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新高考物理一轮复习讲义 第5章 第1讲 万有引力定律及应用（2份打包，原卷版+教师版）
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第1讲 万有引力定律及应用
目标要求 1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题.2.掌握计算天体质量和密度的方法．
考点一 开普勒行星运动定律
1．围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点．( )
2．行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大．( )
3．不同轨道上的行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积．( )
1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理．
2.由开普勒第二定律可得eq \f(1,2)Δl1r1＝eq \f(1,2)Δl2r2，eq \f(1,2)v1·Δt·r1＝eq \f(1,2)v2·Δt·r2，解得eq \f(v1,v2)＝eq \f(r2,r1)，即行星在两个位置的速度大小之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．
3．开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．
例1 某行星沿椭圆轨道绕太阳运行，如图所示，在这颗行星的轨道上有a、b、c、d四个点a、c在长轴上，b、d在短轴上．若该行星运动周期为T，则该行星( )
A．从a到b的运动时间等于从c到d的运动时间
B．从d经a到b的运动时间等于从b经c到d的运动时间
C．a到b的时间tab>eq \f(T,4)
D．c到d的时间tcd>eq \f(T,4)
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
例2 如图所示，1、2分别是A、B两颗卫星绕地球运行的轨道，1为圆轨道，2为椭圆轨道，椭圆轨道的长轴(近地点和远地点间的距离)是圆轨道半径的4倍．P点为椭圆轨道的近地点，M点为椭圆轨道的远地点，TA是卫星A的周期．则下列说法正确的是( )
A．B卫星在由近地点向远地点运动过程中受到地球引力将先增大后减小
B．地心与卫星B的连线在eq \r(2)TA时间内扫过的面积为椭圆面积
C．卫星B的周期是卫星A的周期的8倍
D．1轨道圆心与2轨道的一个焦点重合
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________
考点二 万有引力定律
1．内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与________________________成正比、与它们之间________________________成反比．
2．表达式
F＝Geq \f(m1m2,r2)，G为引力常量，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由英国物理学家卡文迪什测定．
3．适用条件
(1)公式适用于________间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是____________间的距离．
1．只有天体之间才存在万有引力．( )
2．只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝Geq \f(m1m2,r2)计算物体间的万有引力．( )
3．地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心．( )
4．两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大．( )
1．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转)：有mg＝Geq \f(Mm,R2)，得g＝eq \f(GM,R2).
(2)地球上空的重力加速度大小g′
地球上空距离地球中心r＝R＋h处的重力加速度大小为g′，则有mg′＝eq \f(GMm,R＋h2)，得g′＝eq \f(GM,R＋h2).所以eq \f(g,g′)＝eq \f(R＋h2,R2).
2．万有引力的“两点理解”和“两个推论”
(1)两点理解
①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力．
②地球上(两极除外)的物体受到的重力只是万有引力的一个分力．
(2)星体内部万有引力的两个推论
①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为零，即∑F引＝0.
②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝Geq \f(M′m,r2).
考向1 万有引力定律的理解和简单计算
例3 (2020·全国卷Ⅰ·15)火星的质量约为地球质量的eq \f(1,10)，半径约为地球半径的eq \f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A．0.2 B．0.4 C．2.0 D．2.5
听课记录：_______________________________________________________________
________________________________________________________________________
考向2 挖补法求解万有引力
例4 有一质量为M、半径为R的密度均匀球体，在距离球心O为3R的地方有一质量为m的质点．先从M中挖去一半径为eq \f(R,2)的球体，如图所示，已知引力常量为G，则剩余部分对质点的万有引力大小为( )
A．Geq \f(Mm,9R2) B．Geq \f(Mm,4R2) C．Geq \f(41Mm,450R2) D．Geq \f(7Mm,36R2)
听课记录：_______________________________________________________________
________________________________________________________________________
考向3 重力和万有引力的关系
例5 某行星为质量分布均匀的球体，半径为R、质量为M.科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.1倍．已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为( )
A.eq \r(\f(GM,10R3)) B.eq \r(\f(GM,11R3))
C.eq \r(\f(1.1GM,R3)) D.eq \r(\f(GM,R3))
听课记录：_________________________________________________________________
万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示．
(1)在赤道上：
Geq \f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R.
