2022-2023学年江西省抚州市崇仁一中、广昌一中、金溪一中高二下学期第一次月考数学试题含解析

2022-2023学年江西省抚州市崇仁一中、广昌一中、金溪一中高二下学期第一次月考数学试题

一、单选题

1．设随机变量，则（    ）

A．10 B．30 C．15 D．5

【答案】A

【分析】根据二项分布的方差公式进行计算即可.

【详解】由随机变量满足二项分布，

所以，

所以.

故选：A.

2．若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则（    ）．

A．9 B．10 C．11 D．12

【答案】B

【分析】求得二项展开式的第4项与第8项的二项式系数，列出方程，即可求解.

【详解】由题意，二项式的展开式中第4项与第8项的二项式系数分别为，，

可得，解得.

故选：B.

3．由数据，，…，可得关于的线性回归方程为，若，则（    ）

A．48 B．52 C．56 D．80

【答案】A

【分析】根据回归直线方程必过样本中心即可求出结果.

【详解】因为，所以，所以，所以.

故选：A.

4．现有3个小组，每组3人，每人投篮1次，投中的概率均为，若1个小组中至少有1人投中，则称该组为“成功组”，则这3个小组中恰有1个“成功组”的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用独立重复试验计算概率即可.

【详解】1个小组是“成功组”的概率为,

则这3个小组中恰有1个“成功组”的概率为.

故选：B．

5．某人连续两次对同一目标进行射击，若第一次击中目标，则第二次也击中目标的概率为，若第一次未击中目标，则第二次击中目标的概率为，已知第一次击中目标的概率为，则在第二次击中目标的条件下，第一次也击中目标的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设出事件，利用全概率公式计算出，再利用条件概率公式计算出答案.

【详解】设第一次击中目标为事件A，第二次击中目标为事件B，

则，，，

所以，

故，

则

故选：C

6．某高中从3名男教师和2名女教师中选出3名教师，派到3个不同的乡村支教，要求这3名教师中男女都有，则不同的选派方案共有（    ）种

A．9 B．36 C．54 D．108

【答案】C

【分析】根据给定条件利用排列并结合排除法列式计算作答.

【详解】从含有3名男教师和2名女教师的5名教师中任选3名教师，派到3个不同的乡村支教，不同的选派方案有种，

选出3名教师全是男教师的不同的选派方案有种，

所以3名教师中男女都有的不同的选派方案共有种

故选：C

7．我国古代典籍《艺经》中记载了一种名为“弹棋”的游戏：“弹棋，二人对局，先列棋相当.下呼，上击之.”其规则为：双方各执4子，摆放好后，轮流用己方棋子击打对方棋子，使己方棋子射入对方的圆洞中，先射完全部4子者获胜.现有甲、乙两人对弈，其中甲、乙击中的概率分别为、，甲执先手，则双方共击9次后游戏结束的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先根据题意得到一定甲获胜，且最后一次甲击中，再求概率即可.

【详解】由题知：因为甲执先手，则双方共击9次后游戏结束，

所以一定甲获胜，且最后一次甲击中，乙至多击中3次，

故概率.

故选：C

8．已知双曲线的左焦点为，M为C上一点，M关于原点的对称点为N，若，且，则C的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由对称性知四边形为平行四边形，可求得及，在中，由余弦定理建立的关系，从而求得渐近线方程.

【详解】如图所示，不妨设在左支，

设右焦点为，连接，

由对称性知四边形为平行四边形，

由得，

由双曲线定义知：，

所以，

因为，所以

在中，由余弦定理得，

即，

整理得，即，所以，

则C的渐近线方程为.

故选：D

【点睛】求双曲线的渐近线就是求与的关系，通过可通过几何关系或代数式建立关于的一个齐次等式，求解均可得到渐近线方程.几何关系通过用到平面几何中的有关知识建立关系，甚至平面向量、正弦定理、余弦定理都可以用来建立关系式.

二、多选题

9．已知随机变量从二项分布，则（    ）

A． B．

C． D．最大时或501

【答案】AD

【分析】结合二项分布的性质，逐项计算，即可得到本题答案.

【详解】对A，，所以A对；

对B，因为，且，

所以，所以B错；

对C，因为，

所以，所以C错；

对D，因为，由组合数的性质得，最大时或501，所以D对.

故选：AD

10．已知某批零件的质量指标单位：毫米服从正态分布，且，现从该批零件中随机取件，用表示这件产品的质量指标值不位于区间的产品件数，则（    ）

A．P(25.35<<25.45)=0.8 B．E(X)=2.4

C．D(X)=0.48 D．

【答案】ACD

【分析】根据正态分布的对称性、概率公式，结合二项分布的公式，可得答案.

【详解】由正态分布的性质得P(25.35<<25.45)= 1-2 P(24.45)=1-20.1=0.8，故A正确；

则1件产品的质量指标值不位于区间(25.35，25.45)的概率为P=0.2，

所以，故E(X)=30.2=0.6，故B错误；

D(X)=30.20.8=0.48，故C正确；

，故D正确．

故选：ACD.

