重庆市部分区2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题

这是一份重庆市部分区2023-2024学年高二上学期期末联考数学试题，共9页。试卷主要包含了考试时间，已知双曲线，已知椭圆，在等比数列中，，，则，在正方体中，下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．考试时间：120分钟，满分：150分．试题卷总页数：4页．
2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效．
3．需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑．需要书写的地方一律用0.5mm签字笔．
4．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，，且，则的值为（ ）
A．－2B．－1C．0D．2
2．已知直线：在轴与y轴上的截距相等，则实数的值为（ ）
A．－1B．0C．1D．2
3．若圆：与圆：外切，则实数的值为（ ）
A．±4B．±2C．2D．4
4．设是等差数列的前项和，若，则＝（ ）
A．1B．3C．5D．10
5．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2，反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．若取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成（简称为8步“雹程”），当时，需要的“雹程”步数为（ ）
A．8B．9C．10D．11
6．已知双曲线：的两个焦点分别是和，点在双曲线上，且，则点到轴的距离为（ ）
A．B．C．D．
7．已知圆的方程为，则该圆中过点的最短弦的长为（ ）
A．B．C．D．
8．已知椭圆：，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在等比数列中，，，则（ ）
A．该数列的第5项B．该数列的通项公式
C．数列是等比数列D．设数列的前项和为，则
10．在正方体中，下列结论正确的是（ ）
A．直线与直线所成角为B．直线与平面所成角为
C．二面角的大小为D．
11．给出下列命题，其中正确的是（ ）
A．任意向量，，满足
B．在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点是
C．已知，，，为空间向量的一个基底，则向量，，能共面
D．已知，，，则向量在向量上的投影向量是
12．已知圆：，点为直线：上一动点，过点向圆引两条切线和，其中，为切点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．的最大值为
C．当最小时，直线的方程为
D．原点到动直线距离的最大值是1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知直线：与直线：平行，则实数的值为______．
14．已知数列，则通过该数列图象上所有点的直线的斜率为______．
15．已知直线：和椭圆：，写出满足条件“直线与椭圆有两个公共点”的m的一个值为______．
16．一种糖果的包装纸由一个边长为3的正方形和两个等腰直角三角形组成（如图1），沿AD，BC将这两个三角形折起到与平面ABCD垂直（如图2），连接EF，AE，CF，AC，若点G满足且，则的最小值为______．
四、解答题：本题共有6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知数列是公差为2的等差数列，且满足，，成等比数列，，
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列的前项和为，求使不等式成立的的最小值．
18．（12分）已知抛物线：过点．
（1）求抛物线的标准方程及准线方程；
（2）过焦点的直线与抛物线相交于A，B两点，再从条件①、条件②中选择一个作为已知，求的长．
条件①：直线的斜率为2；
条件②：线段的中点为．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．
19．（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，M为BC中点，N为PA中点，．
（1）证明：；
（2）求直线MN与平面PBC所成角的正弦值．
20．（12分）已知数列的前项和为，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
21．（12分）如图，在三棱锥P－ABC中，，，O为AC的中点．
（1）证明：；
（2）若点E在线段BC上（异于点B，C），平面PAE与平面PAC的夹角为，求的值．
22．（12分）已知双曲线：的实轴长为2，且其渐近线方程为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点且斜率不为0的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B，点Q在线段AB上，且，T为线段AB的中点，记直线OT，OQ（O为坐标原点）的斜率分别为，，求是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
重庆市部分区2023~2024学年度第一学期期末联考
高二数学参考答案
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13．；14．3；15．3（答案不唯一，满足即可）；16．
四、解答题：本大题共有6个小题，共70分．
17．（10分）解：（1）∵，，成等比数列，
∴
∵数列是公差为2的等差数列，
∴
解得∴
∴
（2）由（1）可得，
由可得，
∴或
又，∴的最小值为11．
18．（12分）解：（1）由已知可得，，∴
所以抛物线C的标准方程为
抛物线C的的准线方程为
（2）选条件①：由（1）可知，焦点坐标为
∴直线的的方程为，即
由消去，整理可得
设，，∴
∴
选条件②：设，∵线段AB的中点为
∴
∴
19．（12分）方法不唯一．（1）证明：取PD中点E，连接NE，CE．
∵N为PA的中点∴且
又底面ABCD为矩形，M为BC中点
且∴且
∴四边形MNEC为平行四边形
∴∵，
∴
（2）解：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系．则，，，，
∴，，
设平面PBC的一个法向量为，则，∴
取，则，∴
设直线MN与平面PBC所成角为．
则
20．（12分）解：（1）由题可知①
∴（且）②
由①－②得即（且）
又当时，∴
∵∴∴（且）
所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列．
∴
（2）∵∴
∴①
∴②
由①—②得
∴∴
即
21．（12分）（1）证明：∵且O为AC中点
∴
又∵且O为AC中点∴
又∴且
∴∴为等腰直角三角形
又∵O为AC中点∴
又∵，即，∴
又∵
∴
（2）解：以O点为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系
∵且∴
∴平面PAC的一个法向量
设，，
∴，
设平面PAE的一个法向量为
则且得
令，则，
∴
又∵平面PAE与平面PAC的夹角为，∴
即得
整理得解得或（舍）
∴为BC线段靠近B的三等分点∴
22．（12分）解：（1）由题意知：，∴，
∴双曲线C的方程为
（2）设直线：设，，
由方程组消去x整理可得
由韦达定理可得
∴
∴
又由∴∴
又∵点在直线：上
∴
∴即∴
即为定值－91
2
3
4
5
6
7
8
A
D
A
C
B
D
D
A
9
10
11
12
AC
ACD
BC
ABD