备考2024届高考物理一轮复习讲义第五章万有引力与宇宙航行第1讲万有引力定律及应用考点3中心天体质量和密度的估算

这是一份备考2024届高考物理一轮复习讲义第五章万有引力与宇宙航行第1讲万有引力定律及应用考点3中心天体质量和密度的估算，共4页。试卷主要包含了8×26等内容，欢迎下载使用。

1798年英国物理学家卡文迪什测出引力常量G，因此卡文迪什被人们称为“能称出地球质量的人”.
（1）若已知引力常量G＝6.67×10－11N·m2/kg2，重力加速度g取9.8m/s2，地球半径R＝6.4×106m，地球质量是 6×1024kg .（保留1位有效数字）
（2）若有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，则该星球的质量是地球质量的 64 倍.
解析 （1）根据万有引力等于重力，有GMmR2＝mg，则M＝gR2G＝9.8×（6.4×106）26.67×10－11kg＝6×1024kg.
（2）根据GM＝gR2，其中M＝ρ·43πR3，得g＝43ρGπR，该星球表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，星球的密度跟地球的密度相同，所以该星球的半径是地球的4倍，该星球的质量是地球质量的64倍.
研透高考 明确方向
命题点1 质量的估算
8.[2021广东]2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行.若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是（ D ）
A.核心舱的质量和绕地半径
B.核心舱的质量和绕地周期
C.核心舱的绕地角速度和绕地周期
D.核心舱的绕地线速度和绕地半径
解析 由于引力常量G已知，由地球对核心舱的万有引力提供向心力可得GMmr2＝mv2r＝mω2r＝m(2πT)2r，若仅知道核心舱的质量m(可约去)和绕地半径r，无法计算出地球质量，A错误；若仅知道核心舱的质量m(可约去)和绕地周期T，无法计算出地球质量，B错误；若仅知道核心舱的绕地角速度ω和绕地周期T，绕地半径r未知，无法计算出地球质量，C错误；若仅知道核心舱的绕地线速度v和绕地半径r，可得地球质量M＝v2rG，D正确.
命题拓展
命题条件不变，一题多设问
[多选]题中条件不变，下列物理量能计算出地球质量的是（ AD ）
A.核心舱绕地球运行的角速度和半径
B.核心舱绕地球运行的周期和距地高度
C.地球的半径和核心舱的绕地周期
D.地表重力加速度和地球的半径
解析 根据核心舱做圆周运动的向心力由地球的万有引力提供，可得GMmr2＝mv2r＝mω2r＝m4π2T2r，可得M＝v2rG＝ω2r3G＝4π2r3GT2，G已知，知道角速度ω和半径r，可以求出地球质量M，因此A正确；知道周期T和距地高度h，不知道地球半径，则不能求出地球质量，B错误；知道地球半径R和周期T，不知道轨道距地高度，也不能求出地球质量，C错误；根据万有引力提供向心力有GMmR2＝mg，解得地球质量M＝gR2G，所以知道地表重力加速度和地球半径可以计算出地球质量，D正确.
命题点2 密度的估算
9.[2023辽宁]在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示.若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为（ D ）
A.k3（T1T2）2B.k3（T2T1）2
C.1k3（T1T2）2D.1k3（T2T1）2
解析
特别提醒
利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量.
区别天体半径R和卫星运动轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝43πR3中的R只能是中心天体的半径.
使用方法
已知量
利用公式
表达式
备注
质量
的计算
利用运行天体（天体环绕法）
r、T
GMmr2＝mr4π2T2
M＝4π2r3GT2
只能得到中心天体的质量
r、v
GMmr2＝mv2r
M＝rv2G
v、T
GMmr2＝mv2r
GMmr2＝mr4π2T2
M＝v3T2πG
利用天体表面重力加速度（重力加速度法）
g、R
mg＝GMmR2
M＝gR2G
“黄金代换”GM＝gR2
密度
的计算
利用运行天体（天体环绕法）
r、T、R
GMmr2＝mr4π2T2
M＝ρ·43πR3
ρ＝3πr3GT2R3，当r＝R时ρ＝3πGT2
利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度（重力加速度法）
g、R
mg＝GMmR2
M＝ρ·43πR3
ρ＝3g4πGR