11．2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，上饶市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了调查学生对冬奥会项目的了解情况，在本市中小学中随机抽取了10所学校中的部分同学，10所学校中了解冬奥会项目的人数如图所示：

若从这10所学校中随机选取3所学校进行冬奥会项目的宣讲活动，记为被选中的学校中了解冬奥会项目的人数在30以上的学校所数，则下列说法中正确的是（    ）

A．的可能取值为0，1，2，3 B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据题意分析服从参数为10，4，3的超几何分布，根据超几何分布的性质运算即可对选项一一验证得出答案.

【详解】由题意可得的可能取值为0，1，2，3，故A正确；

分析可得服从参数为10，4，3的超几何分布，

其分布列为，

则，故B错误；

，故C正确；

，故D正确；

故选：ACD.

12．为排查新型冠状病毒肺炎患者，需要进行核酸检测．现有两种检测方式：（1）逐份检测：（2）混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数总共为次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为，若，运用概率统计的知识判断下列哪些p值能使得混合检测方式优于逐份检测方式．（参考数据：）（    ）

A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1

【答案】CD

【分析】计算混合检测分式，样本需要检测的总次数的期望，又逐份检测方式，样本需要检测的总次数，知，利用求解可得p的范围，即可得出选项.

【详解】设混合检测分式，样本需要检测的总次数可能取值为

，

故的分布列为：

设逐份检测方式，样本需要检测的总次数，则

要使得混合检测方式优于逐份检测方式，需

即，即，即

又，，

故选：CD

三、填空题

13．随机变量X的分布列如表所示，若，则_________.

【答案】5

【分析】利用离散型随机变量的分布列、数学期望的性质，列出方程组，求出，，由此能求出方差，再根据方差的性质计算可得．

【详解】依题意可得，解得，

所以，

所以.

故答案为：5.

14．某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需调整生产工艺，使得σ至多为____________．（若，则；；）

【答案】##

【分析】根据题意，由正态分布曲线的性质，代入计算，即可得到结果.

【详解】依题可知，，再根据题意以及正态曲线的特征可知，

的解集，

由可得，所以，解得：，故σ至多为．

故答案为：．

15．直线始终平分圆的周长，则的最小值为______．

【答案】##

【分析】由题意可得直线过圆心，再将用表示，结合二次函数即可得解.

【详解】解：圆化为标准方程：，

圆心为，

因为直线始终平分圆的周长，

所以直线过圆心，

则，所以，

则，

当时，取得最小值.

故答案为：.

16．如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，平面ABCD，，，点Q是侧棱PD的中点，点M，N分别在边AB，BC上，当空间四边形PMND的周长最小时，点Q到平面PMN的距离为______．

【答案】##

【分析】平面PAB沿AB展开到与平面ABCD共面，当点P，M，N和共线时周长最小，计算得到，，，建立空间直角坐标系，计算平面的法向量为，根据距离公式计算得到答案.

【详解】要使得空间四边形PMND周长最小，只需将平面PAB沿AB展开到与平面ABCD共面，

延长DC至，使得，

于是点N在线段的垂直平分线上，所以，

因为PD为定值，故当点P，M，N和共线时，空间四边形PMND的周长最小，

易得，即得，即，

所以，，，

以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，由题意可得，，，

则，，

设是平面PMN的一个法向量，则. 即得，

令，得，，，，

所以点Q到平面PMN的距离．

故答案为：．

四、解答题

17．某工厂生产的产品是经过三道工序加工而成的，这三道工序互不影响，已知生产该产品三道工序的次品率分别为，，．

(1)求该产品的次品率；

(2)从该工厂生产的大量产品中随机抽取三件，记次品的件数为，求随机变量的分布列与期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）利用相互独立事件的乘法概率计算公式能求出产品为正品的概率，即可由对立事件求次品概率

（2）由题意得，1，2，3，分别求出其相对应的概率，能求出的分布列和数学期望．

【详解】（1）产品正品的概率为：，

所以为次品的概率为

（2）由题意得，1，2，3，且

，

，

，

，

 的分布列如下：

．

18．在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，二面角为直二面角.

(1)求证：；

(2)当时，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得平面，进而得出.然后即可根据线面垂直的判定定理得出平面，然后即可得出；

（2）取中点为，连结.取中点为，连结.由已知可证平面，.以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，求出平面的一个法向量，即可根据向量法求出答案.

【详解】（1）由题意知平面平面，

又平面平面，，平面，

所以平面.

因为平面，所以.

又因为，，平面，平面，

所以平面.

因为平面，所以.

（2）取中点为，连结.取中点为，连结.

因为，点是中点，所以.

又因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面.

因为点、分别是、的中点，所以，则.

则，.

以点为坐标原点，所在直线分别为轴，如图建立空间直角坐标系，

则，，，，，，，，，.

设是平面的一个法向量，

则，取，则，

所以是平面的一个法向量.

设直线与平面所成的角为，则，

所以直线与平面所成的角的正弦值为.

