考点24 函数的极值和最值8种常见考法归类-2023-2024学年学年高二数学高效讲与练(人教A版2019选择性必修第二册)

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1、知图判断函数极值
解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值．
2、函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．
3、已知函数的极值求参数的方法
(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．
注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．
(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．
4、最值与极值的区别与联系
(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言．
(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)．
(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点．
(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．
5、求函数最值的步骤
(1)求函数的定义域．
(2)求f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(3)求极值、端点处的函数值，确定最值．
注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较．
6、含参数的函数最值问题的两类情况
(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．
(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
7、求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点
(1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内．
(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值．
(3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值．
8、已知函数在某区间上的最值求参数的值(或范围)是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题．其中注意分类讨论思想的应用．
9、函数在开区间内存在最值，则极值点必落在该区间内．
10、分离参数求解不等式恒成立问题的步骤
考点一 知图判断函数极值
考点二 求函数的极值
考点三 由极值求参数的值或范围
考点四 由极值点求参数的值或范围
考点五 利用极值解决函数的零点问题
考点六 求函数的最值
考点七 由函数的最值求参数问题
考点八 函数的单调性、极值与最值的综合应用
考点一 知图判断函数极值
1．（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间上，是增函数
B．当时，取到极小值
C．在区间上，是减函数
D．在区间上，是增函数
【答案】D
【分析】对于ACD,根据导数的正负和原函数单调性之间的联系进行判断即可;
对于B，根据极值点处左右两边的单调性进行判断.
【详解】由导函数图象知，在时，，递减，A错；时，取得极大值（函数是先增后减），B错；时，，递增，C错；时，，递增，D正确．
故选：D.
2．（2023·全国·高二专题练习）函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则下列命题不正确的是（ ）．
A．函数在内一定不存在最小值
B．函数在内只有一个极小值点
C．函数在内有两个极大值点
D．函数在内可能没有零点
【答案】A
【分析】根据导函数图象得到函数的单调区间，即可判断函数的极值，从而得解；
【详解】解：设的根为，，，且，
则由图可知，函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增，在内单调递减；
所以函数在区间内有极小值，
当，时，是函数在区间内的最小值，所以A错误，B正确；
函数在区间内有极大值、，所以C正确；
当，，时，函数在内没有零点，所以D正确．
故选：A．
3．（2023春·天津西青·高二天津市西青区杨柳青第一中学校考阶段练习）已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数在处取得最大值
C．函数在上单调递减
D．在区间内的函数值为负
【答案】C
【分析】根据图象可得的符号，进而可判断的单调性，结合的单调性逐项分析判断.
【详解】由图象可得：当或时，；当或时，；
故的单调递增区间为，单调递减区间为，
故A错误，C正确；
函数在处取得极大值，不一定是最大值，B错误；
根据题意只能得到的符号，以及的单调区间，无法判断的符号，D错误；
故选：C.
4．【多选】（2023春·河北邯郸·高二武安市第三中学校考阶段练习）如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递减B．函数在区间上单调递减
C．函数在处取得极大值D．函数在处取得极小值
【答案】ACD
【分析】根据导函数图象，结合函数的单调性与极值与导数的关系逐项判断即可.
【详解】对于A．因为在区间上成立，所以区间是的单调递减区间，故A正确；
对于B．因为当时，，当时，，所以在上不单调，故B错误；
对于C．因为当时，，当时，，函数在处取得极大值，故C正确；
对于D．因为当时，，当时，，所以函数在处取得极小值，故D正确.
故选：ACD．
5．（2023春·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）设，若函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由已知中函数的部分图像，运用韦达定理结合图像判断的符号.
