【全套精品专题】浙教版八年级上册 数学复习专题精讲专题3.1 不等式（组）含参问题与新定义 专项讲练（解析版）

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专题3.1 不等式（组）含参问题与新定义 专项讲练问题1. 含参的一元一次不等式（组）含参问题的解题步骤：①将参数当成“常数”解出不等式组；②.1)“根据不等式组的解集确定参数的取值范围”、“逆用不等式组的解集确定参数的取值范围”类型利用不等式组解集口诀确定出参数的取值范围；2)“根据不等式组的整数解情况确定确定参数的取值范围”需要借助数轴与不等式组解集口诀确定出参数的取值范围。注：参数取值范围是否取等于号需要将参数带进不等式中验证，不能凭感觉。而且需要注意的是带进去的是参数的值，并不是的值。1）根据不等式（组）的解集确定参数的取值范围例1．（2021·浙江余杭·八年级阶段练习）已知关于的不等式的解集为，则的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意直接根据已知解集得到，即可确定出的范围．【详解】解：不等式的解集为，，解得：．故选：C．【点睛】本题考查不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．变式1．（2022·黑龙江·九年级期末）关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是___ ．【答案】x< 【分析】据不等（2a−b）x＋a−5b＞0的解集是x＜1，可得a与b的关系，根据解不等式的步骤，可得答案．【详解】解；不等式（2a−b）x＋a−5b＞0的解集是x＜1，∴2a−b＜0，2a−b＝5b−a，a＝2b，b＜0，2ax−b＞0 4bx−b＞0 4bx＞b x<，故答案为：x<．【点睛】本题考查了不等式的解集，注意不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．例2．（2022·江苏·八年级专题练习）若不等式组的解集为．则关于、的方程组的解为_____________．【答案】【分析】根据已知解集确定出a与b的值，代入方程组求出解即可．【详解】解：解不等式得：，解不等式得：，∵不等式组的解集为-22因不等式组无解，把两个不等式的解集在数轴上表示出来如下：观察图象知，当m≤2时，满足不等式组无解 故答案为：【点睛】本题考查了根据不等式组解的情况确定参数的取值范围，借助数轴数形结合是关键．3）根据不等式组的整数解情况确定参数的取值范围例1．（2022·重庆八年级期中）若整数使关于的一次函数不经过第三象限，且使关于的不等式组有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数的值之和为______．【答案】5【分析】先根据一次函数不经过第三象限，得出，根据不等式组的解集不等式组的解集为，有且仅有4个整数解为2，1，0，-1，得出，综合得出，根据a为整数，求出a的值，再求和即可．【详解】解：关于的一次函数不经过第三象限，，解得，，解不等式①得，解不等式②，∴不等式组的解集为，∵不等式组有且仅有4个整数解为2，1，0，-1，∴，解得，∴，∵为整数，∴或，∴2+3=5．故答案为：5．【点睛】本题考查一次函数的性质，解不等式组，根据不等式组的整数解列不等式组，掌握一次函数的性质，解不等式组，根据不等式组的整数解列不等式组是解题关键．变式1．（2022·河南汤阴·八年级期末）若关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围为__________．【答案】【分析】先解不等式，求出不等式的解集，然后根据有三个整数解，求出a的取值范围．【详解】解：解不等式得：，解不等式得：，∴不等式组的解集为：，∵该不等式组恰好三个整数解，∴∴故答案为：【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是掌握一元一次不等式组的解法．变式2．（2021春•城阳区期末）若不等式组有解，则a的取值范围是（　　）A．a≤﹣2 B．a≥﹣2 C．a＜﹣2 D．a＞﹣2【答案】D【详解】解：，解不等式①，得x≥﹣a，解不等式②，得x＜2，∵不等式组有解，∴﹣a＜2，解得：a＞﹣2，故选：D．【点睛】此题考查了解一元一次不等式组、解一元一次方程，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．例2．（2022·黑龙江·八年级期中）关于的不等式组有解且不超过3个整数解，若，那么的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先解不等式组，在根据不超过3个整数解，确定的取值范围，即可得出结论．【详解】解：，解不等式得， 解不等式得，，因为不等式组有解，故解集为：，因为不等式组有不超过3个整数解，所以，，把代入，，解得，故选：C．