浙江省丽水市三校联考2023-2024学年高一上学期12月考试数学试卷(含答案)

这是一份浙江省丽水市三校联考2023-2024学年高一上学期12月考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则等于( )
A.B.C.D.
2．设命题,,则p的否定为( )
A.,B.,
C.,D.,
3．函数的图象大致是( )
A.B.
C.D.
4．方程的根所在区间是( )
A.B.C.D.
5．若a,,则“,”的充分不必要条件是( )
A.且B.且
C.且D.且
6．用二分法求函数在区间上的零点,要求精确度为0.01时,所需二分区间的次数最少为( )
A.5B.6C.7D.8
7．已知不等式的解集为,则不等式的解集为( )
A.B.
C.D.
8．已知函数在其定义域内为偶函数,且,则( )
A.B.C.2021D.0
二、多项选择题
9．若a,b,,则下列命题正确的是( )
A.若且,则B.若,则
C.若,则D.若且,则
10．若a,,则下列选项成立的是( )
A.B.若,则
C.的最小值为D.若,则
11．已知函数,则下列四个结论中不正确的是( )
A.函数的图象关于点中心对称
B.函数的图象关于直线对称
C.函数在区间内有4个零点
D.函数在区间上单调递增
12．已知函数,的零点分别为,,则下列结论正确的是( )
A.B.C.D.
三、填空题
13．__________.
14．幂函数在上为减函数,则实数的值为__________.
15．已知角的终边经过点,则__________.
16．已知函数是奇函数,不等式组的解集为,且,满足,,则______,______.
四、解答题
17．（1）已知是方程的根,,求的值;
（2）已知,,且,,求和的值.
18．已知,命题,命题q:函数在上存在零点.
（1）若p是真命题,求m的取值范围;
（2）若p,q中有一个为真命题,另一个为假命题,求m的取值范围.
19．已知函数是定义在R上的奇函数,当时,.
（1）求在上取值范围;
（2）求的函数关系式;
（3）设,若对于任意,都存在,使得,求正数m的取值范围.
20．塑料袋对环境的危害——“白色污染”,这种污染问题的罪魁祸首正在人们在大肆使用的塑料袋.如今,食品包装袋,茶叶包装袋,化工包装袋,蒸煮袋,农药袋,种子袋等几乎都是塑料袋.塑料包装袋大行其道,塑料袋已经融入了现代人们的日常生活,可以说塑料袋使用已经是“无孔不入”了.某品牌塑料袋经自然降解后残留量y与时间t年之间的关系为,为初始量,r为光解系数(与光照强度,湿度及氧气浓度有关),为塑料分子聚态结构系数,已知分子聚态结构系数是光解系数的90倍.(参考数据:,)
（1）塑料自然降解,残留量为初始量的10%,大约需要多久?
（2）为了缩短降解时间,该塑料改进工艺,改变了塑料分子聚态结构,其他条件不变,已知2年就可降解初始量的20%,则残留量不足初始量的5%,至少需要多久?(精确到年)
21．已知函数,分别是定义在R上的奇函数和偶函数且;
（1）若对任意的正实数,都有,求最小值;
（2）若对任意的恒成立,求实数k的取值范围.
22．设函数是偶函数.
（1）求k的值;
（2）设函数,若不等式对任意的恒成立.求实数n的取值范围;
（3）设,当为何值时,关于x的方程有2个实根.
参考答案
1．答案：C
解析：,故,
令,解得,故,
故.
故选:C
2．答案：B
解析：命题,,则p的否定为:,.
故选:B
3．答案：B
解析：由函数,可得其定义域为R,且,
所以函数为偶函数,其图象关于y轴对称,
又由时,,结合选项,只有B项符合题意.
故选:B.
4．答案：C
解析：构造函数,
因为和在R上单调递减,所以函数在R上单调递减,
且函数的图象是一条连续不断的曲线,
因为,,,
由的单调性可知,,则,
故函数的零点所在的区间为,
即方程的根属于区间.
故选:C
5．答案：D
解析：对于A,当,时,有且,但,故A错误;
对于B,当,时,有且,但得不出,,故B错误;
对于C,由,得到且或且,又,故且,此时是充要条件,故C错误;
综上,可知符合条件的为选项D.
故选:D.
6．答案：B
解析：因为开区间的长度等于,每经这一次操作,区间长度变为原来的一半,
所以经过次操作后,区间长度变为,
令,解得,且,故所需二分区间的次数最少为6.
故选:B.
7．答案：D
解析：由不等式的解集为,
知是方程的两实数根,
由根与系数的关系,得,解得:,,
所以不等式可化为,解得:或,
故不等式的解集为:.
故选:D.
8．答案：A
解析：因为为偶函数,所以,所以,
所以且x不恒为0,所以,
又因为,所以,所以,所以,
又因为,
所以,
故选:A.
9．答案：BC
解析：对于A,若,满足且,但,故A错误;
对于B,若,则,即,故B正确;
对于C,若,则,即,故C正确;
对于D,若,这当然也满足,但此时,故D错误.