【详解】解：∵，∴，
由图知，两个极值点，设为，则，
由图知单调递增，单调递减，则，
则，∴，
由图知，∴，
故选：D．
6．（2023春·浙江嘉兴·高二平湖市当湖高级中学校考阶段练习）如图，可导函数y＝f(x)在点处的切线为l：y=g(x)，设，则下列说法正确的是（ ）
A．，是h(x)的极大值点
B．，是h(x)的极小值点
C．，不是h(x)的极值点
D．
【答案】B
【分析】由导数的几何意义写出函数，并对函数求导，再结合函数的图象判断作答.
【详解】依题意，切线，即，
则，求导得：，
显然，观察图象知，函数的导函数单调递增，即函数单调递增，
则当时，有，当时，有，
所以是的极小值点，选项ACD错误，B正确.
故选：B
考点二 求函数的极值
7．（2023春·北京·高二北理工附中校考阶段练习）函数（ ）
A．有极大值1，无极小值B．无极大值，也无极小值
C．有极小值0，极大值1D．有极小值1，无极大值
【答案】D
【分析】直接求导得，利用导数与极值的关系即可得到答案.
【详解】，，
当时，，此时函数单调递减，
当时，，此时函数单调递增，
所以当时，函数有极小值，无极大值，
故选：D.
8．（2023春·河北邯郸·高二武安市第三中学校考阶段练习）已知函数，则的极小值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【分析】利用导数法求函数的极值的步骤及函数的极小值的定义即可求解.
【详解】函数的定义域为，
因为
所以，
令，则，解得或（舍），
由此表可知，当时，的取得极小值为.
故选：D.
9．【多选】（2023春·福建漳州·高二校考阶段练习）已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．的极大值为
B．的单调递减区间为
C．曲线在处的切线方程为
D．方程有两个不同的解
【答案】BC
【分析】利用导数，求的单调区间和极值，验证选项AB，由导数的几何意义求曲线在处的切线方程，判断选项C，数形结合求方程解的个数，判断选项D.
【详解】函数，定义域为，，
，解得，，解得，
在上单调递减，在上单调递增，B选项正确；
有极小值，无极大值，A选项错误；
由，，曲线在处的切点为，切线斜率为1，切线方程为，C选项正确；
，即，函数与的图像在上只有一个交点，所以方程有一个解，D选项错误.
故选：BC
10．【多选】（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）对于函数，下列说法正确的有（ ）
A．的单调递减区间为
B．在处取得极大值
C．只有一个零点
D．
【答案】BC
【分析】求导，再根据导函数的符号即可求出函数的单调区间，即可判断A；根据极值的定义即可判断B；根据函数的单调性结合零点的存在性定理即可判断C；根据函数的单调性即可判断D.
【详解】，
当时，，当时，，
所以函数的单调递减区间为，单调增区间为，故A错误；
在处取得极大值，故B正确；
因为，
所以函数在上有唯一零点，
又因当时，，则，
所以函数在上不存在零点，
综上只有一个零点，故C正确；
因为的单调递减区间为，，
所以，故D错误.
故选：BC.
11．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知函数，其导函数的两根为，，若不等式的解集为，且，则极大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据的解集情况可设，再根据极值点情况求得的值，进而确定函数解析式，求得其极大值.
【详解】由已知为三次函数，且时的解集为，
得，
则，
又的两根为，，所以，
解得，
所以，，
令，则，，
所以
所以函数在处取极大值为，
故选：D.
12．（2023·全国·高三专题练习）等比数列中的项，是函数的极值点，则（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据题意确定函数的极值点，进而得到，然后根据等比中项求得答案.
【详解】由题意，，则时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增，于是x=1和x=3是函数的两个极值点，故，是的两个根，所以，所以，又，所以，，设公比为，，所以.
故选：D.
考点三 由极值求参数的值或范围
13．（2023·高二校考课时练习）若函数在处取得极大值，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意结合导数与极值的关系求
【详解】，则，
由题意可得，解得，经检验符合题意.
