2023-2024学年广东省深圳市中国科学院深圳先进技术研究院实验学校九年级（上）学期期末数学试题（含解析）

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4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（每题3分，共30分．）
1．如图所示，该几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
2．已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（ ）
A．4B．C．3D．
3．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在平面直角坐标系xOy中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的位似比为2：1．点P（﹣6，9）在①号“E”上，则点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（ ）
A．（﹣3，）B．（﹣2，3）C．（﹣，3）D．（﹣3，2）
5．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ）
A．8B．12C．0.4D．0.6
6．如图，嘉嘉在A时测得一棵4米高的树的影长为，若A时和B时两次日照的光线互相垂直，则B时的影长为（ ）
A．B．C．D．
7．下面说法正确的是（ ）
A．两条直线被一组平行线所截，所得的线段成比例
B．对于反比例函数，随的增大而减小
C．关于的方程是一元二次方程
D．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的图形是菱形
8．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，在矩形中，以为圆心，长为半径画圆弧，交于点，以为圆心长为半径画圆弧与的延长线交于点，连接分别与、交于点、，连接，下列结论中下列结论中错误的是（ ）
A．四边形为菱形B．
C．D．
10．用绘图软件绘制出函数的图象，如图，则根据你学习函数图象的经验，下列对a，b大小的判断，正确的是（ ）．
A．a＞0，b＜0B．a＞0，b＞0C．a＜0，b＞0D．a＜0，b＜0
二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．若，则 ．
12．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，点为的黄金分割点（）．如果的长度为，那么的长度为 ．
13．如图，在ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E．点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD的长为 ．
14．如图，在矩形中，，，是上的一个动点（不与，重合），过点的反比例函数的图象与边交于点，若时，则 ．
15．如图，为直角三角形，，，，是边上的中点，将绕着点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点的对应点为，边与边交于点，则的长是 ．
三、解答题：（本题共7小题，其中第16题6分，第17题6分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第20题10分，共55分）
16．解下列方程：
(1)
(2)
17．已知：的两邻边，的长是关于的方程的两个实数根．
(1)当为何值时，是菱形？
(2)若的长为3，求的周长．
18．某校在开展“网络安全知识教育周”期间，在八年级中随机抽取了20名学生分成甲、乙两组，每组各10人，进行“网络安全”现场知识竞赛．把甲、乙两组的成绩进行整理分析（满分100分，竞赛得分用x表示：为网络安全意识非常强，为网络安全意识强，为网路安全意识一般）．收集整理的数据制成如下两幅统计图：
分析数据：
根据以上信息回答下列问题：
(1)填空：_______，_______，_________；
(2)已知该校八年级有500人，估计八年级网络安全意识非常强的人数一共是多少？
(3)现在准备从甲乙两组满分人数中抽取两名同学参加校际比赛，求抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率．
19．如图，在正方形中，点，分别在，上，，垂足为．
(1)求证：；
(2)若正方形的边长是8，，点是的中点，求的长．
20．园林部门计划在某公园建一个长方形花圃，花圃的一面靠墙（墙足够长），另外三边用木栏围成，如图所示，建成后所用木栏总长米，在图总面积不变的情况下，园林部门在花圃内部设计了一个正方形的网红打卡点和两条宽度相等的小路如图，小路的宽度是正方形网红打卡点边长的，其余部分种植花卉，花卉种植的面积为平方米．

(1)求长方形花圃的长和宽；
(2)求出网红打卡点的面积．
21．【教材再现】：北师大版九年级上册数学教材第122页第21题：“怎样把一块三角形的木板加工成一个面积最大的正方形桌面？”某小组同学对此展开了思考．
（1）若木板的形状是如图（甲）所示的直角三角形，，，根据“相似三角形对应的高的比等于相似比”可以求得此时正方形的边长是________．
【问题解决】：若木板是面积仍然为的锐角三角形，按照如图（乙）所示的方式加工，记所得的正方形的面积为，如何求的最大值呢？某学习小组做了如下思考：
设，，边上的高，则，，由得：，从而可以求得，若要内接正方形面积最大，即就是求的最大值，因为为定值，因此只需要分母最小即可．
（2）小组同学借鉴研究函数的经验，令．探索函数的图象和性质：
①下表列出了与的几组对应值，其中________．
②在如图（丙）所示的平面直角坐标系中画出该函数的大致图象；
③结合表格观察函数图象，以下说法正确的是
A．当时，随的增大而增大．
B．该函数的图象可能与坐标轴相交．
C．该函数图象关于直线对称．
D．当该函数取最小值时，所对应的自变量的取值范围在之间．
22．某数学学习小组学习完四边形后进行了如下探究，已知四边形为矩形，请你帮助他们解决下列问题：
(1)【初步尝试】：他们将矩形的顶点、分别在如图（1）所示的的边、上，顶点、恰好落在的对角线上，求证：；
(2)【深入探究】：如图2，若为菱形，，若，求的值；
(3)【拓展延伸】：如图（3），若为矩形，；且，请直接写出此时的值是________（用含有，的代数式表示）．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义，掌握简单几何体三视图的形状是正确判断的前提找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从正面看，可得图形如下：
故选：A．
2．B
【分析】根据方程根的定义，将代入方程，解出m的值即可．
【详解】解：关于x的方程的一个根为，
所以，
解得．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握由方程的根求待定系数的方法是将根代入方程求解．
3．C
【分析】根据菱形的判定方法逐一进行判断即可．
【详解】解：A、根据等角对等边可得平行四边形的两条邻边相等，即可得到平行四边形为菱形，不符合题意；
B、根据三角形的内角和定理，得到平行四边形的对角线互相垂直，即可得到平行四边形为菱形，不符合题意；
C、根据同旁内角互补，两直线平行，不能得到平行四边形是菱形，符合题意；
D、根据平行四边形的对边平行，两直线平行，内错角相等，以及等角对等边可得平行四边形的两条邻边相等，即可得到平行四边形为菱形，不符合题意；

