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    2023-2024学年浙江省温州市高二第一学期期末教学质量统一检测数学试题(B 卷)(含解析)
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    2023-2024学年浙江省温州市高二第一学期期末教学质量统一检测数学试题(B 卷)(含解析)

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    这是一份2023-2024学年浙江省温州市高二第一学期期末教学质量统一检测数学试题(B 卷)(含解析),共16页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.已知直线方程x+y+1=0,则倾斜角为( )
    A. 45∘B. 60∘C. 120∘D. 135∘
    2.已知抛物线C:y2=4x,则抛物线C的准线方程为
    ( )
    A. x=−1B. x=−2C. y=−1D. y=−2
    3.在空间四边形ABCD中,点M,G分别是BC和CD的中点,则AB+12(BD+BC)=
    ( )
    A. ADB. AGC. GAD. MG
    4.已知Sn为数列an的前n项和,Sn=2n−1,则a4=( )
    A. 2B. 4C. 8D. 16
    5.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中,点A1到平面AB1C的距离为
    ( )
    A. 13B. 12C. 23D. 33
    6.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数.他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类,如右图的1,3,6,10称为三角形数,1,4,9,16称为正方形数,则下列各数既是三角形数又是正方形数的是( )
    A. 55B. 49C. 36D. 28
    7.已知圆锥有一个内接圆柱,当圆柱的侧面积最大时,圆柱与圆锥的高之比为( )
    A. 13B. 12C. 23D. 22
    8.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为 33,点P在椭圆C上,直线PF1与直线y= 3x交于点Q,且QF1⊥QF2,则tan∠F1PF2=( )
    A. 3B. 2C. 32D. 23
    二、多选题:本题共4小题,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
    9.已知圆C1:x2+y2−8x+7=0和圆C2:x2+y2+6y+m=0外离,则整数m的一个取值可以是
    ( )
    A. 4B. 5C. 6D. 7
    10.以下选项中的两个圆锥曲线的离心率相等的是( )
    A. x24−y22=1与x24+y22=1B. x24−y22=1与y22−x24=1
    C. x24+y22=1与x22+y24=1D. y2+4x=0与x2+2y=0
    11.已知三棱锥P−ABC如图所示,G为△ABC重心,点M,F为PG,PC中点,点D,E分别在PA,PB上,PD=mPA,PE=nPB,以下说法正确的是
    ( )
    A. 若m=n=12,则平面DEF/​/平面ABC
    B. PG=13PA+13PB+13PC
    C. AM=12AP+16AB+16AC
    D. 若M,D,E,F四点共面,则1m+1n=1
    12.已知数列an的前n项和为Sn,且a1<0,a1+a2>0,则下列说法正确的是
    ( )
    A. 若{an}为等差数列,则数列{Sn}为递增数列
    B. 若{an}为等比数列,则数列{Sn}为递增数列
    C. 若{an}为等差数列,则数列{an}为递增数列
    D. 若{an}为等比数列,则数列{an}为递增数列
    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
    13.若双曲线的渐近线方程为y=±2x,则该双曲线的方程可以是[空1]x.(只需填写满足条件的一个方程)
    14.已知正项等比数列an的前n项和为Sn,S3=2a2+3a1,且a5=16,则a1=[空1]x.
    15.已知点P为圆C:(x−4)2+(y−4)2=8上一动点,A(2,0),B(0,2),则点P到直线AB的距离的取值范围是[空1]x.
    16.两个正方形ABCD,ABEF的边长都是1,且它们所在的平面互相垂直,M和N分别是对角线AC和BF上的动点,则MN的最小值为[空1]x.
    四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    17.(本小题10分)
    如图,在平行六面体ABCD−A′B′C′D′中,AB=1,AD=AA′=2,∠BAD=∠DAA′=90∘,∠BAA′=60∘,设AB=a,AD=b,AA′=c.
    (1)用向量a,b,c表示A′C;
    (2)求BC′⋅A′C.
    18.(本小题12分)
    已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足a3=3,S4=5a2.
    (1)求数列an的通项公式;
    (2)若bn=an+2an,求数列{bn}的前10项和T10.
    19.(本小题12分)
    如图,四棱锥P−ABCD的底面是边长为1的菱形,∠ABC=23π,PD⊥平面ABCD,PD=1,M为PB的中点.
    (1)求证:平面MAC⊥平面PDB;
    (2)求CP与平面MAC所成角的正弦值.
    20.(本小题12分)
    已知圆C截y轴所得弦长为2,被x轴分成的两段圆弧的弧长比为3:1,且圆心C到直线x−2y=0的距离为 55,求圆C的方程.
    21.(本小题12分)
    已知数列an满足an+1=anan+1,a1=12.
    (1)求证:数列{1an}为等差数列;
    (2)设数列{an}前n项和为Sn,且S2n−Sn>k对任意的n∈N∗恒成立,求k的取值范围.
