广东省深圳市龙岗区2023-2024学年九年级（上）期末数学试题（含解析）

这是一份广东省深圳市龙岗区2023-2024学年九年级（上）期末数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．如图所示的几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了白色和红色两个区域，任意转动转盘一次， 当转盘停止转动时（若指针停在边界处，则重新转动转盘），指针落在红色区域内的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，梯形ABCD中，AC交BD于点O，已知AD∥BC，AD=2，BC=4，S△AOD=1，则梯形ABCD的面积为（ ）
A．9B．8C．7D．6
4．已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
5．已知关于x的一元二次方程3x2﹣2xy-y2=0的,则（ ）
A．1B．1或C．1或﹣D．﹣
6．下列选项中，不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖的图形是（ ）
A．长度为的线段B．边长为2的等边三角形
C．斜边为2的直角三角形D．面积为4的菱形
7．有大小、形状、颜色完全相同的3个乒乓球，每个球上分别标有数字1，2，3中的一个，将这3个球放入不透明的袋中搅匀，如果不放回的从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之和为偶数的概率是( )
A．B．C．D．
8．如图，已知△ABO与△DCO位似，且△ABO与△DCO的面积之比为1：4，点B的坐标为(﹣3，2)，则点C的坐标为( )
A．(3，﹣2)B．(6，﹣4)C．(4，﹣6)D．(6，4)
9．如图，中，的角平分线交于点，交于点，垂足为，则的长为（）
A．B．C．D．
10．如图，在矩形中，为边上一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处，，，则的长为（ ）
A．B．1
C．D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为 ．
12．设α、β是方程x2+2020x﹣2＝0的两根，则（α2+2020α﹣1）（β2+2020β+2）＝ ．
13．如图，是等腰直角三角形，，D为边上一点，连接，过点B作，交的延长线于点E．若，则的值为 ．
14．将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米．如果截成的三段木棍长度分别相同算作同一种截法（如：5，2，1和1，5，2），那么截成的三段木棍能构成三角形的概率是 ．
15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且，，于点E，则 ．
三、解答题：本题共7小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．若一个几何体由几个大小相同的小正方体搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数．请画出从正面、左面看到的这个几何体的形状图．
17．已知关于x的方程的一根为4．
(1)求的值．
(2)求方程的另一根．
18．如图，路灯（点）距地面米，小明在距路灯的底部（点）米的点时，测得此时他的影长为米．
求小明的身高；
小明沿所在的直线行走米到点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
19．商场以每件200元的价格购进一批商品，以单价300元销售．预计每月可售出250件，该商场为尽可能减少库存，决定降价销售，根据市场调查，该商品单价每降低5元，可多售出25件，但最低售价应高于购进的价格；若该商场希望该商品每月获利28000元，则销售单价应定为多少元？每月可销售多少件？
20．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．
（1）请用画树形图或列表的方法写出两次取出的小球所能产生的全部结果；
（2）求两次取出的小球标号相同的概率；
（3）求两次取出的小球标号的和等于4的概率．
21．已知，如图，反比例函数的图像与一次函数的图像相交于点、，
（1）试确定这两个函数的表达式；
（2）求的面积；
（3）直接写出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围．
22．如图，在矩形中，，，点从点出发向终点运动；同时点从点出发向终点运动当、两点其中有一点到达终点时，另一点随之停止，点、的速度分别为，，连接、、设点、运动的时间为．
(1)如图（1），当为何值时，四边形是矩形？
(2)如图（2），若点为边上一点，当时，四边形可能为菱形吗？若能，请求出的值；若不能，请说明理由．
答案与解析
1．B
【分析】本题主要考查了几何体的三视图．熟练掌握从正面看到的是主视图是解题的关键．
根据从正面看到的列数和每列小正方形的数量进行判断作答即可．
【详解】解：从正面看，共有四列，小正方形的数量分别为：，，，．
∴几何体的主视图如下：
故选：B．
2．C
【分析】认真审题, 仔细观察和分析题干中的已知条件和所给的图形.根据概率的应用, 据此计算后选择求解.
【详解】解: 转盘被等分成红、白二个扇形，且红色区域的圆心角为，
指针落在红色区域的概率是P==
故选C.
【点睛】解决这个问题的关键之处在于认真审题, 仔细观察和分析题干中的已知条件和所给的图形.根据概率的定义和公式的运用, 据此计算后求解.