故选C．
【点睛】本题考查菱形的判定．熟练掌握菱形的判定方法，是解题的关键．
4．A
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵①号“E”与②号“E”是位似图形，位似比为2：1，点P（﹣6，9），
∴点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（﹣6×，9×），即（﹣3，），
故选：A．
【点睛】此题考查了位似变换的性质：如果两个图形位似，那么任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，任意一组对应边都互相平行（或在一条直线上），熟记性质是解题的关键．
5．B
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，理解并熟练运用概率公式是解题关键．
【详解】解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，
∴点落在阴影部分的概率为，
设阴影部分面积为S，则，
即：，
∴黑色阴影的面积为12，
故选：B．
6．A
【分析】根据勾股定理，求出FC=，令DE=x，在Rt中，EC2=，在Rt中，EC2==，代入求解即可．
【详解】解：由题意，得
∠ECF=∠CDF=∠CDE=90°，CD=4m，=，
由勾股定理，得
FC=，
EC2=，EC2=，
∴=，
令DE=x，则EF=x+8，
∴，
整理，得16x=32，
解得x=2．
故选：A．
【点睛】本题考查利用勾股定理求线段长，拓展一元一次方程，正确的运算能力是解决问题的关键．
7．D
【分析】本题考查了平行线分线段成比例的性质、反比例函数的性质、一元二次方程的定义和菱形的判定．分别根据平行线分线段成比例的性质、反比例函数的性质、一元二次方程的定义和菱形的判定判定即可．
【详解】解：A、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，所以本选项不符合题意；
B、对于反比例函数，在每个象限内，随的增大而减小，所以本选项不符合题意；
C、关于的方程，当时是一元二次方程，所以本选项不符合题意；
D、顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的图形是菱形，所以本选项符合题意．
故选：D．
8．B
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据月均下降率是x表示出5月份的售价是解答此题的关键．首先根据3月份售价为23万元，月均下降率是x可得出4月份的售价为万元，5月份的售价为万元，据此根据5月份售价为16万元可列出方程，进而可得出答案．
【详解】解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元，
∴．
故选：B．
9．B
【分析】证明，可判断A，由可判断C，由矩形与菱形的性质可判断D，假设B成立，推出与题干矛盾可判断B，从而可得答案．
【详解】解：∵矩形，
∴，即，
由作图可得：，
∴四边形为菱形，故A不符合题意；
∵，
∴，故C不符合题意；
∵矩形，
∴，，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
故D不符合题意；
当，
∵四边形为菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，与题干条件矛盾，故B符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，矩形的性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上基础知识是解本题的关键．
10．A
【分析】由图象可知，当x>0时，y＞0，再由当x=-b时，函数值不存在，可得b＞0，即可求解．
【详解】解：由图象得，当x>0时，y＞0，
∴a＞0；
当x=-b时，函数值不存在，
∴-b＞0，
∴b＜0．
故选：A
【点睛】本题考查函数的图象；能够通过已学的反比例函数图象确定b的取值是解题的关键．
11．
【分析】本题考查了比例的性质．根据比例的性质即可得出答案．
【详解】解：，
．
故答案为：．
12．##
【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：点为的黄金分割点，，
，
，
故答案为：．
13．
【分析】先求解 再利用线段的和差可得答案．
【详解】解：由题意可得：