    22.(本小题12分)
    已知点A(− 5,2)在双曲线C:x2a2−y2a2=1上,
    (1)求C的方程;
    (2)如图,若直线l垂直于直线OA,且与C的右支交于P、Q两点,直线AP、AQ与y
    轴的交点分别为点M、N,记四边形MPQN与三角形APQ的面积分别为S1与S2,求S1S2的取值范围.
    答案和解析
    1.【答案】D
    【解析】【分析】
    本题考查直线的斜率与直线的倾斜角的关系,属于基础题.
    求出直线的斜率,然后求解直线的倾斜角即可.
    【解答】
    解:直线x+y+1=0的斜率为−1,
    设直线的倾斜角为α,
    则tanα=−1,
    ∴结合直线倾斜角的范围可得α=135°.
    故选D.
    2.【答案】A
    【解析】【分析】
    本题考查抛物线的标准方程,抛物线的性质,属于基础题.
    由抛物线的标准方程可知:焦点在x正半轴上,p2=1,抛物线的准线方程x=−p2=−1.
    【解答】
    解:由抛物线C:y2=4x,焦点在x正半轴上,p2=1,
    ∴抛物线的准线方程x=−p2=−1,
    故选:A.
    3.【答案】B
    【解析】【分析】

    本题考查向量的加法、以及数乘运算,考查三角形中位线定理,属于基础题
    由已知中M、G分别是BC、CD的中点,根据三角形中位线定理及数乘向量的几何意义,我们可将原式化为AB+BM+MG,然后根据向量加法的三角形法则,易得到答案.
    【解答】解:因为M、G分别是BC、CD的中点,所以12BC=BM,12BD=MG
    所以AB+12BC+BD=AB+12BC+12BD=AB+BM+MG=AG
    故选B.
    4.【答案】C
    【解析】【分析】
    本题考查数列的前n项和Sn与an之间的关系,属于基础题.
    利用an=Sn−Sn−1求解.
    【解答】
    解:根据题意,数列{an}中S n=2n−1,
    则a4=S4−S3=(24−1)−(23−1)=8,
    即a4=8;
    故选C.
    5.【答案】D
    【解析】【分析】
    本题主要考查点到面的距离,考查等积法,属于中档题.
    利用VA1−AB1C=VC−A1AB,再求得点A1到平面AB1C的距离.
    【解答】
    解:
    设点A1到平面AB1C的距离是ℎ,
    由VA1−AB1C=VC−A1AB,
    由正方体的结构特征可知AC=CB1=B1A= 2,
    三棱锥A1−AB1C的体积=13×S△AB1C×ℎ,
    ∴13× 34×2×ℎ=13×12×1×1×1,
    ∴ℎ= 33.
    则点A1到平面AB1C是 33.
    故选D.
    6.【答案】C
    【解析】【分析】
    本题主要考查了等差数列的前n项和,观察法归纳数列通项,属于基础题.
    通过观察可以得到三角形数和正方形数的通项,对照选择项即可得到答案.
    【解答】
    解:根据题意可得第n个三角形数为“1+2+3+4+···+n=n+1n2,
    第n个正方形数为n2,
    故既是三角形数,又是正方形数的满足即可写成nn+12,又可写成n2.
    结合选项可知只有36=62=8×92,符合题意.
    故选C.
    7.【答案】B
    【解析】【分析】
    本题考查圆柱与圆锥的结构特征,圆柱的侧面积,二次函数的最值,属于基础题.
    先求得圆柱的侧面积的表达式,进而求得其侧面积最大时圆柱与圆锥的高之比.
    【解答】
    解:如图:
    设圆锥的底面半径为R,高为ℎ,内接圆柱的底面半径为r,高为x,
    由题意可得rR=ℎ−xℎ,解得r=R(ℎ−x)ℎ,
    设内接圆柱的侧面积为S,
    则S=2πrx=2πR(ℎ−x)xℎ,
    整理得S=2πRℎ(−x2+ℎx)=−2πRℎ(x2−ℎx)=−2πRℎ[(x−ℎ2)2−ℎ24],
    所以当x=ℎ2时,内接圆柱的侧面积最大,此时x:ℎ=1:2.
    故选B.
    8.【答案】A
    【解析】略
    9.【答案】CD
    【解析】【分析】
    本题考查圆与圆的位置关系的应用,体现了数学转化思想方法,是基础题.
    化圆的一般方程为标准方程,求出圆心坐标和半径,由圆心距大于半径和求得答案.
    【解答】
    解:由圆C1:x2+y2−8x+7=0,得x−42+y2=9,
    由圆C2:x2+y2+6y+m=0,得x2+y+32=9−m,
    ∵圆C1:x2+y2−8x+7=0和圆C2:x2+y2+6y+m=0外离,
    ∴ 42+32>3+ 9−m9−m>0.解得m∈(5,9),
    整数m的一个取值可以是:6,7,8.