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，解题关键是熟练解不等式组，根据有解和整数解的个数列出不等式组．变式2．（2022·重庆八年级阶段练习）如果关于x的不等式组有且只有3个奇数解，且关于y的方程3y+6a=22-y的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的积为（   ）A．-3 B．3 C．-4 D．4【答案】A【分析】先求解不等式组，根据解得范围确定的范围，再根据方程解的范围确定的范围，从而确定的取值，即可求解．【详解】解：由关于x的不等式组解得∵关于x的不等式组有且只有3个奇数解∴，解得关于y的方程3y+6a=22-y，解得∵关于y的方程3y+6a=22-y的解为非负整数∴，且为整数解得且为整数又∵，且为整数∴符合条件的有、、符合条件的所有整数a的积为故选：A【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法及一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法及一元一次方程的解法是解题的关键．例3．（2022·重庆丰都·八年级期末）如果关于的不等式组的整数解仅有，，那么适合这个不等式组的整数，组成的有序数对共有（   ）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【分析】解不等式组，然后根据不等式组的整数解仅有1，2即可确定，的范围，即可确定，的整数解，即可求解．【详解】解：，解不等式①，得：，解不等式②，得：，不等式组的解集为，不等式组的整数解仅有1、2，，，解得：，，整数有1；2；3，整数有；，整数、组成的有序数对有；；；；；，共6个，故选：B．【点睛】此题主要考查了不等式组的整数解，根据不等式组整数解的值确定，的取值范围是解决问题的关键．变式3．（2022·浙江·金华市八年级期中）不等式的整数解是1，2，3，4．则实数a的取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先确定 再分析不符合题意，确定 再解不等式，结合不等式的整数解可得：，从而可得答案.【详解】解： 显然： 当时，不等式的解集为：，不等式没有正整数解，不符合题意，当时，不等式的解集为： 不等式的整数解是1，2，3，4， 由①得： 由②得： 所以不等式组的解集为：故选A【点睛】本题考查的是根据不等式的整数解确定参数的取值范围，掌握“解不等式时，不等式的左右两边都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向改变”是解题的关键.例4．（2022·四川绵阳·八年级期末）若关于的不等式组的所有整数解的和为，则的取值范围是__．【答案】或【分析】先求出不等式的解集，根据已知不等式组的整数解得和为−5即可得出答案．【详解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，不等式组所有整数解的和为，不等式组的整数解为、或、、、0、1，或，解得或，故答案为：或．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解等知识点，能得出关于m的不等式组是解此题的关键．变式4．（2022·云南德宏·八年级期末）已知关于x的不等式组的所有整数解的和为－7，则m的取值范围为____．【答案】4＜m≤6或－6＜m≤－4【分析】先求出不等式组的解集，再根据已知得出关于m的不等式组，求出不等式组的解集即可．【详解】解：解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为：，∵不等式组的所有整数解的和为－7，∴不等式组必有整数解-4，-3或是-4，-3，-2，-1，0，1,2，∴，，∴4＜m≤6或－6＜m≤－4，故答案为：4＜m≤6或－6＜m≤－4．【点睛】本题考查解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于m的不等式组是解此题的关键．4）根据方程的解或者解之间的关系确定参数的取值范围例1．（2022·重庆·八年级期末）若关于x，y的二元一次方程组的解为正数，则满足条件的所有整数a的和为（　　）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】B【分析】先将二元一次方程组的解用a表示出来，然后再根据题意列出不等式组求出的取值范围，进而求出所有a的整数值，最后求和即可．【详解】解：解关于x，y的二元一次方程组，得，∵关于x，y的二元一次方程组的解为正数，∴，∴3＜a＜7，∴满足条件的所有整数a的和为4+5+6＝15．故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法、一元一次不等式组等知识点，根据题意求得a的取值范围是解答本题关键．变式1．（2022·山西·八年级期末）若方程组的解，的值都不大于，则的取值范围是______．