湖南省永州市道县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

这是一份湖南省永州市道县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题，共13页。
1. 答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对答题卡上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2. 必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3. 答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4. 请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5. 答题卡上不准使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6. 本试卷共25道小题，考试时量120分钟，满分120分.
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 若点在反比例函数（，k是常数）的图象上，则下列点中也在此反比例函数图象上的是（ ）
A. B. C. D.
2. 将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A. 5，－1B. 5，3C. 5，－3D. ，－3x
3. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个正的实数根B. 有两个负的实数C. 两根的符号相反D. 方程没有实数根
4. 如图，点P在的边AC上，要判断，需添加一个条件，其中不正确的是（ ）
第4题图
A. B. C. D.
5. 如图，直线，若，，则EF的长是（ ）
第5题图
A. 1.5B. 6C. 3D. 4
6. 如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A，D，B在同一条直线上），设，那么拉线BC的长度为（ ）
第6题图
A. B. C. D.
7. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由86元降为41.5元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将扩大到原来的2倍，得到.若点A的坐标是，则点的坐标是（ ）
第8题图
A. B. C. D.
9. 二次函数的图象如图，给出下列四个结论：
①；②；③；④，其中正确结论的个数是（ ）
第9题图
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
10. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算时，如图.在中，，，延长CB使，连接AD，得，所以.类比这种方法，计算的值为（ ）
第10题图
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 如图，点A是反比例函数图象上的一个点，过点A作轴，轴，垂足分别为B，C，矩形ABOC的面积为6，则______.
12. 已知，则的值为______.
13. 将二次函数的图象先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，所得到的新图象对应的解析式是______.
14. 已知点，都在反比例函数的图象上，且，则和的大小关系为______（填“＞”“＜”或“＝”）.
15. 如图所示，在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为______米.
16. 如图，反比例函数的图象与矩形ABCO相交于D，E两点，若D是AB的中点，，则反比例函数的表达式为______.
三、解答题（本大题共9小题，满分72分）
17.（本题8分）解下列方程：
（1）；（2）.
18.（本题4分）计算：.
19.（本题6分）已知关于x的方程有两个不相等的实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的一个根为－1，求方程的另一根.
20.（本题8分）如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，，垂足为F.
（1）求证：；
（2）若，，求DF的长.
21.（本题8分）道县西洲公园景区在2023年国庆法定节假日期间，共接待游客达20万人次，预计在2025年国庆法定节假日期间，将接待游客达33.8万人次.
（1）求道县西洲公园景区2023至2025年国庆法定节假日期间接待游客人次的年平均增长率；
（2）道县西洲公园一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯.2024年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
22.（本题8分）为了解班级学生参加课后服务的学习效果，唐老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）此次调查的总人数为______；
（2）扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是______；
（3）请将条形统计图补充完整；
（4）为了共同进步，唐老师准备从被调查的A类和D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习.请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率.
23.（本题8分）永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9米，寓意陈树湘为中国革命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁.如图，以线段AB代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面BN上D处为陈树湘雕拍照，相机支架CD高0.9米，在相机C处观测雕像顶端A的仰角为，然后将相机架移到MN处拍照，在相机M处观测雕像顶端A的仰角为，求C、M两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：）
24.（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于，，三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在点P，使是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）动点P运动到什么位置时，面积最大，求出此时P点坐标和的最大面积.
25.（本题12分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F.
图① 图② 图③
（1）如图①，当时，求的值；
（2）如图②当DE平分时，求证：；
（3）如图③，当点E是BC的中点时，过点F作于点G，求证：.
2023年下期期末学业质量监测
九年级数学参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11. －6 12. 13. 14. ＞ 15. 2 16.
三、解答题（本大题共9小题，满分72分）
17.（本题8分）
【详解】解：（1）移项，得.
方程两边都除以4，得，
方程两边都加1，得.
配方，得.……2分
开平方，得.
∴，
∴，.……4分
（2）移项，得.
∴，……6分
∴，
∴，.……8分
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题关键.
18.（本题4分）
【详解】解：原式……2分
……4分
【点睛】本题主要考查了绝对值，负整数指数幂，零指数幂和特殊角的三角函数值，掌握绝对值，负整数指数幂，零指数幂和特殊角的三角函数值是解题的关键.
19.（本题6分）
【详解】（1）依题意得：，
解得：.