故选：C
14．（2023春·江西南昌·高二校考阶段练习）函数在处有极值为，那么，的值为（ ）
A．，B．，
C．，或，D．，
【答案】A
【分析】由题意可知，由此可求出，并验证即可求解．
【详解】，
由题意可知即，
则解得或，
当时，，
在处不存在极值，不符合题意；
当时，，
，，，，符合题意．
，
故选：A．
15．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，当时函数的极值为，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出原函数的导函数，根据题意有，，求出，的值，分情况讨论是否符合题意，即可求的值．
【详解】由，则，
又当时函数的极值为，
则，解得或，
当时，，
此时函数在R上是增函数，即函数没有极值，不合题意；
当时，，
当时，，此时在上单调递增，
当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增，
即当时函数取得极大值，符合题意，
故，，则．
故选：B．
【点睛】解含参数的极值问题要注意：
①是为函数极值点的必要不充分条件，故而要注意检验；
②若函数在区间内有极值，那么在内绝不是单调函数．
16．（2023春·河南洛阳·高二校考阶段练习）已知函数在处取得极大值，则的值为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】B
【分析】对进行求导，利用是方程的解，求出的值，并代入进行检验，要满足的左侧导数值要大于0，右侧导数值要小于0，从而求出结果.
【详解】，又函数在处取得极大值，
，得到：或，
当时，
此时，函数在处取极小值，不合题意，舍去.
∴
故选：B
17．（2023·贵州铜仁·统考二模）已知函数和有相同的极大值，则（ ）
A．0B．2C．D．
【答案】A
【分析】利用导数，先求得的极大值，然后根据与有相同的极大值求得.
【详解】求导，令，解得，令，解得，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴在处取得极大值，
，令，解得，令，解得，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴在处取得极大值，
依据题意，和有相同的极大值，故，解得.
故选：A
18．（2023·全国·高二专题练习）已知没有极值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据没有极值，可知无变号零点，由二次函数性质可知，由此可解不等式求得结果.
【详解】；
在上没有极值，，即，
解得：，即实数的取值范围为.
故选：C.
19．（2023春·河北邯郸·高二武安市第三中学校考阶段练习）已知函数有极值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．C．D．
【答案】D
【分析】原函数有极值等价于导函数有变号零点，对于二次函数即判别式，由此计算a的取值范围即可.
【详解】由，
得，
根据题意得，
解得或，
所以实数a的取值范围是.
故选：D．
20．（2023·全国·高二专题练习）已知函数在其定义域的一个子区间上有极值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求导函数，分析导函数的符号，得出原函数的单调性和极值，由已知建立不等式，求解即可.
【详解】解：，令，即，解得，且，；，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴有极大值，
∴，
∴，
故选：A.
21．（2023·全国·高二专题练习）函数f（x）＝+（1﹣2a）x﹣2lnx在区间内有极小值，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求出函数的导数，然后令导数等于零，求出方程的两个根，通过讨论根的范围可得a的取值范围.
【详解】解：由，得
，
（1）当时，，
当时，，当时，，所以为函数的一个极小值点，
（2）当时，令，则或，
①当时，当时，，当时，，所以为函数的一个极小值点，
②当时，
i)若，即时，时，，当时，，所以为函数的一个极小值点，
ii)若，即时，当时，，函数无极值；
iii)若，即时，当时，，当时，，所以为上的极小值点，
综上a的取值范围是，
故选：D
【点睛】此题考查了函数的极值，考查了分类讨论思想，属于中档题.
22．（2023·全国·高二专题练习）已知函数既有极大值，又有极小值，则的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】B
【分析】由题设知有两个变号零点，结合判别式的符号求m的范围即可.
【详解】由，又有极大值、极小值，
所以有两个变号零点，则，
整理得，可得或.