【答案】【分析】解关于x、y的二元一次方程组得，根据，的值都不大于，得到关于的不等式组，解不等式组即可求解．【详解】解：解关于x、y的二元一次方程组得，∵，的值都不大于，∴，解不等式组得．故答案为： 【点睛】本题为二元一次方程组与不等式组综合题，正确解出关于x、y的方程组，根据题意得到关于a的不等式组是解题关键．例2．（2022·成都市锦江区八年级阶段练习）若方程组的解是（m为常数），方程组的解x、y满足，则m的取值范围为______．【答案】【分析】先将转化为与已知的方程组联合起来代数求出和的值即可．【详解】方程组，可转换为，∵方程组的解集为，∴方程组的解为：，由②-①得：，，把代入①得：，∴，∴，故答案为：m>2．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解不等式，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入法是解题的关键．变式2．（2022•沭阳县期末）已知关于x、y的方程组的解x、y满足3x+y≥0，求m的取值范围．解：，①+②得，3y＝2m，解得y＝m；代入①得，m﹣x＝m﹣1，解得x＝﹣m+1，把x、y的值代入3x+y≥0得，3×（﹣m+1）+m≥0，解得m≤9．故m的取值范围为：m≤9．课后专题训练：1.（2022·北京专题练习）已知关于的不等式的正整数解是1，2，3，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】C.【解析】解原不等式得：不等式的正整数解为1，2，3，∴解得：82，解不等式②得：x>m+1，∵不等式组的解集是x>2，∴m+1≤2解得：m≤1，故答案为：C．3.（2022·浙江期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】C.【解析】解：∵不等式组无解，∴m-1≥1，解得：m≥2，故答案为：C．4．（2022•海淀区校级期末）已知关于x的不等式组的解集是3≤x≤4，则a+b的值为（　　）A．5 B．8 C．11 D．9解：解不等式x﹣a≥1，得：x≥a+1，解不等式x+5≤b，得：x≤b﹣5，∵不等式组的解集为3≤x≤4，∴a+1＝3，b﹣5＝4，∴a＝2，b＝9，则a+b＝2+9＝11，故选：C．5.（2022·湖南·中考模拟）若关于x的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组有解，求出m＜4，然后分别取m=2，0，-1，得出整数解的个数，即可求解．【详解】解不等式2x﹣6+m＜0，得：x，解不等式4x﹣m＞0，得：x，∵不等式组有解，∴，解得m＜4，如果m＝2，则不等式组的解集为x＜2，整数解为x＝1，有1个；如果m＝0，则不等式组的解集为0＜x＜3，整数解为x＝1，2，有2个；如果m＝﹣1，则不等式组的解集为x，整数解为x＝0，1，2，3，有4个；故选C．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．6．（2022·浙江·杭州八年级期中）整数a使得关于x的不等式组至少有4个整数解，且关于y的方程1﹣3（y﹣2）＝a有非负整数解，则满足条件的整数a的个数是（       ）A．6个 B．5个 C．3个 D．2个【答案】A【分析】解不等式组中两个不等式得出，结合其整数解的情况可得，再解方程得，由其解为非负数得出，最后根据方程的解必须为非负整数可得的取值情况．【详解】解：解不等式，得：，解不等式，得：，不等式组至少有4个整数解，，解得，解关于的方程得，方程有非负整数解，，则，所以，其中能使为非负整数的有2，3，4，5，6，7，共6个，故选：A．【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．7．（2022·重庆一中八年级期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于s的不等式组恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a的个数为（       ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】C【分析】先求出方程组和不等式的解集，再求出a的范围，最后得出答案即可．【详解】解：解方程组得：，∵关于x、y的二元一次方程组的解满足，∴≥，解得：a≥-，∵关于s的不等式组恰好有4个整数解，即4个整数解为1，0，-1，-2，∴，解得-2≤a＜1，∴≤a＜1，∴符合条件的整数a的值有：-1，0，共2个，故选：C．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程和一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．8．