2024湖北省部分重点中学高三第二次联考（六校联考）数学试卷含答案

这是一份2024湖北省部分重点中学高三第二次联考（六校联考）数学试卷含答案，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题学校：武汉市第六中学 命题教师：邬婕 审题教师：程晓玲
考试时间：2024年1月17日下午14：00-16：00 试卷满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足，则（ ）
A．3B．C．7D．13
3．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，，分别为圆柱上、下底面圆的圆心，为圆锥的顶点，若圆锥的底面圆周长为，高为，圆柱的母线长为4，则该几何体的体积是（ ）
A．B．C．D．
4．在平面直角坐标系中，，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．若，则（ ）
A．B．C．D．
6．设，为任意两个事件，且，，则下列选项必成立的是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．斜率为的直线经过双曲线的左焦点，交双曲线两条渐近线于，两点，为双曲线的右焦点且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．下列结论正确的是（ ）
A．一组数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为17
B．若随机变量，满足，则
C．若随机变量，且，则
D．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到．依据的独立性检验，可判断与有关
10．下列命题正确的是（ ）
A．若、均为等比数列且公比相等，则也是等比数列
B．若为等比数列，其前项和为，则，，成等比数列
C．若为等比数列，其前项和为，则，，成等比数列
D．若数列的前项和为，则“”是“为递增数列”的充分不必要条件
11．已知，则下列关系中正确的是（ ）
A．B．C．D．
12．已知四棱锥，底面是正方形，平面，，与底面所成角的正切值为，点为平面内一点，且，点为平面内一点，，下列说法正确的是（ ）
A．存在使得直线与所成角为
B．不存在使得平面平面
C．若，则以为球心，为半径的球面与四棱锥各面的交线长为
D．三棱锥外接球体积最小值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的展开式中的系数为_________．
14．与直线和直线都相切且圆心在第一象限，圆心到原点的距离为的圆的方程为_________．
15．已知函数，若，则实数的取值范围为_________．
16．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：，，则_________；若，则的最大值为_________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题满分10分）
在中，角，，的对边分别为，，，若，边的中线长为2．
（1）求角；
（2）求边的最小值．
18．（本题满分12分）
已知等比数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
19．（本题满分12分）
如图，在三棱柱中，底面是边长为6的等边三角形，，，，分别是线段，的中点，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）若点为线段上的中点，求平面与平面的夹角的余弦值．
20．（本题满分12分）
已知椭圆的左焦点为，且过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过作一条斜率不为0的直线交椭圆于、两点，为椭圆的左顶点，若直线、与直线分别交于、两点，与轴的交点为，则是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由．
21．（本题满分12分）
甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有1个黑球和2个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，称为1次球交换的操作，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为．
（1）求的概率分布列并求；
（2）求证：（且）为等比数列，并求出（且）．
22．（本题满分12分）
已知函数，．
（1）当时，求证：；
（2）函数有两个极值点，，其中，求证：．
湖北省部分重点中学2024届高三第二次联考
高三数学试卷参考答案
13． 14． 15． 16．4
17．解：（1）因为，
所以，
，
，
因为，，，所以，又，所以．
（2）因为边的中线长为2，所以，所以，即，解得，当且仅当时取等号．
所以，
所以的最小值为．
18．（1）由题意知：当时，①
当时，②
联立①②，解得，．所以数列的通项公式．
（2）由（1）知，
所以．所以．
设数列中存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列．
则，所以，即
又因为，，成等差数列，所以
所以化简得，所以
又，所以与已知矛盾．
所以在数列中不存在3项，，成等比数列．
19．（1）证明：连接，四边形是菱形，，
又，分别为，的中点
，，
又为等边三角形，为的中点，
平面平面，平面平面，平面
平面，又平面，
又，，，平面
平面
（2），，为等边三角形
是的中点，由（1）得平面
以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，即
取，则．所以是平面的一个法向量
由（1）得是平面的一个法向量
即平面与平面的夹角的余弦值为．
20．解：（1）由题知，椭圆的右焦点为，且过点，
所以，所以．又，所以，
所以的标准方程为．
（2）设直线的方程为，，
由得
所以，，
直线的方程为，令得，
同理可得
所以
故为定值．
21．解：（1）可能取0，1，2，3
则；
；
；
，
分布列为：
（3）由题可知
又
（且）
（且）
22．解：（1），则
令，则
在上单调递减，在上单调递增．
，在上单调递增．
，即时，成立．
（2）
有两个极值点，，①
要证成立，即证成立．
令，，即证成立．
①式可化为则
令，，在上单调递增，在上单调递减．
，要使有两个零点，则，
当时，，直线与交于
当时，由（1）知
而与交于，则，
成立．
．1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A
B
C
B
A
D
A
B
CD
BD
ABD
BCD
0
1
2
3