故选：B
23．（2023·全国·高三专题练习）若，，且函数在处有极值，则的最小值为
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：因为函数在处有极值，所以，即，则（当且仅当且，即时取“=”）；故选C．
考点：1．函数的极值；2．基本不等式．
考点四 由极值点求参数的值或范围
24．（2023秋·江苏扬州·高二江苏省江都中学校考期末）已知是函数的极小值点，则的极小值为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】对求导，根据是的极小值点，得到，求出的值，进一步得到的极小值．
【详解】解：由，得，
是的极小值点，，
，，经检验时，符合题意，
，，所以，则当或时，当时，即在和上单调递增，在上单调递减，
所以当时函数取得极大值，时函数取得极小值，
．
故选：A．
25．（2023春·天津东丽·高二天津市第一百中学校考阶段练习）若是函数的一个极值点，则的极大值为（ ）
A．B．C．5D．1
【答案】C
【分析】利用极值点定义求出参数，再判断出函数的单调性、极大值点，进而求出极大值.
【详解】因为，所以，
所以，.
令，解得或，
所以当单调递增；
当时，单调递减；
当单调递增，
所以的极大值为.
故选：C.
26．（2023·高二校考课时练习）已知t和是函数的零点，且也是函数的极小值点，则的极大值为（ ）
A．1B．4C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，结合三次函数的特点可得，再借助导数求出极大值作答.
【详解】因函数在处取得极小值0，又t是函数的另一零点，因此函数只有两个零点，
从而有，求导得：，
当或时，，当时，，
于是，在处取得极小值，在处取得极大值，
所以的极大值为4.
故选：B
27．（2023春·四川成都·高二成都外国语学校校考阶段练习）若函数在上有极值点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对函数进行求导，由于函数有极值点即有变号零点，根据导函数的单调性列出不等式解出即可.
【详解】因为，所以，
因为在上恒成立，所以在上为减函数，
所以，解得，
故选：A.
28．（2023春·广东惠州·高二惠州一中校考阶段练习）若函数在区间只有一个极值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意分析可得与在内有且仅有一个交点，且交点上下均有的图象，结合对勾函数分析运算.
【详解】由题意可得：，
令，且，则，
若函数在区间只有一个极值点，则与在内有且仅有一个交点，且交点上下均有的图象，
∵在上单调递减，在单调递增，且，
则.
故选：B.
29．（2023·江苏·高二专题练习）若函数有两个极值点且这两个极值点互为相反数，则的极小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求导，根据函数有两个极值点且这两个极值点互为相反数可得，代入分析函数单调性可得函数在取得极小值.
【详解】由题意，，
令，即，
若函数有两个极值点且这两个极值点互为相反数，
即的两个根互为相反数，不妨设两个根为，
则，
解得：，
故，
令或；令，
即函数在单调递增；在单调递减.
故函数在取得极小值.
故选：B
30．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个极值点，且，则的极大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求导，利用韦达定理求得，，再根据求得，在求导，根据极值的定义即可得出答案.
【详解】解：因为，
，所以有两个不同的实数解，
且由根与系数的关系得，，
由题意可得，
解得，
此时，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故当时，取得极大值．
故选：B．
31．（2023春·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考阶段练习）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据导函数有2个不同的零点，且两个零点均大于零可求解.
【详解】函数的定义域为，
因为函数有两个不同的极值点，
所以有两个不同正根，
即有两个不同正根，
所以解得，
故答案为:A.
32．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）已知函数将其向右平移个单位长度后得到，若在上有三个极大值点，则一定满足的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据平移变换得函数，由在上有三个极大值点，结合正弦函数图象可得，再求的范围，结合正弦函数的单调性，由此可判断答案.
【详解】解：有题意可得，
由得，由于在上有三个极大值点，
所以，解得，
当，
而，故A正确，
当，
而，故B不正确，
当，，
而，故C不正确，
当，，
而，故D不正确，
故选：A.
33．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知函数在上有3个极值点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意求出的范围，然后根据正弦函数的性质及题意建立不等关系，求得参数的取值范围即可.
【详解】因为，，
所以 ，
因为函数在上有3个极值点，
所以，
解得，
所以的取值范围为，
故选：C.
