平方差公式进行运算；
C、，能运用平方差公式进行运算；
D、，能运用平方差公式进行运算．
故选：B.
【点睛】本题考查了平方差公式，熟知平方差公式的结构特点是解题的关键.
15．D
【分析】先利用多项式乘以多项式的计算法则将所给式子左边展开，进而求出a、b的值，然后代值计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式，正确推出是解题的关键．
16．A
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程的建模能力．题目已经设甲每小时骑行x千米，则乙每小时骑行千米，根据题意可得等量关系：甲匀速骑行30千米的时间=乙匀速骑行25千米的时间，再根据路程、速度、时间之间的关系和题目中的等量关系列出方程即可．
【详解】解：设甲每小时骑行x千米，则乙每小时骑行千米，根据题意得：
，
故选：A．
17．4或-2
【分析】根据完全平方式的形式即可得出m的值．
【详解】∵是完全平方式
∴或
解得或
故答案为：4或-2
【点睛】本题主要考查完全平方式，掌握完全平方式的形式是解题的关键．
18．3
【分析】过点D作DF⊥BC于F，因为CD是等边△ABC的中线，根据“三线合一”性质得CD平分∠ACB，再由DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，根据角平分线的性质得DF=DE，即可求解．
【详解】解：如图，过点D作DF⊥BC于F，
∵CD是等边△ABC的中线，
∴CD平分∠ACB，
∵DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，
∴DF=DE=3cm，
故答案为：3．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握等边三角形“三线合一”与角平分线的性质是解题的关键．
19． /
【分析】本题主要考查了整式混合运算的应用，代数式求值，解题的关键是将阴影部分看作长为，宽为的长方形．
【详解】解：阴影部分的面积为：
，
把，代入得：
．
故答案为：；32．
20．(1)
(2)4
(3)
【分析】本题考查因式分解，分式化简求值，解分式方程．
（1）先提同公因式，再用平方差公式分解即可；
（2）先根据分式混合运算法则化简分式，再把代入化简式计算即可，
（3）先去分式转化成整式方程求解，再检验即可求解．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
当时，原式．
（3）解：方程两边同时乘以，得
解得：．
检验：把代入得，
∴是原方程的解．
∴原方程的解为．
21．见解析
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质；
根据等边三角形的性质求出，，然后根据三角形外角的性质和等边对等角求出，得到，再根据等角对等边得出结论．
【详解】证明：∵在等边三角形中，是中线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
22．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了画轴对称图形，轴对称最短路径问题：
（1）根据轴对称的特点找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可；
（2）如图所示，连接交L于P，点P即为所求．
【详解】（1）解；如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，连接交L于P，点P即为所求．
23．(1)甲的平均价格是，乙的平均价格是
(2)所以乙的购买方式平均单价低．
【分析】此题考查了列代数式，分式的混合运算的应用，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．
（1）表示出甲乙两人的总千克数与总钱数，用总钱数除以总千克数，即可表示出甲、乙两名采购员两次购买饲料的平均单价；
（2）由表示出的甲、乙两名采购员两次购买饲料的平均单价相减，通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理后根据完全平方式大于等于0，判断其差的正负，即可得到乙的购货方式合算．
【详解】（1）解：甲的平均价格是（元）
乙的平均价格是：（元）
（2）解：甲－乙 即
因为（），
所以，
所以，即
所以．
所以乙的购买方式平均单价低．
24．(1)
(2)是等腰三角形．
【分析】本题考查分组分解法分解因式，因式分解的应用，等腰三角形的定义．
（1）先将三项分一个组，运用完全正确平方公式分解，再运用平方差公式分解即可；
（2）先运用因式分解，将等式变形为，从而得出或，再根据等腰三角形的定义，即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
，
，
或，
或，
∵a，b，c是的三边，
∴是等腰三角形．
25．（1）这种篮球的标价为每个50元；（2）见解析
【分析】（1）设这种篮球的标价为每个x元，根据题意可知在B超市可买篮球个，在A超市可买篮球个，根据在B商场比在A商场多买5个列方程进行求解即可；
（2）分情况，单独在A超市买100个、单独在B超市买100个、两家超市共买100个进行讨论即可得．
【详解】（1）设这种篮球的标价为每个x元，
依题意，得，
解得：x=50，
经检验：x=50是原方程的解，且符合题意，
答：这种篮球的标价为每个50元；
（2）购买100个篮球，最少的费用为3850元，
单独在A超市一次买100个，则需要费用：100×50×0.9-300=4200元，
在A超市分两次购买，每次各买50个，则需要费用：2（50×50×0.9-300）=3900元，
单独在B超市购买：100×50×0.8=4000元，
在A、B两个超市共买100个，
根据A超市的方案可知在A超市一次购买：=44，即购买45个时花费最小，为45×50×0.9-300=1725元，两次购买，每次各买45个，需要1725×2=3450元，其余10个在B超市购买，需要10×50×0.8=400元，这样一共需要3450+400=3850元，
综上可知最少费用的购买方案：在A超市分两次购买，每次购买45个篮球，费用共为3450元；在B超市购买10个，费用400元，两超市购买100个篮球总费用3850元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．
26．问题初探:理由见解析
类比再探：，图形见解析
方法迁移：
拓展创新：，理由见解析
【分析】问题初探：证明，得到；
类比再探：过点M作交于点F，推出，，证明，得到，根据，即可得解；
方法迁移：证明，得到，即可得到；
拓展创新：过点M作交BC于点G，得到是等边三角形，再证明，得到，根据，即可得解．
【详解】解：问题初探：
理由如下：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴.
类比再探：，
理由如下：过点M作交BC于点F，则：，
在中，，
∴，
∴，
∴，
同（1）可得：，
∴，
∴，
故答案为：；
方法迁移：，
理由如下：
∵和是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
拓展创新：，
理由：过点M作交于点G，
则，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．本题的综合性较强，解题的关键是添加辅助线，构造手拉手全等模型，证明三角形全等．