（2022·重庆八中八年级期末）（多选题）若实数m使关于x的不等式组恰有4个整数解，且使方程组有整数解，则符合条件的整数m的值可以为（       ）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】AD【分析】根据题意解一元一次不等式组，进而根据不等式组恰有4个整数解，求得的值，进而解二元一次方程组，根据解为整数，判断为3的倍数，进而求得的值．【详解】解： 解不等式①得：解不等式②得：不等式组有解，则恰有4个整数解，则解得③＋④得即 是整数，则为3的倍数又则或故选AD【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，理解题意并正确的计算是解题的关键．9．（2022·江苏·苏州市八年级阶段练习）已知的解集为，则的范围______．【答案】【分析】根据不等式的基本性质，由不等式方向改变可知，不等式两边同时除以小于0，求解即可．【详解】解：∵不等式的解集为，不等式方向改变，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟记不等式的基本性质．10．（2022·湖南长沙·八年级期末）如果不等式组的解集是0≤x＜1，那么a+b的值为_____．【答案】1【分析】分别求出每一个不等式的解集，结合不等式组的解集得出关于a、b的方程，解之求出a、b的值，从而得出答案．【详解】解：解不等式x＋2a≥4，得：x≥−2a＋4，解不等式，得：x＜，∵不等式组的解集为0≤x＜1，∴−2a＋4＝0，＝1，解得a＝2，b＝−1，∴a＋b＝2−1＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．11．（2022·山东·济宁学院附属中学一模）一个三角形的三边长均为整数．已知其中两边长为3和5，第三边长是不等式组的正整数解．则第三边的长为：______．【答案】7【分析】先利用一元一次不等式组的解法确定出正整数解，然后利用三角形的三边关系来求解．【详解】解：解得，所以正整数解是、、9．三角形的其中两边长为和，，即，所以只有符合．故答案为：．【点睛】本题考查了三角形三边关系和一元一次不等式的整数解．解题的关键是求解不等式组求出它的正整数解．12．（2022·山西·八年级期末）若不等式没有负数解，则的取值范围是______．【答案】【分析】用含的式子表示出，再根据题意列不等式求解即可．【详解】解：由解得由题意可知，即，解得故答案为【点睛】此题考查了不等式的求解，解题的关键是用含的式子表示出．13.（2020·四川绵阳市·中考真题）若不等式＞﹣x﹣的解都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，则实数m的取值范围是_______．【答案】≤m≤6【分析】解不等式＞﹣x﹣得x＞﹣4，据此知x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，再分m﹣6＝0和m﹣6≠0两种情况分别求解．【详解】解：解不等式＞﹣x﹣得x＞﹣4，∵x＞﹣4都能使不等式（m﹣6）x＜2m+1成立，①当m﹣6＝0，即m＝6时，则x＞﹣4都能使0•x＜13恒成立；②当m﹣6≠0，则不等式（m﹣6）x＜2m+1的解要改变方向，∴m﹣6＜0，即m＜6，∴不等式（m﹣6）x＜2m+1的解集为x＞，∵x＞﹣4都能使x＞成立，∴﹣4≥，∴﹣4m+24≤2m+1，∴m≥，综上所述，m的取值范围是≤m≤6．故答案为：≤m≤6．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据及不等式的基本性质．14．（2022·湖北襄阳·一模）已知不等式组有解但没有整数解，则的取值范围为________．【答案】【分析】先求得不等式组的解集，根据解集没有整数解，建立起新的不等式组，解之即可【详解】∵，∴解①得，x＜-a，解②得，x＞-1，∴不等式组的解集为：-1＜x＜-a，∵不等式组有解但没有整数解，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，能根据不等式组无整数解建立新不等式组并解之是解题的关键．15．（2022·吉林省第二实验学校八年级期中）关于x、y的方程组的解满足，．求a的取值范围．【答案】【分析】解关于x、y的方程组，根据，得到关于a的不等式组，求解可得．【详解】①＋②得解得①－②得解得，解不等式，解得解不等式，解得a的取值范围为【点睛】本题主要考查解方程组和不等式组，根据题意得出关于a的不等式组是解题的关键．16．（2022·黑龙江牡丹江·八年级期末）已知关于，的方程组的解满足为非正数，不大于．（1）求的取值范围；（2）求当为何整数时，不等式的解集为．【答案】（1）；（2），【分析】（1）解方程组得，，；根据x为非正数，y为负数得，，解之可得答案；（2）由不等式2mx+x＜2m+1，即（2m+1）x＜2m+1的解集为x＞1知2m+1＜0，解之得出m，再从中找到符合此条件的整数m的值即可．【详解】（1）解方程组得，，；，．．．，．．．．（2）的解集为∴，．．为整数，，．【点睛】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．