34．（2023春·湖北·高二校联考阶段练习）若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出函数的定义域，则有，对函数求导后，令求出极值点，使极值点在内，从而可求出实数的取值范围.
【详解】因为函数的定义域为，
所以，即，
，
令，得或（舍去），
因为在定义域的一个子区间内不是单调函数，
所以，得，
综上，，
故选：A
考点五 利用极值解决函数的零点问题
35．（2023·全国·高三专题练习）若函数三个不同的零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求导，求出函数的极值，由即可求解.
【详解】，令得或，令得，
当变化时，的变化情况如下表：
要使函数有三个不同的零点，则，解得.
故选：D.
36．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图像与直线有3个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
【答案】B
【分析】求出给定函数的极大极小值，再结合函数图象求解作答.
【详解】对函数求导得：，
当或时，，当时，，即在，上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，在处取得极小值，
在同一坐标系内作出函数的图像和直线，如图，
观察图象知，当时，函数的图像与直线有3个不同的交点，
所以实数m的取值范围是.
故选：B
37．（2023·全国·高三专题练习）已知函数至多有2个不同的零点，则实数a的最大值为（ ）．
A．0B．1C．2D．e
【答案】C
【分析】先将零点问题转化为两函数交点问题，构造函数，研究其单调性，极值，画出函数图象，从而得到或，再次构造关于的函数，研究其单调性，解出不等式，求出数a的最大值.
【详解】令，得到，
函数至多有2个不同的零点，等价于至多有两个不同的根，
即函数与至多有2个不同的交点
令，
则，
当时，，单调递增，
当或时，，单调递减，
所以与为函数的极值点，且，
且在R上恒成立，
画出的图象如下：
有图可知：或时，符合题意，
其中，解得：
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
由可得：，所以，
综上：实数a的最大值为2
故选：C
【点睛】对于函数零点问题，直接求解无法求解时，可以转化为两函数的交点问题，数形结合进行解决.
38．（2023·全国·高三专题练习）已知函数有两个零点、，，则下面说法不正确的是（ ）
A．B．
C．D．有极小值点，且
【答案】C
【分析】先证明出对数平均不等式，由题意得出，将两式作差结合对数平均不等式可判断出A、B选项的正误，利用导数分析函数的单调性，结合该函数的极值以及该函数有两个零点可判断出选项的正误，求出极值点，将中两等式相加可判断D选项的正误.
【详解】先证明对数平均不等式.
先考虑不等式，设，
即证，即证，令，即证不等式.
构造函数，则，
所以，函数在上单调递增，则，
当，且时，；
接下来考虑不等式，设，
即证，即证，设，即证不等式.
构造函数，则，
所以，函数在上单调递增，则，
当，且时，有.
即当，且时，.
对于C选项，，.
①当时，对于任意恒成立，此时函数在上单调递增，该函数最多有一个零点；
②当时，令，得.
当时，，当时，.
所以，函数在上单调递减，在上单调递增.
所以，函数在处取得极小值，
由于该函数有两个零点，则，
即，解得，C选项错误；
对于A、B选项，由于函数有两个零点、，且，
由于，则，，且有，
则，两个等式两边取自然对数得，
两式相减得，，
由对数平均不等式得，即，
，，A、B选项都正确；
对于D选项，由C选项可知，，
将中两个等式相加得，
，即，D选项正确.
故选C.
【点睛】本题考查极值点偏移的相关问题，在判断时可以利用对数平均不等式来进行判断，但在使用对数平均不等式时应该先证明出对数平均不等式，考查推理能力，属于难题.
39．（2023·全国·高三专题练习）若，分别是函数的零点和极值点，且在区间上，函数存在唯一的极大值点，使得，则下列数值中，的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由函数的零点和极值点的概念结合正弦函数图象的性质对各个选项进行判断即可.
