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    2023-2024学年江西省抚州市金溪一中高三上学期1月考试数学试题(含解析)

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    2023-2024学年江西省抚州市金溪一中高三上学期1月考试数学试题(含解析)

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    这是一份2023-2024学年江西省抚州市金溪一中高三上学期1月考试数学试题(含解析),共20页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    1.集合A=x|x≤3,x∈N,若B⊆A且B≠A,则满足条件的集合B的个数为
    ( )
    A. 7B. 8C. 15D. 16
    2.已知复数z满足z3−4i=4−2i,则z=( )
    A. 55B. 2 55C. 15D. 45
    3.将函数fx=csωx+π4(ω>0)的图象向左平移π3个单位长度后得到的函数为奇函数,则实数ω的最小值为
    ( )
    A. 94B. 54C. 34D. 14
    4.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点,则椭圆C的离心率为
    ( )
    A. 32B. 22C. 5−12D. 3−12
    5.蚊香具有悠久的历史,我国蚊香的发明与古人端午节的习俗有关.如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”.画法如下:在水平直线上取长度为1的线段AB,作一个等边三角形ABC,然后以点B为圆心,AB为半径逆时针画圆弧交线段CB的延长线于点D(第一段圆弧),再以点C为圆心,CD为半径逆时针画圆弧交线段AC的延长线于点E,再以点A为圆心,AE为半径逆时针画圆弧……以此类推,当得到的“蚊香”恰好有15段圆弧时,“蚊香”的长度为
    ( )

    A. 44πB. 64πC. 70πD. 80π
    6.已知非零向量a,b满足a⋅b+b2=0,a+4b=5,则a+b+b的最大值为( )
    A. 5 103B. 4 103C. 25 24D. 5
    7.已知函数fx=x2−x2−a3x−9在区间−∞,−3,1,+∞上都单调递增,则实数a的取值范围是
    ( )
    A. 00),则m的值可能为
    ( )
    A. 22B. eeC. cs12D. ee+1
    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
    13.1+ 35+1− 35=
    14.由6个实数组成的一组数据的方差为s12,将其中一个数6改为2,另一个数5改为9,其余的数不变,得到新的一组数据的方差为s22,则s22−s12=
    15.已知x、y为正实数,且满足xy2(3x+4y)=3,则3x+2y的最小值为
    16.已知正方形ABCD的 中心在坐标原点,四个顶点都在函数fx=x3+bx的图象上.若正方形ABCD唯一确定,则实数b的值为
    四、解答题:本题共6小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    17.(本小题12分)
    已知在平面四边形ABCD中,AB=BC=CD=1,AD=2.
    (1)求2csA−csC的值;
    (2)记▵ABD与△CBD的面积分别为S1和S2,求S12+S22的最大值.
    18.(本小题12分)
    如图,已知多面体ABCDEF的底面ABCD为矩形,四边形BDEF为平行四边形,平面FBC⊥平面ABCD,FB=FC=BC=1,AB=2,G是CF的中点.

    (1)证明:BG//平面AEF;
    (2)求直线AE与平面BDEF所成角的正弦值.
    19.(本小题12分)
    甲、乙两人准备进行羽毛球比赛,比赛规定:一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方.若甲发球,则本回合甲赢的概率为23,若乙发球,则本回合甲赢的概率为13,每回合比赛的结果相互独立.经抽签决定,第1回合由甲发球.
    (1)求第4个回合甲发球的概率;
    (2)设前4个回合中,甲发球的次数为X,求X的分布列及期望.
    20.(本小题12分)
    记Sn为数列an的前n项和,已知a1=1,Snan+1−Snan=−12.
    (1)求an的通项公式;
    (2)设Q={x|x=2an+1,n∈N∗},R={x|x=4an+2,n∈N∗},若等差数列cn中的任一项cn∈Q∩R,其中c1是Q∩R中的最小数,且4000,所以当k=0时,ω取得最小值,最小值为34.
    故选:C.
    4.【答案】D
    【解析】【分析】根据已知得到a+c= a2+b2,结合a,b,c关系式即可求出结果.
    【详解】由题知等腰三角形的三边为a,a+c, a2+b2,
    则a+c= a2+b2,
    即有a2−2ac−2c2=0,解得e=ca= 3−12.
    故选:D
    5.【答案】D
    【解析】【分析】利用扇形弧长公式及等差数列求和公式计算即可.
    【详解】由题意每段圆弧的中心角都是2π3,每段圆弧的半径依次增加1,
    则第n段圆弧的半径为n,弧长记为an,则an=2π3⋅n,
    所以S15=2π3(1+2+3+⋯+15)=80π.
    故选:D.
    6.【答案】A
    【解析】【分析】利用平面向量的数量积与模长关系先判定a+b⊥b,再利用三角换元结合辅助角公式计算即可.
    【详解】设a+b=m,b=n,由a⋅b+b2=a+b⋅b=0,则有a+b⊥b,
    又a+4b=a+b+3b=5,
    即m2+3n2=25,
    令m=5csθ,3n=5sinθ,00,故x1>−3,∴fx在−∞,−3上单调递增,
    要满足在1,+∞上单调递增,只需a12≤1,可解得00,
    所以数列2an是等比数列,故 A正确;
    对于B,当an为常数列时,an2也为常数列,此时数列an2是等差数列,故 B错误;
    对于C,数列an是等差数列,其前n项的和为Sn,可设Sn=An2+Bn(A,B为常数),
    令cn=Snn=An+B,此时cn+1−cn=A为常数,所以数列Snn是等差数列,故 C正确;
    对于D,当an是等差数列,且为各项均为0的常数列时,Sn=0,此时Snn+1=0,
    所以数列Snn+1为各项为0的常数列,可以为等差数列,故 D错误,
    故选:AC.
    10.【答案】ACD
    【解析】【分析】根据双曲线以及圆的对称性可判断A;利用对称性可得∠AOD=2∠AOF,结合二倍角公式可判断B;利用三角形面积公式可求四边形ABCD的面积,判断C;求出点A的纵坐标,利用三角函数值推出a,c之间的关系,即可求得离心率,判断D.
    【详解】对于A,由双曲线以及圆的对称性可知AC和BD是圆O的两条直径,且|OF|=6,
    所以AC=BD=12,故 A正确;