19．袋子中有8张水果卡片，其中4张苹果卡片，4张梨子卡片，消费者从该袋子中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片都是同一种水果，则获得一张10元代金券；若抽到的4张卡片中恰有3张卡片是同一种水果，则获得一张5元代金券；若抽到的4张卡片是其他情况，则不获得任何奖励．

(1)求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片都是苹果卡片的概率；

(2)记随机变量X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求X的分布列和数学期望；

(3)该商家规定，每位消费者若想再次参加该项抽奖活动，则需支付2元．若你是消费者，是否愿意再次参加该项抽奖活动？请说明理由．

【答案】(1)；

(2)分布列见解析，；

(3)愿意，理由见解析.

【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得；

（2）依题意X的可能取值为0、5、10，求出所对应的概率，列出分布列，即可求出数学期望；

（3）记随机变量Y为消费者在一次抽奖活动中的收益，则Y＝X﹣3，根据期望的性质求出E（Y），即可判断；

【详解】（1）记“某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都是苹果为事件A，

则P（A）＝＝，所以某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片上都是苹果的概率为 ；

（2）依题意随机变量X的所有可能取值为0、5、10，

则P（X＝0）＝＝，P（X＝5）＝＝，P（X＝10）＝＝，

所以X的分布列为：

所以E（X）＝10×+5×+0×＝；

（3）记随机变量Y为消费者在一次抽奖活动中的收益，

则Y＝X﹣2，所以E（Y）＝E（X﹣2）＝E（X）﹣2＝﹣2＝＞0，

所以愿意再次参加该项抽奖活动．

20．为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A“毛毛虫旱地龙舟”和项目B“袋鼠接力跳”．甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛．每一个比赛项目均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），假设在项目A中甲班每一局获胜的概率为，在项目B中甲班每一局获胜的概率为，且每一局之间没有影响．

(1)求甲班在项目A中获胜的概率；

(2)设甲班获胜的项目个数为X，求X的分布列及数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析，

【分析】（1）记“甲班在项目A中获胜”为事件A，利用独立事件的乘法公式求解即可；

（2）先算出“甲班在项目B中获胜”的概率，然后利用独立事件的乘法公式得到X的分布列，即可算出期望

【详解】（1）记“甲班在项目A中获胜”为事件A，

则，

所以甲班在项目A中获胜的概率为

（2）记“甲班在项目B中获胜”为事件B，

则，

X的可能取值为0，1，2，

则，

，

．

所以X的分布列为

．

所以甲班获胜的项目个数的数学期望为

21．在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C过点，离心率．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB的面积最大值．

【答案】(1)

(2)1

【分析】（1）设椭圆方程为，根据题意求出，即可得解；

（2）联立方程，根据求出的范围，再利用韦达定理求得，再利用弦长公式求出，利用点到直线的距离公式求出点O到直线的距离，再根据三角形的面积公式结合二次函数的性质即可得解.

【详解】（1）设椭圆方程为，

由椭圆C过点，离心率，

得，解得，，

所以椭圆C的方程为：；

（2）设，，联立，得，

，得，则，

所以，

点O到直线的距离，

所以△AOB的面积

，

当时，△AOB的面积取到最大值1.

22．设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，．

(1)求C的方程；

(2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由抛物线的定义可得，即可得解；

（2）法一：设点的坐标及直线，由韦达定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，设直线，结合韦达定理可解.

【详解】（1）抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p，

此时，所以，

所以抛物线C的方程为；

（2）[方法一]：【最优解】直线方程横截式

设，直线，

由可得，，

由斜率公式可得，，

直线，代入抛物线方程可得，

，所以，同理可得，

所以

又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以，

若要使最大，则，设，则，

当且仅当即时，等号成立，

所以当最大时，，设直线，

代入抛物线方程可得，

，所以，

所以直线.

[方法二]：直线方程点斜式

由题可知，直线MN的斜率存在.

设,直线

由 得：，,同理，.

直线MD:,代入抛物线方程可得：，同理，.

代入抛物线方程可得:,所以，同理可得，

由斜率公式可得：

（下同方法一）若要使最大，则，

设，则，

当且仅当即时，等号成立，

所以当最大时，，设直线，

代入抛物线方程可得，，所以，所以直线.

[方法三]：三点共线

设，

设,若 P、M、N三点共线，由

所以，化简得，

反之，若,可得MN过定点

因此，由M、N、F三点共线，得，

      由M、D、A三点共线，得，

      由N、D、B三点共线，得，

则，AB过定点（4,0）

（下同方法一）若要使最大，则，

设，则，

当且仅当即时，等号成立，

所以当最大时，，所以直线.

【整体点评】（2）法一：利用直线方程横截式，简化了联立方程的运算，通过寻找直线的斜率关系，由基本不等式即可求出直线AB的斜率，再根据韦达定理求出直线方程，是该题的最优解，也是通性通法；

法二：常规设直线方程点斜式，解题过程同解法一；

法三：通过设点由三点共线寻找纵坐标关系，快速找到直线过定点，省去联立过程，也不失为一种简化运算的好方法．