浙江省温州市部分重点中学2023-2024学年高一上学期期中联考数学试卷(含答案)

这是一份浙江省温州市部分重点中学2023-2024学年高一上学期期中联考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知a,,则“”是“”( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3．已知函数,若,则a的所有可能值为( )
A.B.1,C.,D.,1,
4．若幂函数的图象经过点,则下列判断正确的是( )
A.在上为增函数B.方程的实根为
C.的值域为D.为偶函数
5．若正数x,y满足,则的最小值为( )
A.27B.81C.6D.9
6．若不等式的解集为,则函数的零点为( )
A.和B.和C.2和D.和3
7．已知,若是的最小值,则实数t的取值范围为( )
A.B.C.D.
8．实数a,b,c满足且,则下列关系成立的是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列命题为真命题的为( )
A.,
B.当时,,
C.成立的充要条件是
D.设a,,则“”是“”的必要不充分条件
10．已知x,y都为正数,且,则下列说法正确的是( )
A.2xy的最大值为B.的最小值为
C.的最大值为D.的最小值为
11．下列说法正确的是( )
A.函数的值域是,则函数的值域为
B.既是奇函数又是偶函数的函数只有一个
C.若,则
D.函数的定义域是,则函数的定义域为
12．数学上,高斯符号(Gaussmark)是指对取整符号和取小符号的统称,用于数论等领域.定义在数学特别是数论领域中,有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分,或需要略去整数部分研究小数部分,因而引入高斯符号.设,用表示不超过x的最大整数.比如:,,,,…,已知函数,则下列说法不正确的是( )
A.的值域为B.在为减函数
C.方程无实根D.方程仅有一个实根
三、填空题
13．函数的定义域为______.
14．已知函数是定义在上的偶函数,则函数在上的最小值为______.
15．股票是股份公司发给股东证明其所入股份的一种有价证券,它可以作为买卖对象和抵押品,是资金市场主要的长期信用工具之一.股票在公开市场交易时可涨可跌,在我国上海证券交易所交易的主板股票每个交易日上涨和下跌都不超过10%,当日上涨10%称为涨停,当日下跌10%称为跌停.某日贵州茅台每股的价格是1500元,若贵州茅台在1500元的价格上先涨停2天再跌停2天,则4天后每股的价格是______元.
16．设是定义在R上的函数,对任意的,恒有成立,,若在上单调递增,且,则实数a的取值范围是______.
四、解答题
17．（1）计算;
（2）若实数a满足,求的值.
18．已知函数.
（1）证明:在上为增函数;
（2）求在上的值域.
19．在①;
②““是“”的充分不必要条件;
③这三个条件中任选一个,补充到本题第（2）问的横线处,求解下列问题.
问题:已知集合,.
（1）当时,求;
（2）若_______,求实数a的取值范围.
20．设函数.
（1）若函数为奇函数,求方程的实根;
（2）若函数在上的最大值为,求实数a的值.
21．美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A,B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金千万元,现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测,生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比,已知每投入1千万元,公司获得毛收入千万元;生产B芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系为,其图像如图所示.
（1）试分别求出生产A,B两种芯片的毛收入(千万元)与投入资金(千万元)的函数关系式;
（2）现在公司准备投入0千万元资金同时生产A,B两种芯片,求可以获得最大利润是多少.
22．若函数自变量的取值区间为时,函数值的取值区间恰为,就称区间为的一个“和谐区间”.已知函数是定义在R上的奇函数,当时,.
（1）求的解析式;
（2）求函数在内的“和谐区间”;
（3）若以函数在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数的图像,是否存在实数m,使集合恰含有2个元素.若存在,求出实数m的取值集合;若不存在,说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：因为,
又,所以.
故选:B.
2．答案：A
解析：若,则,则成立.
而当且时,满足,但不成立;
“”是“”的充分不必要条件.
故选:.
3．答案：C
解析：若,则,解得,
若,则,解得或1(舍去),
故a所有可能值为,.
故选:C
4．答案：D
解析：设,代入点可得,所以,
所以,因为,所以,即函数的定义域为,
对于A:因为,所以在上为减函数,错误;
对于B:令,所以,解得,所以方程的实根为,错误;
对于C:因为,所以,所以,所以的值域为,错误;
对于D:因为的定义域为关于原点对称,且,
所以为偶函数,正确.
故选:D
5．答案：B
解析：因为,,可得,当且仅当时,等号成立,
所以的最小值为4,所以.
故选:B
6．答案：D
解析：因为的解集为,
所以方程的两根分别为和2,且,
则,解得,
故函数,
则与x轴的交点坐标为和,所以零点为和3.
故选:D.
7．答案：C
解析：因为时,,
所以要使是的最小值,则,
又当时,,
当且仅当时取等号,
所以,又因为,
所以.
