湘教版（2019）选择性必修 第一册3.4 曲线与方程学案设计

这是一份湘教版（2019）选择性必修 第一册3.4 曲线与方程学案设计，共7页。

(1)了解曲线上点的坐标与方程的解之间的一一对应关系．
(2)理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．
(3)掌握求轨迹方程的方法．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 曲线的方程与方程的曲线
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程 f (x，y) ＝ 0的实数解建立了如下关系：
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解❶；
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点❷.
此时，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线．
要点二 坐标法
确定曲线的方程后，通过研究方程的性质从而得到曲线的几何性质．我们称这种研究几何的方法为坐标法．基于坐标法，我们将几何问题转化为代数问题来解决，这也是解析几何的核心思想．
批注❶ 阐明了曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外(纯粹性、不杂)；
批注❷ 阐明了符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏(完备性、不漏) .
基 础 自 测
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若点P的坐标是方程f(x，y)＝0的解，则点P在方程f(x，y)＝0的曲线上．( )
(2)单位圆上的点的坐标是方程x2＋y2＝1的解．( )
(3)方程y＝与方程y＝(x>0)是同一条曲线的方程．( )
2．方程y＝表示的曲线是( )
A．一条直线 B．圆
C．半圆 D．不表示任何图形
3．已知直线l：x＋y－3＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2，1)( )
A．在直线l上，但不在曲线C上
B．在直线l上，也在曲线C上
C．不在直线l上，也不在曲线C上
D．不在直线l上，但在曲线C上
4．到两坐标轴距离之和为4的点M的轨迹方程为( )
A.x＋y＝4 B．x－y＝4
C．|x＋y|＝4 D．|x|＋|y|＝4
5．点M到点F(0，－2)的距离比它到直线l：y－3＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1 曲线与方程的概念
例1 命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，下列命题中正确的是( )
A．方程f(x，y)＝0的曲线是C
B．方程f(x，y)＝0的曲线不一定是C
C．f(x，y)＝0是曲线C的方程
D．以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上
方法归纳
1．解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是否是曲线的方程或判定曲线是否是方程的曲线)，只要一一检验定义中的两个条件是否都满足，并作出相应的回答即可．
2．判断点是否在曲线上，就是判断点的坐标是否适合曲线的方程．
巩固训练1 已知坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么( )
A．曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)＝0
B．凡坐标不适合f(x，y)＝0的点都不在曲线C上
C．不在曲线C上的点的坐标必不适合f(x，y)＝0
D．不在曲线C上的点的坐标有些适合f(x，y)＝0，有些不适合f(x，y)＝0
题型2 用直接法求曲线方程
例2 已知定点F(1，0)，动点P在y轴上运动，点M在x轴上，且·＝0，延长MP到点N，使得||＝||，求点N的轨迹方程．
方法归纳
用直接法求轨迹方程的一般步骤
巩固训练2 已知点C(4，0)，A(－4，0)，若直线PA，PC相交于点P，且它们的斜率之积为，求动点P的轨迹方程并说明轨迹图形．
题型3 代入法求轨迹方程
例3 已知三角形ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，若顶点C在抛物线y2＝6x上移动，求三角形ABC的重心的轨迹方程．
方法归纳
用代入法求轨迹方程的一般步骤
巩固训练3 已知DP⊥x轴，垂足为D，点M在DP的延长线上，且＝，当点P在圆x2＋y2＝4上运动时，求点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
3．3.2 抛物线的简单几何性质
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．解析：由题知，该抛物线的标准方程为x2＝8y，
则该抛物线开口向上，焦点坐标为(0，2)．
答案：A
3．解析：顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p>0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y，x2＝－16y.
答案：D
4．解析：因点(2，4)在抛物线y2＝8x上，所以过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点．
答案：B
5．解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.
根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝6.
答案：6
题型探究·课堂解透
例1 解析：方法一 由抛物线开口方向向下，可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F(0，－)．
因为M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5，
所以解得
所以抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2.
方法二 设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则焦点为F(0，－)，准线l：y＝，如图所示，作MN⊥l，垂足为N，则|MN|＝|MF|＝5，而|MN|＝3＋，所以3＋＝5，即p＝4.
又因为点M在抛物线上，所以m2＝24，所以m＝±2.
所以抛物线方程为x2＝－8y，m＝±2，准线方程为y＝2.
