第34讲 平面向量的概念与线性运算-备战2024年高考数学一轮复习精品导与练（新高考）

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1、 向量的有关概念
(1)零向量：长度为0的向量叫 ，其方向是不确定的．
(2)平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量叫做 ．我们规定零向量与任一向量 ．
(3)单位向量：长度等于 个单位长度的向量．
(4)相等向量：长度相等且方向 的向量．
(5)相反向量：与向量a长度相等，方向 的向量叫做a的相反向量．
2、向量的线性运算
(1)向量加法满足交换律a＋b＝ ，结合律(a＋b)＋c＝ ．
向量加法可以使用三角形法则，平行四边形法则．
(2)向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa与a方向 ；
当λ<0时，λa与a方向 ；
当a＝0时，λa＝ ；
当λ＝0时，λa＝ ．
(3)实数与向量的运算律：设λ，μ∈R，a，b是向量，则有：
①λ(μa)＝ ；
②(λ＋μ)a＝ ；
③λ(a＋b)＝ ．
3、 向量共线定理：
如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是 ；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝ ．
1、【2022年新高考1卷】在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA．记CA=m，CD=n，则CB=（ ）
A．3m−2nB．−2m+3nC．3m+2nD．2m+3n
2、【2020年新高考2卷（海南卷）】在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A．B．C．D．
1、在下列命题中，真命题的是 ．（填序号）
①长度为0的向量都是零向量；
②零向量的方向都是相同的；
③单位向量的长度都相等；
④单位向量都是同方向；
⑤任意向量与零向量都共线．
2、 如图，已知 eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(AC,\s\up6(→))＝b， eq \(DC,\s\up6(→))＝3 eq \(BD,\s\up6(→))， eq \(AE,\s\up6(→))＝2 eq \(EC,\s\up6(→))，则 eq \(DE,\s\up6(→))等于( )
A. eq \f(3,4)b－ eq \f(1,3)a
B. eq \f(5,12)a－ eq \f(3,4)b
C. eq \f(3,4)a－ eq \f(1,3)b
D. eq \f(5,12)b－ eq \f(3,4)a
3、已知eq \(MP,\s\up6(→))＝4e1＋2e2，eq \(PQ,\s\up6(→))＝2e1＋te2，若M、P、Q三点共线，则t＝( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. －1
4、已知eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋5b，eq \(BC,\s\up6(→))＝－3a＋6b，eq \(CD,\s\up6(→))＝4a－b，则( )
A.A，B，D三点共线 B.A，B，C三点共线
C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线
考向一 平面向量的有关概念
例1、给出下列命题，正确的有( )
A．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B．若A，B，C，D是不共线的四点，且eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，则四边形ABCD为平行四边形
C．a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b
D．已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线
变式1、给出下列命题：
①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若|a|＝|b|，则a＝b；
③若 eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(DC,\s\up6(→))，则A，B，C，D四点构成平行四边形；
④在平行四边形ABCD中，一定有 eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(DC,\s\up6(→))；
⑤若m＝n，n＝p，则m＝p；
⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中错误的命题是 ．（填序号）
变式2、如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心．
（1）与相等的向量有 ；
（2）与相等的向量有 ；
（3）与共线的向量有 ．
方法总结：向量有关概念的关键点
(1)向量定义的关键是方向和长度．
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．
(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．
(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．
(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线．
考向二 向量的线性运算
例2、如图，在△ABC中， eq \f(CD,DA)＝ eq \f(AE,EB)＝ eq \f(1,2)，若 eq \(DE,\s\up6(→))＝λ eq \(CA,\s\up6(→))＋μ eq \(CB,\s\up6(→))，则λ＋μ＝ .
变式1、（1）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq \(EB,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)) B.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
C.eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)) D.eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))
（2）如图，在等腰梯形ABCD中，DC＝eq \f(1,2)AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC于点E，则eq \(DE,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→)) B.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))
C.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→)) D.eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up6(→))
变式2、设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则 eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(OB,\s\up6(→))＋ eq \(OC,\s\up6(→))＋ eq \(OD,\s\up6(→))＝ ．（用 eq \(OM,\s\up6(→))表示）
方法总结：向量的线性运算，即用几个已知向量表示某个向量，基本技巧为：一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．
考向三 共线定理的应用
例3、设两个非零向量a与b不共线．
(1) 若 eq \(AB,\s\up6(→))＝a＋b， eq \(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b， eq \(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2) 试确定实数k，使ka＋b和a＋kb同向．
变式1、如图，在△ABC中，D是BC上靠近点B的四等分点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设 eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(AC,\s\up6(→))＝b.
(1) 试用a，b表示 eq \(BC,\s\up6(→))， eq \(AD,\s\up6(→))， eq \(BE,\s\up6(→))；
(2) 证明：B，E，F三点共线．
变式2、如图，在△ABO中，eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up6(→))，AD与BC相交于点M，设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b.试用a和b表示eq \(OM,\s\up6(→)).
方法总结：利用共线向量定理解题的方法
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．即A，B，C三点共线⇔eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(AC,\s\up7(―→))共线．
(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(4)eq \(OA,\s\up7(―→))＝λeq \(OB,\s\up7(―→))＋μeq \(OC,\s\up7(―→)) (λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
1、 已知a，b是不共线的向量， eq \(AB,\s\up6(→))＝λa＋2b， eq \(AC,\s\up6(→))＝a＋(λ－1)b，且A，B，C三点共线，则λ的值为( )
A. －1
B. －2
C. －2或1
D. －1或2
2、（多选题）.在△ABC中，下列命题正确的是( )
A.eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))
B.eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0
C.若(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝0，则△ABC为等腰三角形
D.若eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＞0，则△ABC为锐角三角形
3、（2020届山东省泰安市高三上期末）（多选题）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4、（2022年河北省承德市高三模拟试卷） 如图在梯形中，，，设，，则（ ）
A. B.
C. D.