【详解】设函数的最小正周期为T,由题意得则其中在区间上，
函数存在唯一的极大值点，使得，
所以解得即解得
对于D.若，则由且可知可使成立，
当时当或时，都成立，
故不符合；
对于C. 若，则，且可知
可使成立，当时，当时，存在唯一的极大值点，使得，故符合条件；
对于B. 若，则由且可知
可使成立，当时，
当或时，都成立，故不符合；
对于A. 若，则由 且可知
可使成立，当时，，
当或时，都成立，故不符合；
故选：C
考点六 求函数的最值
40．（2023春·天津静海·高二校联考阶段练习）在区间上的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】先求出函数在区间上的极值，然后比较极值和区间端点的函数值大小，即可得到本题答案.
【详解】因为，所以，
令，解得，或，
当变化时，的变化情况如下表所示，
因此，当时，有极大值，并且极大值为，
又由于，
所以函数在区间上的最小值是-2.
故选：B
41．（2023春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）函数是（ ）
A．奇函数，且最大值为2B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为D．偶函数，且最大值为
【答案】C
【分析】由奇偶函数的定义，即可判断出为奇函数，再根据的正负判断单调性，求出的最大值，即可求得答案．
【详解】因为定义域为R，且，
所以为奇函数，
又，
令，得或，
即或，
所以当时，，
即时，为增函数，
当时，，
即时，为减函数，
所以，
所以为奇函数，最大值为，故选项C正确，
故选：C．
42．（2023秋·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期末）已知函数．则下列结论中正确的是（ ）
A．函数既有最小值也有最大值B．函数无最大值也无最小值
C．函数有一个零点D．函数有两个零点
【答案】C
【分析】求导得到导函数，确定函数的单调区间，得到函数有最大值，无最小值，AB错误，设，函数单调递增，，故函数有一个零点，C正确，D错误，得到答案.
【详解】，，，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
故函数有最大值，无最小值，AB错误，
设，则恒成立，函数单调递增，
且，故函数有一个零点，C正确，D错误.
故选：C
43．（2023·河南开封·统考二模）已知函数，且，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】首先根据题干条件，得，化简整理得，
然后构造函数，借助导数求解的最小值，即可求出的最小值.
【详解】由，得，
化简整理得：；
令（），，令，解得.
当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增；
即，故
故选：D
44．（2023·全国·高三专题练习）已知，函数的最小值为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】方法一：求导后，令，结合导数和零点存在定理可得单调性，由此可得，由可化简得到，利用导数可求得的最小值，则，由此可得结果；
方法二：令，由二次函数性质可知，令，利用导数可求得，即为.
【详解】方法一：由题意得：；
令，则，在上单调递增，
又，当时，，，使得，
则当时，，即；当时，，即；
在上单调递减，在上单调递增，
；
由得：，
即，
设，则，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
，.
方法二：令，则当时，，
令，则，
当时，；当时，；
则在上单调递减，在上单调递增，
，即.
故选：A.
考点七 由函数的最值求参数问题
45．（2023春·天津武清·高二天津市武清区城关中学校联考阶段练习）已知函数，若在区间上的最大值为28，则实数k的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出的导函数,即， 令，可得x的值，讨论函数的极值及单调性，结合在区间上的最大值为28，即可求出k的取值范围.
【详解】因为，所以，
令，解得，
所以在和时，，在时，，
所以函数在和上单调递增，函数在上单调递减，
则在内单调递增，所以在内，最大；
在时单调递减，所以在内，最大；
在时单调递增，所以在内，最大；
因为，且在区间上的最大值为28，
所以，即k的取值范围是，
故选：A.
46．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的最小值是4．则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】利用导数研究函数的极值和最值即可，这里需要用到的二阶导数
【详解】由题，，，所以单调递增，
又，所以，，
故为最小值点，即，解得，
故选：A
47．（2023·全国·高二专题练习）若函数的最大值为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由基本不等式求得x＜0时，f（x）的值域，由题意可得x＞0时，f（x）的值域应该包含在x＜0时的值域内，转化为在x＞0时恒成立．利用导数求出的最大值即可.