巩固训练1 解析：设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)．
又A(±)(取点A在x轴上方)，
则有＝±a，解得a＝±，
所以抛物线方程为y2＝±x.
答案：C
例2 解析：由得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0. (*)
当k＝0时，方程变为－4x＋1＝0，x＝，此时y＝1.
∴直线l与C只有一个公共点(，1)，此时直线l平行于x轴．
当k≠0时，方程(*)是一个一元二次方程，其中
Δ＝(2k－4)2－4k2×1＝16－16k，
①当Δ＞0，即k＜1，且k≠0时，l与C有两个公共点，此时l与C相交；
②当Δ＝0时，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；
③当Δ＜0，即k＞1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离．
综上所述：(1)当k＝1或k＝0时，直线l与C有一个公共点；
(2)当k＜1，且k≠0时，直线l与C有两个公共点；
(3)当k＞1时，直线l与C没有公共点．
巩固训练2 解析：经验证点M(3，2)在抛物线开口内部，结合函数图象，可知
过点M(3，2)与抛物线只有一个交点的直线只有一条，即过M平行与x轴的直线，即y＝2.
答案：B
例3 解析：(1)抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，
由|PF|＝2得：1＋＝2，得p＝2.
所以抛物线的方程为y2＝4x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由⇒k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
Δ＝16k2＋16＞0.
∴x1＋x2＝，
∵直线l经过抛物线C的焦点F，
∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，
解得：k＝±1，
所以k的值为1或－1.
巩固训练3 解析：(1)由题设，F(1，0)，则直线l为y＝x－1，联立抛物线得y2－4y－4＝0，∴yA＋yB＝4，yAyB＝－4，则|yA－yB |2＝(yA＋yB)2－4yAyB＝32，
∴|AB|＝·|yA－yB|＝8.
(2)∵抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点坐标为(，0)，
所以p＝1，抛物线方程为y2＝2x，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义得，|AB|＝x1＋x2＋p，
所以4＝x1＋x2＋1，即x1＋x2＝3，
所以弦AB的中点到y轴的距离为d＝＝.
答案：(1)B (2)A
3．4 曲线与方程
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)×
2．解析：方程两边平方得方程x2＋y2＝9(y≥0)．
答案：C
3．解析：将点M的坐标代入直线l、曲线C的方程知点M在直线l上，也在曲线C上．
答案：B
4．解析：点M(x，y)到两坐标轴的距离分别为|x|和|y|，|x|＋|y|＝4.
答案：D
5．解析：设M(x，y)，
∵点M到点F(0，－2)的距离比它到直线l：y－3＝0的距离小1，
∴＝|y－3|－1，
根据平面几何知识得：y＜3，原方程化为＝2－y，
两边平方，得x2＋(y＋2)2＝(2－y)2，整理得x2＝－8y，
即点M的轨迹方程是x2＝－8y.
答案：x2＝－8y
题型探究·课堂解透
例1 解析：根据方程的曲线和曲线的方程的定义知A、C、D错，如曲线y＝表示的半圆的点的坐标都是方程x2＋y2＝1的解．
答案：B
巩固训练1 解析：根据曲线的方程的定义知选C.
答案：C
例2 解析：由||＝||，则P为MN的中点，设N(x，y)，则M(－x，0)，P(0，)，
由·＝0，得(－x，－)·(1，－)＝0，
所以(－x)·1＋(－)·(－)＝0，则y2＝4x，
即点N的轨迹方程是y2＝4x.
巩固训练2 解析：设P(x，y)，由题意得，＝(x≠±4)，
化简得，P的轨迹方程为＝1(x≠±4)，所以P的轨迹是除去(－4，0)，(4，0)两点的双曲线．
例3 解析：设△ABC的重心G(x，y)，点C(x′，y′)，
则有，即，
因为点C在曲线上y2＝6x上，
所以有(3y)2＝6×3x，即y2＝2x，
因为三角形的三个顶点不能共线，所以y≠0，
所以△ABC的重心的轨迹方程为：y2＝2x(y≠0)．
巩固训练3 解析：设M(x，y)．
由＝得P(x，)．
又∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴x2＋()2＝4.
设D坐标为(x，0)，当x＝±2时，P点和D点坐标相同，即两点重合，
此时约束条件中DP垂直于x轴，没有意义，∴x≠±2，
∴M的轨迹方程是＝1(x≠±2)．
所以点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆(去掉短轴顶点)．