湖北省部分重点中学2023-2024学年高三上学期第二次联考数学试题

这是一份湖北省部分重点中学2023-2024学年高三上学期第二次联考数学试题，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
试卷满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数z满足，则（ ）
A．3B．C．7D．13
3．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，A，B分别为圆柱上、下底面圆的圆心，P为圆锥的顶点，若圆锥的底面圆周长为，高为，圆柱的母线长为4，则该几何体的体积是（ ）
A．B．32πC．D．
4．在平面直角坐标系中，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．
C．D．
5．若，则（ ）
A．B．C．D．
6．设A，B为任意两个事件，且，，则下列选项必成立的是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知对任意恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．斜率为的直线l经过双曲线的左焦点，交双曲线两条渐近线于A，B两点，为双曲线的右焦点且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．下列结论正确的是（ ）
A．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17
B．若随机变量，满足，则
C．若随机变量，且，则
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，可判断X与Y有关）
10．下列命题正确的是（ ）
A．若、均为等比数列且公比相等，则也是等比数列
B．若为等比数列，其前n项和为，则，，成等比数列
C．若为等比数列，其前n项和为，则，，成等比数列
D．若数列的前n项和为，则“”是“为递增数列”的充分不必要条件
11．已知，则下列关系中正确的是（ ）
A．B．C．D．
12．已知四棱锥，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，PC与底面ABCD所成角的正切值为，点M为平面ABCD内一点，且，点N为平面PAB内一点，，下列说法正确的是（ ）
A．存在入使得直线PB与AM所成角为
B．不存在使得平面平面PBM
C．若，则以P为球心，PM为半径的球面与四棱锥各面的交线长为
D．三棱锥外接球体积最小值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的展开式中的系数为______．
14．与直线和直线都相切且圆心在第一象限，圆心到原点的距离为的圆的方程为______．
15．已知函数，若，则实数a的取值范围为______．
16．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：，，则______；若，则的最大值为______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题满分10分）
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，BC边的中线长为2．
（1）求角A；
（2）求边a的最小值．
18．（本题满分12分）
已知等比数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
19．（本题满分12分）
如图，在三棱柱中，底面是边长为6的等边三角形，，，D，E分别是线段AC，的中点，平面平面．
（1）求证：平面BDE；
（2）若点P为线段上的中点，求平面PBD与平面BDE的夹角的余弦值．
20．（本题满分12分）
已知椭圆的左焦点为，且过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过作一条斜率不为0的直线PQ交椭圆于P、Q两点，D为椭圆的左顶点，若直线DP、DQ与直线分别交于M、N两点，l与x轴的交点为R，则是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．
21．（本题满分12分）
甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，称为1次球交换的操作，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为．
（1）求的概率分布列并求；
（2）求证：为等比数列，并求出．
22．（本题满分12分）
已知函数，．
（1）当时，求证：；
（2）函数有两个极值点，其中，求证：．
湖北省部分重点中学2024届高三第二次联考
高三数学试卷参考答案
13． 14． 15． 16．4；
17．解：（1）因为，
所以，
，
因为，，，所以，又，所以．
（2）因为BC边的中线长为2，所以，所以，
即，解得，当且仅当时取等号．
所以，
所以a的最小值为．
18．（1）由题意知：当时，①
当时，②
联立①②，解得，．所以数列的通项公式．
（2）由（1）知，
所以．所以．
设数列中存在3项，，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列．
则，所以，
即
又因为m，k，p成等差数列，所以
所以化简得所以
又，所以与已知矛盾．
所以在数列中不存在3项，，成等比数列．
19．（1）证明：连接四边形是菱形，
又D，E分别为AC，的中点
，
又为等边三角形，D为AC的中点
平面平面，平面平面，平面ABC
平面，又平面，
又，，BD，平面BDE
平面BDE
（2），，为等边三角形
D是AC的中点，由（1）得平面
以D为原点，DB，DA，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
，，
设平面PBD的一个法向量为，
则，即
取，则．所以是平面PBD的一个法向量
由（1）得是平面BDE的一个法向量
即平面PBD与平面BDE的夹角的余弦值为
20．解：（1）由题知，椭圆C的右焦点为，且过点，
所以，所以．又，所以，
所以C的标准方程为．
（2）设直线PQ的方程为，
由，得
所以，，
直线DP的方程为，令得，
同理可得
所以
故为定值。
21．解：（1）可能取0，1，2，3
则；
；
；
，
分布列为：
（3）由题可知
又
22．解：（1），
则
令，则
在上单调递减在上单调递增．
，在上单调递增。
，即时，成立。
（2）
有两个极值点，①
要证成立，即证成立。
令，，即证成立．
①式可化为，则
令，，在上单调递增，在上单调递减。
，要使有两个零点，则
当时，，直线与交于
当时，由（1）知
而与交于，则，
成立。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
B
C
B
A
D
A
B
CD
BD
ABD
BCD
0
1
2
3
P