【详解】当x＜0时，，
当且仅当x＝−1时，f（x）取得最大值f（−1）＝a−2，
由题意可得x＞0时，的值域包含于（−∞，a−2]，
即在x＞0时恒成立
即在x＞0时恒成立
即
设
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
故选：C．
48．（2023·全国·高三专题练习）若函数在上的最大值与最小值之和不小于，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】法一：由题设得，结合二次函数的性质研究符号，进而确定的单调性，求得不同情况下的最值并结合，即可求参数范围；
法二：由题设可得、，应用作差法，与比较大小，即可确定最值结合，即可求参数范围；
【详解】法一：由题意，，对于，
当，即时，，在上单调递增，
所以，即，因此；
当，即时，由、且，则在上有两个不相等的实根，，
不妨设，则上，上，上，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
由此，，.
由，则，同理可得，
所以，，则，解得，与矛盾.
综上，.
法二：由题意得：，.
当时，，即，
所以；
，又，，即，
所以.
综上，，即，得.
故选：B.
49．（2023·全国·高三专题练习）函数，若在上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求得导数，当时，得到在上单调递减，不符合题意；
当时，结合函数与的图象，得到存在，使得，结合函数的单调性，即可求解.
【详解】由题意，函数，可得，
若时，当时，可得，在上单调递减，
此时函数在没有最小值，不符合题意；
当时，令，即，即与的交点，
画出函数与的图象，如图所示，
结合图象，可得存在，使得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
此时函数在上有最小值，符合题意，
综上可得，实数a的取值范围是.
故选：A.
50．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间有最小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求导函数，分别讨论，，，时函数的单调性，判断是否在有最小值，即可得出结果．
【详解】，①当时，可得函数的增区间为，，
减区间为，若函数在区间有最小值，必有，
有，由，有，，不合题意；
②当时，此时函数的增区间为，，减区间为，在区间最小值为，符合题意；
③当时，此时函数的增区间为，，减区间为，
只需要，得；
④当时，在区间单调增，不合题意，
故实数的取值范围为．
故选：D
51．（2023·全国·高二专题练习）函数在区间内存在最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由导数法求得函数最小值点，根据区间列不等式求解即可.
【详解】由得，则当或，，单调递增；，，单调递减.
在区间内存在最小值，故最小值为，又，故有，解得.
故实数a的取值范围是.
故选：C.
52．（2023春·广东江门·高二校考阶段练习）已知函数,当时,不等式恒成立,则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先将不等式恒等变形成,从而同构函数,并可判断在上单调递增,再利用恒成立,分离参数即可求解.
【详解】因为时,不等式恒成立,
所以即,
令,则,又因为,
所以在上单调递增,
所以在上恒成立,
分离参数得恒成立,
令,则只需,
而,
令得,令,得
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以,故,即.
故选:D.
53．（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）已知函数 ， 若对任意恒成立， 则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求函数的导函数，利用导数求得函数的最小值，由最小值大于0，即得．
【详解】因为
所以，
当时，，函数在上为减函数，
又当时，，不满足在定义域内恒成立；
当时，由，解得，
当时，，当时，，
所以当时，函数为减函数，当时，函数为增函数，
所以=＝
由，得，即，
所以k的取值范围是.
故选：D．
54．（2023秋·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期末）已知函数对于任意时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将不等式化为，构造进而化为，利用导数研究单调性，再得在上恒成立，构造研究其最值，即可得参数范围.
【详解】由题设，即，
令且，上述不等式等价于，
而，故在上递增，则有在上恒成立，
所以在上恒成立，记，令，则，
当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，
所以在上递减，在上递增，则，故.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：由并构造函数并研究单调性，将问题转化为在上恒成立，再次构造研究最值求范围.
55．（2023春·重庆渝中·高二重庆巴蜀中学校考阶段练习）不等式对任意都成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．-1
【答案】A
【分析】由不等式对任意都成立可知，将实数分离开来，构造函数利用函数单调性求出的最小值即可求得结果.