同理：

故答案为：
【点睛】本题考查的是锐角的正切的应用，二次根式的减法运算，掌握“利用锐角的正切求解三角形的边长”是解本题的关键．
14．80
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义的应用，三角形面积的同底问题的应用．连接，利用同底面积比等于高之比，得到点坐标，再利用反比例函数的关系式的求法计算即可．
【详解】解：连接，
由题意得：，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：80．
15．##
【分析】先证，由锐角三角函数可求，的长，由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，通过证明，可得，可求的长，通过证明，由相似三角形的性质可求解．
【详解】解：如图，过点作于，过点作于，
，，，
，
是边上的中线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
将绕着点逆时针旋转，
，，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．
16．(1)
(2)
【分析】本题主要考查解一元二次方程：
（1）方程移项后运用因式分解法求解即可；
（2）方程运用因式分解法求解即可．
【详解】（1），
，
，
，
，
∴；
（2），
，
，
∴．
17．(1)的值为8；
(2)的周长为．
【分析】本题考查了根与系数的关系，平行四边形的性质和菱形的判定与性质．
（1）根据菱形的判定得到，再利用根的判别式的意义得到，解得，，然后根据根与系数的关系得到，，从而确定的值；
（2）利用根与系数的关系得到，，解方程组得到，然后根据平行四边形的性质求解．
【详解】（1）解：当时，，是菱形，
即，的长是关于的方程的两个相等的实数根，
，
解得，，
，，
的值为8；
（2）解：，
，，
，
解得，
的周长．
18．(1)83，85，70
(2)200人
(3)
【分析】（1）根据平均数，中位数与众数的含义分别求解即可；
（2）由500乘以得分为所占的百分比即可得到答案；
（3）记甲组满分的同学为A，乙组满分的两位同学分别为B，C，再利用列表的方法得到所有的等可能的情况有6种，符合条件的有4种，从而可得答案．
【详解】（1）解：甲组的平均数为：（分），
乙组10个数据分别为：70，70，70，70，80，90，90，90，100，100，
排在第5个，第6个分别为：80，90，
所以中位数（分），
而70出现的次数最多，所以众数（分），
故答案为：83，85，70；
（2）由题意得：（人），
所以八年级网络安全意识非常强的人数一共有200人．
（3）记甲组满分的同学为A，乙组满分的两位同学分别为B，C，
列表如下：
所以所有的等可能的情况有6种，符合条件的有4种，
所以抽取的两名同学恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为
【点睛】本题考查的是频数直方图，折线图，平均数，众数，中位数的含义，利用样本估计总体，利用列表或画树状图求解简单随机事件的概率，熟练的掌握统计与概率的基础知识是解本题的关键．
19．(1)见解答；
(2)
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判断和性质，勾股定理．
（1）根据正方形的性质可得，，结合可得即可得证；
（2）由题意知即可求出，则，根据勾股定理即可求出，由是中点可得即可解答．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
是中点，，
．
20．(1)长方形花圃的长为米，宽为米；
(2)平方米．
【分析】（1）设米，根据三边所用木栏总长米，列方程求解即可；
（2）设网红打卡点的边长为米，根据空白的面积=长方形花圃的面积一花卉种植面积，列一元二次方程，求解即可．
【详解】（1）设米，则米，
根据题意，得：，
解得：，
∴米，米，
答：长方形花圃的长为米，宽为米；
（2）设网红打卡点的边长为米，
根据题意，得：，
解得：，(舍去)，
∴网红打卡点的面积为(平方米)，
答：网红打卡点的面积为平方米．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意并根据题意建立等量关系．
21．（1）；（2）①；②见解析；③D
【分析】（1）利用勾股定理以及面积法求得各边长和斜边上的高，设正方形的边长为，根据，利用“相似三角形对应的高的比等于相似比”列式计算即可求解；
（2）①将代入计算即可求解；
②描点、连线，即可画出图象；
③结合表格观察函数图象即可判断．
【详解】解：（1）作交于点N，交于点M，
设正方形的边长为，则，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
此时正方形的边长是，
故答案为：；
解：（2）①当时，，
故答案为：；
②描点、连线，图象如图所示，
③由图可知：
A、当时，随的增大，先减小后增大，原说法错误；
B、a不能为零，可知与y轴无交点，a为正数可知，,与横轴无交点，即该函数的图象不可能与坐标轴相交，原说法错误；
C、该函数图象没有对称轴，原说法错误；
D、当，函数值先减少后增加，故当该函数取最小值时，所对应的自变量的取值范围在之间，说法正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，函数的图象和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
22．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）证明，则，根据，可得；
（2）如图（2），连接，交于，由（1）可知，，则，证明四边形是平行四边形，则，由为菱形，，可得，，，如图（2）作于，则，，然后计算求解即可；
（3）由勾股定理得，，如图（3），连接，作于，同理（2）可知，，证明，则，求得，则，根据，计算求解即可．
【详解】（1）证明：∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图（2），连接，交于，
由（1）可知，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵矩形，
∴，
∵为菱形，，
∴，，，，
∴，，
∴，
如图（2）作于，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）解：∵为矩形，；，
由勾股定理得，，
如图（3），连接，作于，
同理（2）可知，，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，正弦，余弦，勾股定理，相似三角形的判定与性质．熟练掌握矩形的判定与性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，正弦，余弦，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
平均数
中位数
众数
甲组
a
80
80
乙组
83
b
c
…
1
2
3
4
…
…
4
4
…
A
B
C
A
A，B
A，C
B
B，A
B，C
C
C，A
C，B