∴若该方程有两个不相等的实数根，实数m的取值范围为.……3分
（2）设方程的另一根为，
由根与系数的关系得：，
解得：，
∴该方程的另一根为.……6分
【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）熟练掌握“当时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系找出关于的一元一次方程.
20.（本题8分）
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∵，∴，
∴，
∴，
∴；……3分
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，，
∴，
∵E是BC的中点，∴，
∵，∴，
∵，
∴，即，
∴.……6分
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，证明是解题的关键.
21.（本题8分）
【详解】（1）解：设年平均增长率为x，
根据题意得：，……2分
解得：，（不符合题意，舍去），
∴年平均增长率为30%；……4分
（2）解：设当每杯售价定为y元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额，
由题意得：，……6分
整理得：，
解得：，，
∵让顾客获得最大优惠，∴，
∴当每杯售价定为20元时，店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额.……8分
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键.
22.（本题8分）
【详解】（1）由条形统计图知，B类学生共有（人），由扇形统计图知，B类学生所占的百分比为50%，则参与调查的总人数为：（人）
故答案为：20人……2分
（2）由扇形统计图知，D类学生所占的百分比为：，
则扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是：
故答案为：36……4分
（3）C类学生总人数为：（人），则C类学生中女生人数为：（人）
D类学生总人数为：（人），则C类学生中男生人数为：（人）
补充完整的条形统计图如下：
……6分
（4）记A类学生中的男生为“男1”，两个女生分别记为“女1”、“女2”，记D类学生的一男一女分别为“男”、“女”，列表如下：
则选取两位同学的所有可能结果数为6种，所选两位同学恰好是相同性别的结果数有3种，所以所选两位同学恰好是相同性别的概率为：……8分
【点睛】本题是统计图的综合，考查了条形统计图与扇形统计图，简单事件的概率，关键是读懂两个统计图并能从图中获取信息.
23.（本题8分）
【详解】如图，米，米
四边形EBNM，四边形EBDC是矩形，四边形CDNM是矩形
∴米，，
∵中，，
∴米，……2分
∴米……3分
∵中，，
∴……4分
∴米……5分
∴米
∴米……8分
【点睛】本题考查解直角三角形，矩形的判定和性质，观察图形，确定组合图形中，通过直角三角形、矩形之间的位置关系确定线段间的数量关系是解题的关键.
24.（本题10分）
【详解】（1）设抛物线解析式为，
把A、B、C三点坐标代入可得，解得，
∴抛物线解析式为；……3分
（2）作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，
∴，此时P点即为满足条件的点，
∵，∴，
∴P点纵坐标为﹣2，
代入抛物线解析式可得，解得（小于0，舍去）或，
∴存在满足条件的P点，其坐标为；……6分
图1
（3）∵点P在抛物线上，∴可设，
过P作轴于点E，交直线BC于点F，如图2，
∵，，
∴直线BC解析式为，∴，
∴，……7分
∴
，……9分
∴当时，最大值为8，此时，
∴当P点坐标为时，的最大面积为8.……10分
图2
25.（本题12分）（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】（1）利用相似三角形的性质求得EF与DF的比值，依据和同高，则面积的比就是EF与DF的比值，据此即可求解；
（2）利用角之间的关系到证得，可以证得，在中，利用勾股定理可以证得；
（3）连接OE，易证OE是的中位线，然后根据是等腰直角三角形，易证，利用相似三角形的对应边的比相等即可证得.
【详解】解：（1）∵，∴.
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴，
∴，∴，
∴.……4分
（2）证明：∵DE平分，∴，
又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线，
∴，，，
又∵，，
∴，∴，
在中，根据勾股定理得：，
∴.……8分
（3）证明：连接OE，
∵点O是正方形ABCD的对角线AC、BD的交点，
∴点O是BD的中点，
又∵点E是BC的中点，∴OE是的中位线，
∴，，∴，
∴，∴，
又∵，，
∴，∴，
∴.
在中，∵，∴，
又∵，∴，
∴，∴.……12分
【点睛】本题是勾股定理、三角形的中位线定理、以及相似三角形的判定与性质的综合应用，理解正方形的性质是关键.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
C
D
B
B
B
C
B
D
男1
女1
女2
男
男男1
男女1
男女2
女
女男1
女女1
女女2