【详解】由不等式，可得，
设，即使得的最小值满足条件即可，
又，
令，则，
当时，，即函数在上单调递减，
当时，，即函数在上单调递增，
所以，即恒成立.
因此当时，；
当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以，即实数的最大值为.
故选：.
56．（2023·贵州·校联考二模）已知函数，，对任意，，都有不等式成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】将问题转化为，利用导数求在上的最小值、在上的最小值，即可得结果.
【详解】对任意，，都有不等式成立，
，，，则在区间上单调递增，
∴，
，，，则在上单调递增，
，，则在上单调递减，
，，故，
综上，.
故选：C
考点八 函数的单调性、极值与最值的综合应用
57．（2023·全国·模拟预测）已知则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，通过换元法、赋值法比较的大小关系;
构造函数,利用导数判断函数的单调性，通过换元法、赋值法比较的大小关系.
【详解】构造函数，，则，当时，，
当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，
故，故，当且仅当时取等号．由于，则，
则，则，则，当且仅当时取等号．
当时，，所以，所以．
构造函数，则，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故，所以，当且仅当时取等号，
故，当且仅当时取等号．
当时，，则，所以．
综上得：．
故选：A．
【点睛】本题使用构造函数并利用函数的单调性判断函数值大小关系，在构造函数时首先把要比较的值变形为含有一个共同的数值，将这个数值换成变量就成了函数的形式，如在本题中，化为，中都有，即比较函数与大小即可得到的大小关系，进一步变形为比较与大小关系，从而构造函数并利用函数的单调性比较大小即可.
58．（2023春·重庆九龙坡·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）已知函数，若函数恰有5个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把函数零点问题转化为方程根的问题，转化为两函数的交点问题，再利用导数研究函数的大致图象进行求解判断.
【详解】函数恰有5个零点等价于关于的方程有5个不同的实根．
由，得或．
因为，所以，
由，得或，由，得，
则在和上单调递增，在上单调递减．
因为，，当时，，当时，，
所以可画出的大致图象：
由图可知有2个不同的实根，则有3个不同的实根，故，故A，C，D错误.
故选：B.
59．（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知函数有两个零点，且存在唯一的整数，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将函数有两个零点，转化为的图象有两个交点问题，利用导数判断的单调性，作出其大致图象，数形结合，列出能保证存在唯一的整数的不等关系，即可求得答案.
【详解】由题意函数有两个零点，
即，得有两个正实根，
设，则，
令，解得，当时，，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
故当时，函数取得极大值，且，
又时，；当时，；
当时，，
作出函数的大致图象，如图所示：
直线与的图象的两个交点的横坐标即分别为，
由题意知，又，
因为存在唯一的整数，所以，
又直线与的图象有两个交点，
由图可知：，即，
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题是根据函数零点的个数求参数的取值范围问题，关键在于要保证存在唯一的整数，因此解答时利用导数判断函数的单调性，作出函数图象，数形结合，列出保证条件成立的不等式，求解答案.
60．（2023春·四川成都·高三石室中学校考开学考试）已知函数的极值点均不大于2，且在区间上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据区间为开区间，可得最小值只能在极小值处取得，由此求导得出极值点，并分，，三种情况判断函数的单调性，最后根据是否有最小值，求出实数a的取值范围.
【详解】易知最小值只能在极小值处取得，，
解得导数零点为，根据题意可得．
当时，在上，在上单调递增，无最值；
当时，在上，上，上，
所以在上单调递增，上单调递减，上单调递增，
所以在取得极小值，又极小值必须为最小值，
所以，即，
所以；
当时，在上，上，
所以在上单调递减，上单调递增，此时函数有最小值满足条件，
综上所述，的取值范围为．
故选：A．
x
2
－
0
＋
单调递减
极小值
单调递增
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
0
0
0
+
0
-
单调递增
2
单调递减