(2)在两极上：Geq \f(Mm,R2)＝mg0.
(3)在一般位置：万有引力Geq \f(Mm,R2)等于重力mg与向心力F向的矢量和．
越靠近两极，向心力越小，g值越大．由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即eq \f(GMm,R2)＝mg.
考向4 地球表面下重力加速度的计算
例6 (2023·湖北省模拟)中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10 000米，首次实现了无缆无人潜水器万米坐底并连续拍摄高清视频影像．若把地球看成质量分布均匀的球体，且球壳对球内任一质点的万有引力为零，忽略地球的自转，则下列关于“海斗一号”下潜所在处的重力加速度大小g和下潜深度h的关系图像可能正确的是( )
听课记录：_______________________________________________________________
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考点三 天体质量和密度的计算
1．利用天体表面重力加速度
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R.
(1)由Geq \f(Mm,R2)＝mg，得天体质量M＝eq \f(gR2,G).
(2)天体密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πGR).
2．利用运行天体
已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.
(1)由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得M＝eq \f(4π2r3,GT2).
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πr3,GT2R3).
(3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq \f(3π,GT2)，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
考向1 利用“重力加速度法”计算天体质量和密度
例7 宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面．已知引力常量为G，月球的半径为R(不考虑月球自转的影响)．求：
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
(2)月球的质量M；
(3)月球的密度ρ.
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考向2 利用“环绕法”计算天体质量和密度
例8 (2023·四川内江市模拟)登月舱在离月球表面112 km的高空圆轨道上，环绕月球做匀速圆周运动，运动周期为120.5 min，月球的半径约为1.7×103 km，只考虑月球对登月舱的作用力，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则月球质量约为( )
A．6.7×1022 kg B．6.7×1023 kg
C．6.7×1024 kg D．6.7×1025 kg
听课记录：_________________________________________________________________
例9 (多选)(2023·黑龙江省鹤岗一中高三检测)“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v.已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响．下列选项正确的是( )
A．月球平均密度为eq \f(3v2,4πGR2)
B．月球平均密度为eq \f(3v2r,4πGR3)
C．月球表面重力加速度大小为eq \f(v2,R)
D．月球表面重力加速度大小为eq \f(v2r,R2)
听课记录：_______________________________________________________________
________________________________________________________________________考情
分析
开普勒行星运动定律
2022·湖南卷·T8 2022·浙江1月选考·T8 2021·全国甲卷·T18 2021·天津卷·T5 2021·北京卷·T6 2021·福建卷·T8
万有引力定律及应用
2022·全国乙卷·T14 2022·辽宁卷·T9 2022·河北卷·T2 2022·广东卷·T2 2021·全国乙卷·T18 2021·山东卷·T5 2020·全国卷Ⅰ·T15 2020·全国卷Ⅱ·T15 2020·山东卷·T7 2020·浙江7月选考·T7 2018·全国卷Ⅱ·T16
人造卫星 宇宙速度
2022·湖北卷·T2 2022·山东卷·T6 2021·湖南卷·T7 2020·全国卷Ⅲ·T16 2020·天津卷·T2
双星模型
2018·全国卷Ⅰ·T20
试题
情境
生活实践类
地球不同纬度重力加速度的比较
学习探究类
开普勒第三定律的应用，利用“重力加速度法”“环绕法”计算天体的质量和密度，卫星运动参量的分析与计算，人造卫星，宇宙速度，天体的“追及”问题，卫星的变轨和对接问题，双星或多星模型
定律
内容
图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是______，太阳处在______的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的____相等
开普勒第三定律(周期定律)
所有行星轨道的半长轴的______跟它的公转周期的______的比都相等
eq \f(a3,T2)＝k，k是一个与行星无关的常量
第1讲 万有引力定律及应用
目标要求 1.理解开普勒行星运动定律和万有引力定律，并会用来解决相关问题.2.掌握计算天体质量和密度的方法．
考点一 开普勒行星运动定律
1．围绕同一天体运动的不同行星椭圆轨道不一样，但都有一个共同的焦点．( )
2．行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大．( )
3．不同轨道上的行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积．( )
1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理．