故选:BC.
10．答案：ABD
解析：A选项:因为,时等号成立,所以,A正确;
B选项:因为,
所以,解得或(舍去),
所以,当时等号成立,B正确;
C选项:,
因为无实数解,所以等号不成立,C错误;
D选项:因为,
所以不等式,
即,
因为,所以不等式成立,
当且仅当,时,等号成立,D正确.
故选:ABD
11．答案：ABD
解析：对于函数,
对于A中,令,可得,
所以函数的图象不关于点中心对称,所以A不正确;
对于B中,令,可得不是最值,
所以函数的图象不关于直线对称,所以B不正确;
对于C中,由,可得,
当,,0,时,可得,
所以在上有4个零点,所以C正确;
对于D中,由,可得,
根据正弦函数的性质,此时先减后增,所以D不正确.
故选:ABD.
12．答案：BC
解析：如图,因为函数,的图像关于对称,
因为,所以,
由,
所以的反函数是其本身,则其图像也关于对称,
设与的图像交点为,
与的图像交点为,
对于A,与关于对称,
则,,所以A错误;
对于B,因为,所以,则,
所以,故B正确;
对于C,,C正确;
对于D,,,则,,所以,
所以D错误;
故选:BC
13．答案：
解析：原式.
故答案为:
14．答案：0
解析：因为幂函数在上为减函数,
所以,解得.
故答案为:0
15．答案：或0.2
解析：由题意得,解得,
故,所以,,
故.
故答案为:
16．答案：0,或
解析：的定义域为,又函数是奇函数,所以定义域关于对称,
从而,即.当时,,.故;
,不等式组等价于,
因为其解集为,是开区间,所以函数在不单调,所以;
又,所以,因此,是的两个正根,即,
所以,解得,
又因为,所以,
即,解得或(舍).
故答案为:0;.
17．答案：（1）;
（2）,或,.
解析：（1）由方程,解得,,
因为,所以,
又因为,所以,则,
又由.
（2）由,可得,…..①
又由,可得,…..②
得:,
所以,解得,
因为,所以或,
当时,由,所以,
又因为,所以;
当时,由,所以,
又,所以;
综上可得,,或,.
18．答案：（1）
（2）或
解析：（1）因为p是真命题,所以成立,解得;
（2）若q为真命题,则函数在上存在零点,
则方程在上有解,
因为,该方程在有解时两解同号,所以方程在上有两个正根,
则,得,
若p为真命题,q为假命题,得,
若p为假命题,q为真命题,得,
所以m的取值范围为或.
19．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）因为的对称轴为,
所以函数在单调递减,在单调递增,
因为,所以在上的值域为;
（2）因为是定义在R上奇函数,所以;
设,则,所以;
又因为是定义在R上的奇函数,所以,
所以
（3）因为,所以,所以,
当时,,因为在上递增,所以在上递增,
所以,所以,
所以,所以,
当时,,
因为在上递减,在上递增,
此时,因为,,所以,
所以不符合题意,
综上,.
20．答案：（1）大约需要207年
（2）至少需要27年
解析：（1）由题可知,所以,
所以,,
所以残留量为初始量的10%,大约需要207年;
（2）根据题意当时,,
即,解得,
所以,若残留量不足初始量的5%,
则,,
两边取常用对数,得,所以,
所以至少需要27年.
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为函数,分别是定义在R上的奇函数和偶函数且,
则,即,
所以,,解得,
因为函数,均为R上的增函数,故函数为R上的增函数,
由可得,则,所以,,
又因为m,均为正实数,所以,
,
当且仅当时,即当时,等号成立,故有最小值9.
（2）定义域为R,且函数为偶函数,
当时,令,则,
因为内层函数在上为增函数,外层函数在上为增函数,
所以,函数在上为增函数,
由,
因为,则,
由基本不等式可得,当且仅当时,即当时,等号成立,
所以,,解得,
因此,实数k的取值范围是.
22．答案：（1）
（2）
（3）或
解析：（1）由函数是定义域在R上的偶函数,则对于,都有,
即,即对于,都有,
得.
（2）结合（1）可得,
则,
令,由在R上单调递增,在R上单调递减,
所以在上单调递增,得,
则不等式对任意的恒成立等价于在上恒成立,
所以即可,
又,
由对勾函数的性质可得当时,取得最小值4,
所以的最小值为4,即,
所以实数n的取值范围为.
（3）令,由对勾函数的性质可得当时,取得最小值2,
所以,则,令,则,
由图象可得,当时,关于x的方程有1个解;
当时,关于x的方程有2个解,
则原问题转化为关于p的方程的根的个数,
令,则表示开口向上的抛物线,
又,
当时,则,又的对称轴,
所以有唯一解,且,即其关于的方程有2个解;
当时,有两不等实根,,
因为的对称轴,且,
所以有1个正数解,即关于x的方程有2个解;
当时,当,即时,有一个正数解,
此时关于x的方程有2个解;
综上所述,当或时,方程有2个根.