问题2. 不等式的新定义问题新定义问题解决方法：根据根据题干中的定义和不等式的相关问题解决即可。例1．（2022·江苏淮安·八年级期末）我们把称作二阶行列式，规定他的运算法则为．如：．如果有，求的解集．【答案】x的解集为．【分析】据题意列出不等式，然后去括号、移项、合并同类项，再把x的系数化为1即可得不等式解集．【详解】解：由题意得，去括号得：，移项合并同类项得：，把x的系数化为1得：，x的解集为：．【点睛】本题考查解一元一次不等式，理解题目中定义的新运算，正确掌握解不等式的基本步骤是解题的关键．变式1．（2022·广西岑溪·八年级期中）对于任意实数、，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：．请根据上述定义解决问题：若，则的取值范围是______．【答案】【分析】先根据定义得出2※x＝x+1，再结合1＜2※x≤7得出关于x的不等式组，解之可得答案．【详解】解：∵2※x＝2x﹣2﹣x+3＝x+1，∴1＜x+1＜7，解得0＜x＜6，【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．例2．（2022·河南济源·八年级期末）对x，y定义一种新的运算G，规定：G（x，y）＝例如：G（2，1）＝2﹣2×1＝0，若关于p（p＞0）的不等式组恰好有两个整数解，则a的取值范围是____【答案】12≤a＜16【分析】根据题中新定义化简已知不等式，根据不等式组恰好有2个整数解，求出a的范围即可．【详解】解：根据题意得：G（x，y）=，∵p＞0，∴3p＞p，-2-3p＜-2p∴G（3p，p）=3p-2p＞-3，解得p＞-3；G（-2-3p，-2p）=-2p-2（-2-3p）=4p+4≤a，解得p≤，∴不等式组的解集为-3＜p≤，又∵p＞0，∴0＜p≤，∵不等式组恰好有2个整数解，即p=1，2．∴2≤＜3，解得：12≤a＜16，故答案为：12≤a＜16．【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，根据新定义化简不等式组，并熟练掌握解一元一次不等式组的能力、根据其整式解个数得出关于a的不等式组是解题的关键．变式2．（2022·江苏·八年级专题练习）对于任意实数m、n，定义一种运算m※n＝mn﹣m﹣n+3，例如：3※5＝3×5﹣3﹣5+3＝10．请根据上述定义解决问题：若a＜4※x＜7，且解集中有三个整数解，则整数a的取值可以是_________．【答案】【分析】利用题中的新定义列出不等式组，求出解集即可确定出a的范围．【详解】根据题中的新定义化简得：a≤4x-4−x＋3＜7，整理得： ，即2，那么n的取值范围是（     ）A．n> B．n< C．n>2 D．n<2【答案】A【分析】先根据新运算的定义和3✬4=2将用表示出来，再代入5✬8>2可得一个关于的一元一次不等式，解不等式即可得．【详解】解：由题意得：，解得，由5✬8>2得：，将代入得：，解得，故选：A．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，理解新运算的定义是解题关键．4．（2022·福建龙岩·八年级期末）定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如：[3.2]=3，[2]=2，[-2.3]=-3．如果，则的取值范围是（     ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据新定义列出关于x的不等式组2≤＜3，再解之即可．【详解】解：∵[]=2，∴由题意得2≤＜3，解得5≤x＜7，故选：D．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确列出关于x的不等式组是解答此题的关键．5．（2022·江苏东台·八年级期中）有两个正数a，b，且a＜b，把大于等于a且小于等于b的所有数记作[a，b]．例如，大于等于1且小于等于4的所有数记作[1，4]．若整数m在[5，15]内，整数n在[﹣30，﹣20]内，那么的一切值中属于整数的个数为（       ）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【答案】B【分析】根据已知条件得出5≤m≤15，−30≤n≤−20，再得出的范围，即可得出整数的个数．【详解】解：∵m在[5，15]内，n在[−30，−20]内，∴5≤m≤15，−30≤n≤−20，∴−≤≤，即−6≤≤−，∴的一切值中属于整数的有−2，−3，−4，−5，−6，共5个；故选：B．【点睛】此题考查了不等式组的应用，求出5≤m≤15和−30≤n≤−20是解题的关键．6．（2022·浙江衢州八年级阶段练习）定义新运算：对于任意实数a，b都有：a⊕b＝a（a﹣b）+1．如：2⊕5＝2×（2﹣5）+1＝2×（﹣3）+1＝﹣5，那么不等式﹣3⊕x＜15的解为 _____．【答案】【分析】根据题目中所给的新运算先进行化简，然后再解不等式求解即可．