2.由开普勒第二定律可得eq \f(1,2)Δl1r1＝eq \f(1,2)Δl2r2，eq \f(1,2)v1·Δt·r1＝eq \f(1,2)v2·Δt·r2，解得eq \f(v1,v2)＝eq \f(r2,r1)，即行星在两个位置的速度大小之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小．
3．开普勒第三定律eq \f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．
例1 某行星沿椭圆轨道绕太阳运行，如图所示，在这颗行星的轨道上有a、b、c、d四个点a、c在长轴上，b、d在短轴上．若该行星运动周期为T，则该行星( )
A．从a到b的运动时间等于从c到d的运动时间
B．从d经a到b的运动时间等于从b经c到d的运动时间
C．a到b的时间tab>eq \f(T,4)
D．c到d的时间tcd>eq \f(T,4)
听课记录：______________________________________________________________
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例2 如图所示，1、2分别是A、B两颗卫星绕地球运行的轨道，1为圆轨道，2为椭圆轨道，椭圆轨道的长轴(近地点和远地点间的距离)是圆轨道半径的4倍．P点为椭圆轨道的近地点，M点为椭圆轨道的远地点，TA是卫星A的周期．则下列说法正确的是( )
A．B卫星在由近地点向远地点运动过程中受到地球引力将先增大后减小
B．地心与卫星B的连线在eq \r(2)TA时间内扫过的面积为椭圆面积
C．卫星B的周期是卫星A的周期的8倍
D．1轨道圆心与2轨道的一个焦点重合
听课记录：______________________________________________________________
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考点二 万有引力定律
1．内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与________________________成正比、与它们之间________________________成反比．
2．表达式
F＝Geq \f(m1m2,r2)，G为引力常量，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由英国物理学家卡文迪什测定．
3．适用条件
(1)公式适用于________间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是____________间的距离．
1．只有天体之间才存在万有引力．( )
2．只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝Geq \f(m1m2,r2)计算物体间的万有引力．( )
3．地面上的物体所受地球的万有引力方向一定指向地心．( )
4．两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大．( )
1．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)
(1)地球表面附近的重力加速度大小g(不考虑地球自转)：有mg＝Geq \f(Mm,R2)，得g＝eq \f(GM,R2).
(2)地球上空的重力加速度大小g′
地球上空距离地球中心r＝R＋h处的重力加速度大小为g′，则有mg′＝eq \f(GMm,R＋h2)，得g′＝eq \f(GM,R＋h2).所以eq \f(g,g′)＝eq \f(R＋h2,R2).
2．万有引力的“两点理解”和“两个推论”
(1)两点理解
①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力．
②地球上(两极除外)的物体受到的重力只是万有引力的一个分力．
(2)星体内部万有引力的两个推论
①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为零，即∑F引＝0.
②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝Geq \f(M′m,r2).
考向1 万有引力定律的理解和简单计算
例3 (2020·全国卷Ⅰ·15)火星的质量约为地球质量的eq \f(1,10)，半径约为地球半径的eq \f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为( )
A．0.2 B．0.4 C．2.0 D．2.5
听课记录：_______________________________________________________________
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考向2 挖补法求解万有引力
例4 有一质量为M、半径为R的密度均匀球体，在距离球心O为3R的地方有一质量为m的质点．先从M中挖去一半径为eq \f(R,2)的球体，如图所示，已知引力常量为G，则剩余部分对质点的万有引力大小为( )
A．Geq \f(Mm,9R2) B．Geq \f(Mm,4R2) C．Geq \f(41Mm,450R2) D．Geq \f(7Mm,36R2)
听课记录：_______________________________________________________________
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考向3 重力和万有引力的关系
例5 某行星为质量分布均匀的球体，半径为R、质量为M.科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的1.1倍．已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为( )
A.eq \r(\f(GM,10R3)) B.eq \r(\f(GM,11R3))
C.eq \r(\f(1.1GM,R3)) D.eq \r(\f(GM,R3))
听课记录：_________________________________________________________________
万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示．
(1)在赤道上：
Geq \f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R.