    故选CD.
    10.【答案】CD
    【解析】【分析】
    本题考查求椭圆的离心率(或取值范围)、求双曲线的离心率(或取值范围),属于基础题.
    利用椭圆和双曲线的离心率公式,对各选项逐项判定,即可求出结果.
    【解答】
    解:A选项,x24−y22=1的离心率为e1= 4+22= 62,
    x24+y22=1的离心率为e2= 4−22= 22,故A错误;
    B选项,x24−y22=1的离心率为e1= 4+22= 62,
    y22−x24=1的离心率为e2= 4+2 2= 3,故B错误;
    C选项,x24+y22=1的离心率为e1= 4−22= 22,
    x22+y24=1的离心率为e2= 4−22= 22,故C正确;
    D选项,y2+4x=0的离心率为1,x2+2y=0的离心率为1,故D正确.
    故选CD.
    11.【答案】ABC
    【解析】略
    12.【答案】ACD
    【解析】【分析】本题考查数列的单调性,属于中档题.
    结合等差数列性质与等比数列性质依次判断各个选项即可.
    【解答】解:对于A,若{an}为等差数列,且a1<0,a1+a2>0,
    则a2>a1,则d>0,故数列{an}为单调递增数列,且当n⩾2时,an>0,
    故Sn>Sn−1n⩾2,即数列{Sn}为递增数列,故A正确;
    对于C,若{an}为等差数列,且a1<0,a1+a2>0,
    则a10,d>0,an>an−1,则数列{|an|}为递增数列,故C正确;
    对于B,若{an}为等比数列,且a1<0,a1+a2>0,则a2>0,故公比q<0,则a3<0,会有S3故数列{Sn}不是递增数列,故B错误;
    对于D,若{an}为等比数列,a1<0,a1+a2>0,则a2>−a1⇒a2>|a1|⇒q>1,
    则数列{|an|}为递增数列,故D正确.
    13.【答案】x2−y24=1
    【解析】略
    14.【答案】1
    【解析】略
    15.【答案】[ 2,5 2]
    【解析】略
    16.【答案】 33
    【解析】略
    17.【答案】解:(1)A′C=a+b−c
    (2)BC′=b+c,
    A′C=a+b−c,
    b2=|b|2=4,c2=|c|2=4,a⋅b=0,a⋅c=1,.
    BC⋅A′C=(b+c)⋅(a+b−c)=a⋅b+b2+a⋅c−c2=1
    若第2问建系
    建立空间直角坐标系如图所示:
    B(1,0,0),A′(1,0, 3),C(1,2,0),C′(2,2, 3),
    BC′=(1,2, 3),
    A′C=(0,2,− 3),
    BC⋅A′C=4−3=1

    【解析】略
    18.【答案】解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
    由a3=3S4=5a2,得a1+2d=34a1+4×32d=5a1+d,
    解之得:a1=1d=1,
    ∴an=1+(n−1)×1,
    即an=n;
    (2)∵bn=an+2an=n+2n,
    ∴T10=(1+2+⋯+10)+(21+22+⋯+210)
    =10(1+10)2+2(1−210)1−2
    =55+211−2
    =2101(或53+211).

    【解析】本题主要考查等差数列通项公式的求法及等比数列前n项和的求法,属于基础题.
    (1)设等差数列{an}的公差为d,列出含d的方程组,求出d与a1,即可求解出{an}的通项公式an;
    (2)利用(1)中求得的an求出bn,再分组求其和即可.
    19.【答案】(1)证明:由PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,可得PD⊥AC,又底面ABCD是菱形,
    所以AC⊥BD,而PD⊂平面PDB,BD⊂面PDB,PD∩DB=D,可得AC⊥平面PBD,
    又AC⊂平面MAC,所以平面MAC⊥平面PDB;
    (2)解:由四棱锥P−ABCD的底面是边长为1的菱形,∠ABC=23π,PD⊥平面ABCD,PD=1,
    M为PB的中点,取AB的中点E,以D为坐标原点以DE所在的直线为x轴,以DC所在的直线为y轴,
    以DP所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系,
    设BD∩AC=O,连接MO,显然MO//PD,故MO⊥平面ABCD,
    BD⊂面PDB,所以MO⊥BD,又AC⊥BD,
    结合线面垂直的判定定理可得BD⊥面MAC,所以BD为面MAC的法向量,
    又P(0,0,1)A( 32,−12,0),B( 32,12,0),C(0,1,0),D(0,0,0),M( 34,14,12,
    故PC=(0,1,−1),DB= 32,12,0,
    设直线PC与平面MAC所成的角为θ,则sinθ=csPC,DB= 24,
    所以CP与平面MAC所成角的正弦值为 24.