【详解】解：∵，，．∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】题目主要考查整式的混合运算及解不等式，理解题中定义的新运算，熟练掌握解不等式的方法是解题关键．7．（2022·湖北武汉·八年级期末）定义：把的值叫做不等式组的“长度”若关于的一元一次不等式组解集的“长度”为3，则该不等式组的整数解之和为______．【答案】【分析】解不等式组求得不等式的解集为−a≤x≤2a−3，根据题意得出2a−3−（−a）＝3，解得a＝2，即可得到不等式的解集为−2≤x≤1，进而即可求得不等式组的整数解之和为−2．【详解】解：，由①得x≥−a，由②x≤2a−3，∴不等式组的解集为−a≤x≤2a−3，∵关于x的一元一次不等式组解集的“长度”为3，∴2a−3−（−a）＝3，∴a＝2，∴不等式组的解集为−2≤x≤1，∴不等式组的整数解为−2，−1，0，1，它们的和为−2．故答案为−2．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次方程，求得a的值是解题的关键．8．（2022·湖北荆州·中考模拟）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如，．若，则实数的取值范围是__________．【答案】．【分析】根据定义运算的法则写出不等式，利用一元一次不等式求解即可.【解析】解：依题意得：解得．故答案是：．【点睛】本题考查的是一元一次不等式，正确掌握题意是解题的关键.9．（2022·河北临西·八年级期末）对于实数x，y规定“x△y＝ax﹣by（a，b为常数）”．已知2△3＝4，5△（﹣3）＝3（1）a+b＝___．（2）已知m是实数，若2△（﹣m）≥0，则m的最大值是 ___．【答案】          【分析】（1）根据已知条件得出关于a、b的方程组，求出方程组的解集，即可求解；（2）根据已知新运算得出不等式，再求出答案即可．【详解】解：（1）∵2△3=4，5△（-3）=3，∴，解得：，∴；故答案为：；（2）∵，，2△(-m)≥0，∴2△(-m)，解得：，则m的最大值是．【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式等知识点，能根据新运算得出代数式是解此题的关键．10.（2022·江西·八年级期末）已知表示不超过x的最大整数)，设方程的两个不同实数解为，则__________．【答案】【分析】由题意可知{}表示的小数部分，则，根据题意可得，分类讨论，将原方程化简，求得进而进行计算即可．【详解】由题意得，，，，，，，即，，当时，，原方程为，即，，当时，，原方程为，即，，．故答案为：．【点睛】本题考查了新定义下的方程的计算，不等式的性质，实数的小数部分与整数部分，根据题意分析出，再分类讨论以及正确的计算是解题的关键．11．（2022·广东·佛山八年级阶段练习）对于任意实数a，b，定义一种新运算：a#b=a﹣3b+7，等式右边是通常的加减运算．例如：3#5=3﹣3×5+7．（1）求5#x>0解集；（2）若3m<2#x＜7有解，求x的取值范围；（3）在（2）的条件下，若x的解集中恰有3个整数解，求m的取值范围．【答案】（1）x＜4；（2）；（3）-1≤m＜0【分析】（1）根据新定义得出关于x的不等式，解之即可；（2）根据新定义列出关于x的不等式组，再分别求解即可得出其解集；（3）由不等式组整数解的个数得出关于m的不等式组，再进一步求解即可．【详解】解：（1）由题意得5-3x+7＞0，解得x＜4；（2）由题意，得：，解不等式①，得：，解不等式②，得：x＜3-m，则不等式组的解集为；（3）∵该不等式组有3个整数解，∴3＜3-m≤4，解得-1≤m＜0．【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．12．（2022·浙江金华·八年级期中）对，定义一种新运算（中，均为非零常数）．例如：；已知，．（1）求，的值；（2）若关于的不等式组恰好只有个整数解，求的取值范围．【答案】（1）a=1，b=-3；（2）【分析】（1）根据题中的新定义列出关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值；（2）根据题中的新定义列出不等式组，根据不等式组恰好只有个整数解，确定出k的范围即可．【详解】解：（1）∵，，∴，解得：；（2）∵a=1，b=-3，∴，∴可变形为，化简得：，解得：，∵不等式组恰好只有个整数解，∴，解得：．【点睛】此题考查了解一元一次不等式组及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．（2022·湖南张家界·中考模拟）阅读下面的材料：对于实数，我们定义符号的意义为：当时，；当时，，如：．根据上面的材料回答下列问题：（1）______；（2）当时，求x的取值范围．【答案】（1）﹣1 ；（2）x≥【分析】（1）比较大小，即可得出答案；（2）根据题意判断出 解不等式即可判断x的取值范围．