(2)在两极上：Geq \f(Mm,R2)＝mg0.
(3)在一般位置：万有引力Geq \f(Mm,R2)等于重力mg与向心力F向的矢量和．
越靠近两极，向心力越小，g值越大．由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即eq \f(GMm,R2)＝mg.
考向4 地球表面下重力加速度的计算
例6 (2023·湖北省模拟)中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10 000米，首次实现了无缆无人潜水器万米坐底并连续拍摄高清视频影像．若把地球看成质量分布均匀的球体，且球壳对球内任一质点的万有引力为零，忽略地球的自转，则下列关于“海斗一号”下潜所在处的重力加速度大小g和下潜深度h的关系图像可能正确的是( )
听课记录：_______________________________________________________________
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考点三 天体质量和密度的计算
1．利用天体表面重力加速度
已知天体表面的重力加速度g和天体半径R.
(1)由Geq \f(Mm,R2)＝mg，得天体质量M＝eq \f(gR2,G).
(2)天体密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3g,4πGR).
2．利用运行天体
已知卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.
(1)由Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r，得M＝eq \f(4π2r3,GT2).
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝eq \f(M,V)＝eq \f(M,\f(4,3)πR3)＝eq \f(3πr3,GT2R3).
(3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq \f(3π,GT2)，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度．
考向1 利用“重力加速度法”计算天体质量和密度
例7 宇航员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地．若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面．已知引力常量为G，月球的半径为R(不考虑月球自转的影响)．求：
(1)月球表面的自由落体加速度大小g月；
(2)月球的质量M；
(3)月球的密度ρ.
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考向2 利用“环绕法”计算天体质量和密度
例8 (2023·四川内江市模拟)登月舱在离月球表面112 km的高空圆轨道上，环绕月球做匀速圆周运动，运动周期为120.5 min，月球的半径约为1.7×103 km，只考虑月球对登月舱的作用力，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，则月球质量约为( )
A．6.7×1022 kg B．6.7×1023 kg
C．6.7×1024 kg D．6.7×1025 kg
听课记录：_________________________________________________________________
例9 (多选)(2023·黑龙江省鹤岗一中高三检测)“嫦娥五号”探测器绕月球做匀速圆周运动时，轨道半径为r，速度大小为v.已知月球半径为R，引力常量为G，忽略月球自转的影响．下列选项正确的是( )
A．月球平均密度为eq \f(3v2,4πGR2)
B．月球平均密度为eq \f(3v2r,4πGR3)
C．月球表面重力加速度大小为eq \f(v2,R)
D．月球表面重力加速度大小为eq \f(v2r,R2)
听课记录：_______________________________________________________________
________________________________________________________________________考情
分析
开普勒行星运动定律
2022·湖南卷·T8 2022·浙江1月选考·T8 2021·全国甲卷·T18 2021·天津卷·T5 2021·北京卷·T6 2021·福建卷·T8
万有引力定律及应用
2022·全国乙卷·T14 2022·辽宁卷·T9 2022·河北卷·T2 2022·广东卷·T2 2021·全国乙卷·T18 2021·山东卷·T5 2020·全国卷Ⅰ·T15 2020·全国卷Ⅱ·T15 2020·山东卷·T7 2020·浙江7月选考·T7 2018·全国卷Ⅱ·T16
人造卫星 宇宙速度
2022·湖北卷·T2 2022·山东卷·T6 2021·湖南卷·T7 2020·全国卷Ⅲ·T16 2020·天津卷·T2
双星模型
2018·全国卷Ⅰ·T20
试题
情境
生活实践类
地球不同纬度重力加速度的比较
学习探究类
开普勒第三定律的应用，利用“重力加速度法”“环绕法”计算天体的质量和密度，卫星运动参量的分析与计算，人造卫星，宇宙速度，天体的“追及”问题，卫星的变轨和对接问题，双星或多星模型
定律
内容
图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是______，太阳处在______的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的____相等
开普勒第三定律(周期定律)
所有行星轨道的半长轴的______跟它的公转周期的______的比都相等
eq \f(a3,T2)＝k，k是一个与行星无关的常量
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