    对于B,由条件得cs∠AOD=cs2∠AOF=2×2 232−1=79,
    而∠AOD与∠AOB互补,所以cs∠AOB=−cs∠AOD=−79,故 B错误;
    对于C,由已知得∠AOD∈(0,π),∴sin∠AOD= 1−792=4 29,
    所以四边形ABCD的面积为2×12×|OA||OD|×sin∠AOD+2×12×|OA||OB|×sin∠AOB
    =12×AC×BDsin∠AOD=12×12×12×4 29=32 2,故 C正确;
    对于D,记双曲线的半焦距为c(c>0),联立x2a2−y2b2=1x2+y2=a2+b2=c2,解得y=±c2−a2c,
    故A点纵坐标为c2−a2c,则sin∠AOF=c2−a2c2,
    再由已知可得∠AOF为锐角,故sin∠AOF= 1−2 232=13,
    所以c2−a2c2=13,所以a2c2=23,∴e= 62,故 D正确.
    故选:ACD
    难点点睛:解答本题的难点在于选项D,求双曲线的离心率,解答时要注意利用角的三角函数值建立a,b,c之间的等量关系,从而求得关于a,c的关系,即可求解.
    11.【答案】BCD
    【解析】【分析】根据棱长为3的条数分类讨论计算四面体的体积即可,其中结合了线面垂直和锥体体积公式.
    【详解】由三角形的 两边之和大于第三边性质,知四面体中棱长为3的棱最多有3条,
    若只有一条棱长度为3,如图AB=3,其余棱长都为6,
    取AB中点E,CD中点F,连接CE,DE,EF,
    则CE⊥AB,DE⊥AB,
    又CE,DE是平面CDE内两相交直线,则AB⊥平面CDE,
    由已知CE=DE= 62−(32)2=3 152,
    则EF⊥CD,EF= (3 152)2−32=3 112,
    S▵CDE=12×6×3 112=9 112,
    VABCD=13×S▵CDE×AB=13×9 112×3=9 112;
    若有两条棱长度为3,还是如(1)中的图形,AB=CD=3,
    解法如(1),VABCD=13×S▵CDE×AB=13×9 144×3=9 144
    若有三条棱长度为3,只能是底面三边为3,
    如图BC=CD=BD=3,AB=AC=AD=6,四面体为正三棱锥,设AO是正三棱锥的高,O是▵BCD的外心,OB=23× 32×3= 3,
    AO= AB2−OB2= 62− 32= 33,
    VABCD=13×S▵BCD×AO=13× 34×32× 33=9 114 ,
    故选:BCD.
    12.【答案】ACD
    【解析】【分析】先对已知条件xx=yy=m(x>y>0)两边取自然对数得xlnx=ylny=lnm,构造函数fx=xlnx,利用导数研究函数fx的单调性及最值,得出e−1e0;xlnx=ylny=lnm(x>y>0).
    设fx=xlnx
    则f′x=lnx+1
    令f′x>0,得x>1e;令f′xx+1x>0,
    则e1e>1e+1=e+1e.
    所以e−1e

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