    【解析】本题考查空间几何体的基本知识,处理面面垂直和线面间的位置关系的基本方法,属于中档题.
    (1)由题意可得AC⊥平面PBD,又AC⊂平面MAC,所以平面MAC⊥平面PDB得证;
    (2)建立空间直角坐标系,求得PC=(0,1,−1),DB= 32,12,0,设直线PC与平面MAC所成的角为θ,则sinθ=csPC,DB= 24,即可解决.
    20.【答案】解:圆心C( a,b),半径为r,则圆心到x轴,y轴的距离分别为|b|、|a|,
    因圆C截y轴得弦长为2,由勾股定理得r2=a2+1,又圆被x轴分成两段圆弧的弧长的比为3:1,
    ∴劣弧所对的圆心角为90°,
    故r= 2b,即r2=2b2,
    ∴2b2−a2=1①,
    又∵C(a,b)到直线x−2y=0的距离为 55,
    即|a−2b| 5= 55,
    即a−2b=±1.②
    解①②组成的方程组得:a=1b=1或a=−1b=−1,于是r2=2b2=2,
    ∴圆C的方程为(x+1)2+(y+1)2=2或(x−1)2+(y−1)2=2.
    【解析】本题考查圆的标准方程,考查直线与圆的位置关系,考查方程思想与化归思想的综合运用,考查逻辑思维与运算能力,属于中档题.
    设圆心C(a,b),半径为r,由截y轴所得的弦长为2可得r2=a2+1;由被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1,可知劣弧所对的圆心角为90°,从而有r= 2b;再由圆心到直线l:x−2y=0的距离为 55,可得a−2b=±1,综合可求得a,b的值,从而可得该圆的方程.
    21.【答案】(1)证明:因为an+1=anan+1,
    所以1an+1−1an=1,
    因为a1=12,所以1a1=2,
    所以数列{1an}是以2为首项,1为公差的等差数列;
    (2)解:由(1)可知1an=n+1,所以an=1n+1.
    所以S2n−Sn=1n+2+1n+3+⋯+12n+1⩾n2n+1,
    又因为fn=n2n+1=12+1n随着n的增大而单调递增,
    n=1时f(n)最小为13,
    因为S2n−Sn>k对任意的n∈N∗恒成立,
    所以k<13.
    【解析】本题考查等差数列的证明,考查不等式恒成立问题,属于中档题.
    (1)取倒数,利用等差数列的定义进行证明;
    (2)求出S2n−Sn,放缩求最值得出结论.
    22.【答案】解:(1)因为点A(− 5,2)在双曲线C:x2a2−y2a2=1上,
    所以5a2−4a2=1,解得:a2=1,
    故双曲线方程为x2−y2=1.
    (2)因为kOA=2− 5=−2 55,所以直线l的斜率为 52,
    设直线l方程为y= 52x+b代入双曲线方程为x2−y2=1得:
    14x2+ 5bx+b2+1=0,
    因为直线l与C的右支交于P、Q两点,所以 5b2−4×14×b2+1>0− 5b>0,解得:b<−12.
    设Px1,y1,Qx2,y2,则x1+x2=− 5b14=−4 5b,x1·x2=b2+114=4b2+4,
    所以PQ= 1+ 522x1−x2=32x1−x2,
    直线AP的方程为y−2=y1−2x1+ 5x+ 5,
    令x=0,则y= 5y1+2x1x1+ 5=92x1+ 5bx1+ 5=92+ 5b−9 52x1+ 5,
    则点M的坐标为0,92+ 5b−9 52x1+ 5,同理点N的坐标为0,92+ 5b−9 52x2+ 5,
    则MN=92+ 5b−9 52x1+ 5−92− 5b−9 52x2+ 5= 5b−92x1−x24b2+4+ 5·−4 5b+5
    = 5b−92x1−x24b2−20b+9,
    点A到直线MN的距离为 5,到直线PQ的距离为 52×− 5−2+b 522+−12=b−9232=2b−923,
    因为四边形MPQN与三角形APQ的面积分别为S1与S2,
    则三角形AMN的面积为S2−S1,
    所以S2−S1S2=12× 5b−92x1−x24b2−20b+9× 512×32x1−x2×2b−923=54b−522−16,
    因为b<−12,所以4b−522−16>20,
    所以S2−S1S2∈0,14,则S1S2∈34,1.
    【解析】本题主要考查了双曲线的标准方程,直线与双曲线的位置关系,三角形的面积问题,属于较难题.
    (1)把点A(− 5,2)代入双曲线C:x2a2−y2a2=1,求出a2的值即可
    (2)设直线l方程为y= 52x+b代入双曲线方程为x2−y2=1得:14x2+ 5bx+b2+1=0,利用根与系数的关系以及弦长公式,三角形的面积公式求解.
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