故答案为:C
8．答案：D
解析：由可得,则,
由可得,利用完全平方可得
所以,
,
,
综上,
故选:D
9．答案：ABD
解析：对于A,因为,所以,恒成立,所以A正确;
对于B,当时,方程的判别式,所以,成立,所以B正确;
对于C,若,,则,所以成立的充要条件是是错误的;
对于D,当,时,,而当时,成立,所以“”是“”的必要不充分条件,所以D正确.
故选:ABD.
10．答案：ABD
解析：对于A:,,,
,当且仅当,即,时,等号成立,
即的最大值为,故A正确,
对于B:,,,
,
由A可知,,,当且仅当,时,等号成立,
即的最小值为,故B正确,
对于C:,,,
,当且仅当,即,时,等号成立,
显然不成立,所以的最大值取不到,故C错误,
对于D,,,,
,
当且仅当,即,时,等号成立,
即的最小值为,故D正确,
故选:ABD.
11．答案：CD
解析：对于A:函数的图象是由的图象向左平移一个单位而得到,
又函数的值域是,则函数的值域为,错误;
对于B:设,,D是关于原点对称的区间,则既是奇函数又是偶函数,
由于区间有无数个,所以函数有无数个,
则既是奇函数又是偶函数的函数有无数个,错误;
对于C:因为,所以,则有,正确;
对于D:因为函数的定义域是,所以,解得,
所以函数的定义域为,正确;
故选:CD
12．答案：AB
解析：由高斯函数的定义可得:当时,,则,
当时,,则,当时,,则,
当时,,则,当时,,则,
绘制函数图象如图所示,
对于A,由图可知,在上的值域为,不正确;
对于B,当时,的每段函数都是单调递减,但是在不是减函数,不正确;
对于C,由选项A知,在上的值域为,
所以方程无实根,正确;
对于D,当时,即,解得,
当时,即,解得,
结合函数图象知,方程仅有一个实根,正确.
故选:AB
13．答案：
解析：由题可知,所以,即,解得,
所以函数定义域为.
故答案为:
14．答案：
解析：因为函数是定义在上的偶函数,
故,即,则解得,
所以,,
所以,,
则,
故答案为:
15．答案：1470.15
解析：依题意可知,四天后的价格为.
故答案为:1470.15
16．答案：
解析：由,,故在R上为奇函数,
由在上单调递增在也单增,故在上单增,
,
即,,解得
故答案为:
17．答案：（1）;
（2）7
解析：（1）
.
（2）将两边平方,可得,解得.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）任取,,且,
则
,
因为,且,
所以,,,
故,即,
所以在上为增函数.
（2）任取,且,
则
,
因为,且,
所以,,,
故,即,
所以在上为减函数,
又由（1）知,在上为增函数,
所以,又,,
所以在上的值域为
19．答案：（1）,
（2）答案见解析
解析：（1）当时,集合,,
所以;
（2）若选择①,则,
当时,解得
当时,又,,
所以,解得,
所以实数a的取值范围是.
若选择②,““是“”的充分不必要条件,
当时,解得
当时,又,,
或解得,
所以实数a的取值范围是.
若选择③,,
当时,解得
当又
则解得
所以实数a的取值范围是.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为函数为奇函数,所以即,
所以,因为,所以,即,
所以,则方程即,化简得,解得或(舍去),所以,所以方程的实根为.
（2）,设,由得,
令,则,,函数的对称轴为,
当即时,,所以;
当即时,,所以,不合题意舍去;
综上,实数a的值为.
21．答案：（1）生产A,B两种芯片的毛收入y(千万元)与投入资金x(千万元)的函数关系式分别为,,（2）9千万元
解析：（1）因为生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比,所以设,因为当时,,所以,所以,即生产芯片的毛收入y(千万元)与投入资金x(千万元)的函数关系式为,
对于生产B芯片的,因为函数图像过点,,所以
,解得,所以,即生产B芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系为,
（2）设投入x千万元生产B芯片,则投入千万元生产A芯片,则公司所获利用
,
所以当,即千万元时,公司所获利润最大,最大利润为9千万元
22．答案：（1）;
（2）;
（3）存在,.
解析：（1）为R上的奇函数,
又当时,,
当时,;
;
（2）设,在上单调递减,
,即a,b是方程的两个不相等的正根.
,,在内的“和谐区间”为.
（3）设为的一个“和谐区间”,则,a,b同号.
当时,同理可求在内的“和谐区间”为.
依题意,抛物线与函数的图象有两个交点时,一个交点在第一象限,一个交点在第三象限.
因此,应当使方程在内恰有一个实数根,并且使方程,在内恰有一个实数根.
由方程,即在内恰有一根,
令,则,解得;
由方程,即在内恰有一根,
令,则,解得.
综上所述,实数m的取值集合为.