【解析】解：（1）由题意得﹣1故答案为：﹣1；（2）由题意得： 3（2x－3）≥2（x+2） 6x－9≥2x+4 4x≥13 x≥ ∴x的取值范围为x≥．【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．14．（2022·山东莱西·八年级期末）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如方程的解为，不等式组的解集为，因为2＜3＜5，所以，称方程为不等式组的关联方程．（1）若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是__________________（写一个即可）。（2）若方程，都是关于的不等式组的关联方程，试求的取值范围．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先求出不等式组的解集，再写出其关联方程即可；（2）先求出两方程的解，，再求出关于的不等式组的解集为，根据关联方程的定义即可求解．【详解】（1）解不等式，得：，解不等式，得：，则不等式组的解集为，∴其整数解为2，则该不等式组的关联方程为，故答案为；（2）解方程得，解方程得，解不等式组得，∵1，2都是该不等式组的解，∴．【点睛】此题主要考查不等式组的求解及应用，解题的关键是熟知不等式的性质与求解不等式组的方法．15．（2022·广东蓬江·八年级期中）先阅读短文，然后回答短文后面所给出的问题：对于三个数a、b、c的平均数，最小的数都可以给出符号来表示，我们规定M{a，b，c}表示这三个数的平均数，min{a，b，c}表示这三个数中的最小的数，max{a，b，c}表示这三个数中最大的数．例如：M{﹣1，2，3}＝，min{﹣1，2，3}＝﹣1，max{﹣1，2，3}＝3；M{﹣1，2，a}＝＝，min{﹣1，2，a}＝．(1)请填空：min{﹣1，3，0}＝　　；若x＜0，则max{2，x2+2，x+1}＝　　；(2)若min{2，2x+2，4﹣2x}＝M{x﹣1，5﹣4x，3x+2}，求x的取值范围．(3)若M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，求x的值．【答案】(1)﹣1，x2+2(2)0≤x≤1(3)1【分析】（1）根据新定义，即可求解；（2）先求出M（x﹣1，5﹣4x，3x+2}＝2，再由min{2，2x+2，4﹣2x}＝M{x﹣1，5﹣4x，3x+2}，可得，解出即可；（3）先求出M{2，x+1，2x}＝x+1，再由M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，可得，解出即可．【详解】(1)解：∵﹣1，3，0最小的数是﹣1，∴min{﹣1，3，0}＝﹣1，∵x＜0，2，x2+2，x+1中，∴，∴最大的数是x2+2，∴max{2，x2+2，x+1}＝x2+2；故答案为：﹣1，x2+2；(2)解：∵M（x﹣1，5﹣4x，3x+2}＝＝2，∵min{2，2x+2，4﹣2x}＝M{x﹣1，5﹣4x，3x+2}，∴，则0≤x≤1；(3)解：∵M{2，x+1，2x}＝＝x+1，且M{2，x+1，2x}＝min{2，x+1，2x}，∴min{2，x+1，2x}＝x+1，∴，∴，∴x＝1．【点睛】本题考查整式的加减混合运算的应用，不等式组的应用，明确题意，理解新定义是解题的关键.16．（2022·重庆·八年级期中）对于一个三位正整数n，如果n满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于6，那么称这个数n为“开心数”，例如：n1＝936，∵9+3﹣6＝6，∴936是“开心数”：n2＝602，∵6+0﹣2＝4≠6，∴602不是“开心数”．(1)判断666、785是否为“开心数”？请说明理由；(2)若将一个“开心数”m的个位数的两倍放到百位，原来的百位数变成十位数，原来的十位数变成个位数，得到一个新的三位数s（例如；若m＝543，则s＝654），若s也是一个“开心数”，求满足条件的所有m的值【答案】(1)666是“开心数”，785不是“开心数”，理由见解析(2)464和532【分析】（1）根据“开心数”的定义即可得；（2）设的百位数字为，十位数字为，个位数字为，从而可得的百位数字为，十位数字为，个位数字为，再根据“开心数”的定义列出等式，将都用表示出来，然后根据求出的取值范围，最后根据为正整数进行分析即可得．【详解】(1)解：666是“开心数”，785不是“开心数”，理由如下：，是“开心数”，，不是“开心数”．(2)解：设的百位数字为，十位数字为，个位数字为，则的百位数字为，十位数字为，个位数字为，和都是“开心数”，，解得，，，，解得，又为正整数，所有符合条件的取值为，当时，，则，当时，，则，综上，满足条件的所有的值为464和532．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用、三元一次方程组的应用等知识点，掌握理解“开心数”的定义是解题关键．