3．A
【分析】先根据AD∥BC，得到△AOD∽△COB，从而得出△COB的面积，再根据△AOB与△COB等高，从而得出△AOB的面积，同理得出△DOC的面积即可得出梯形ABCD的面积．
【详解】解：∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB
∵AD=2，BC=4，
∴
∴
∴ =4
∵△AOB与△COB等高，
又∵
∴
∴ =2
同理，=2
∴= =1+4+2+2=9．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．
4．B
【分析】先判断出反比例函数图象所在的象限和增减性，再由各点横坐标的大小判断出各点纵坐标大小，进而可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数中k＝﹣m2﹣1＜0，
∴此函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y的值随x的增大而增大，
∵2＞0，﹣3＜﹣1＜0，
∴B （2，y2）位于第四象限，点A（﹣1，y1），C （﹣3，y3）位于第二象限，
∴y1＞y3＞y2．
故选：B．
【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
5．C
【分析】运用因式分解法解出方程即可求出结论．
【详解】解：3x2﹣2xy-y2=0
（3x+y）(x-y)=0
∴3x+y=0或x-y=0
解得：或1，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了解一元二次方程，灵活选用解题方法是解答此题的关键．
6．D
【分析】先计算出正方形的对角线长，即可逐项进行判定求解．
【详解】解：A、正方形的边长为2，
对角线长为，
长度为的线段能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故不符合题意；
B、边长为2的等边三角形能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故不符合题意；
C、斜边为2的直角三角形能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故不符合题意；
D、而面积为4的菱形对角线长可以为8，故不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖，故符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，等边三角形的性质，菱形的性质等知识，解题的关键是掌握相关图形的特征进行判断．
7．C
【分析】列举出所有可能，进而求出和为偶数的概率．
【详解】画树状图如下：
由树状图知共有6种等可能结果，其中和为偶数的有2种结果，所以两个球上的数字之和为偶数的概率为=．
故选C．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
8．B
【分析】利用位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（-kx，ky）．
【详解】∵△ABO与△DCO位似，且△ABO与△DCO的面积之比为1：4，
∴△ABO与△DCO为1：2，
∵点B的坐标为（-3，2），
∴点C的坐标为（6，-4），
故选B．
【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．
9．B
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出是解题关键．
利用平行四边形的性质得出，进而求出的长，再利用相似三角形的判定与性质得出的长．
【详解】解：∵在中，的平分线交于点，
所以，
，
，
，
，
即
解得：．
故选：B．
10．A
【分析】先证得△ABF∽△FCE，再根据矩形的性质及翻折变换的性质推出BC=AD=AF=4，从而利用勾股定理求得BF=2，进而结合线段之间的和差关系利用相似三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
又△ADE沿AE翻折得到△AFE，
∴∠D=∠AFE=90°，
∵∠BAF+∠AFB=90°，∠EFC+∠AFB=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
∴△ABF∽△FCE；
∵AB=，AD=4，
∴BC=AD=AF=4，
在Rt△ABF中，
，
∴CF=BC-BF=4-2=2，
又∵△ABF∽△FCE，
∴，即，
解得：，
故选择：A
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质及翻折变换（折叠问题），解题的关键是利用翻折的性质得出∠D=∠AFE=90°，AD=AF，注意运用数形结合的思想方法，从图形中寻找边之间的关系．
11．4
【分析】由方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：m＝4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
12．4
【分析】将两根代入可得α2+2020α＝2，β2+2020β＝2，然后利用整体代入法即可求出结论．
【详解】∵α、β是方程x2+2020x﹣2＝0的两根，
∴α2+2020α﹣2＝0，β2+2020β﹣2＝0
∴α2+2020α＝2，β2+2020β＝2
∴（α2+2020α﹣1）（β2+2020β+2）
=（2﹣1）（2+2）＝4．
故答案为4．
【点睛】此题考查的是一元二次方程的解，掌握一元二次方程解的定义是解决此题的关键．
13．##0.6
【分析】设，则，证明，用k表示即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴可以假设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数，正确寻找相似三角形解决问题．
14．
【详解】解：因为将长度为8厘米的木棍截成三段，每段长度均为整数厘米，
共有5种情况，分别是1，2，5；1，3，4；2，3，3；4，2，2；1,1,6；
其中能构成三角形的是：2，3，3一种情况，
所以截成的三段木棍能构成三角形的概率是．
15．##4.8
【分析】利用菱形的性质即可计算得出BC的长，再根据面积法即可得到AE的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，且AC=6，DB=8，
∴CO=AC=3，BO=BD=4，AO⊥BO，
∴BC==5，
∵S菱形ABCD=AC•BD=BC•AE，
∴AE=，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，关键是掌握菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分．
16．图见解析
【分析】根据三视图的定义画出图形即可．
【详解】解：图形如图所示：
【点睛】本题考查三视图的作图，解题的关键是理解三视图的定义．
17．(1)－7
(2)－1
【分析】（1）把代入方程即可得，进而代入所求代数式即可求解；
（2）设方程的另一根为m，利用根与系数的关系即可求解另一根m的值．
【详解】（1）解：把代入得：
∴
∴
（2）解：设方程的另一根为m
则此时方程的两根分别为4、m
∴
∴
即方程的另一根为－1
【点睛】本题考查了求代数式的值，一元二次方程的解以及根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
18．（1）小明的身高为米；（2）小明的身影变短了米
【分析】（1）根据同一时刻高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似解答．
（2）再次利用相似，两次影长差即为摄影变化的长度．
【详解】∵，，
∴，
∴，即，
解得，米．
即小明的身高为米．
∵，，
∴，
∴，
解得，米，
∴米，
∴小明的身影变短了米．
【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
19．售价应定为270元，每月销售400件
【分析】设售价降低x个5元，由销售额﹣进价＝利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要代入实际问题中检验是否符合题意，进行值的取舍．
【详解】解：设售价降低x个5元，得
（300﹣200﹣5x）（250+25x）＝28000．
解得：x1＝4，x2＝6．
当x＝4时，300﹣5×4＝280（元）＞200元；
当x＝6时，300﹣5×6＝270（元）＞200元；
因为要减少库存，
所以，售价为：300﹣5×6＝270（元）．
销售件数为：250+6×25＝400（件）．
答：售价应定为270元，每月销售400件．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．有关销售问题中的等量关系一般为：利润=售价-进价．
20．（1）见解析；（2）；（3）
【分析】（1）先画树状图展示所有16种等可能的结果数即可；
（2）两次摸出的小球标号相同的占4种，然后根据概率的概念计算即可；
（2）由（1）可知有16种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号的和等于4的有3种，进而可求出其概率．
【详解】解：画树状图如图：
共有16种等可能的结果数；
（2）由树状图得：共有16种等可能的结果数，两次取出的小球标号相同的结果有4个，
∴两次取出的小球标号相同的概率为 ；
（3）如图：
共有16种等可能的结果数两次取出的小球标号的和等于4的有3种，
∴两次取出的小球标号的和等于4的概率为 ．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（1）反比例函数为：一次函数为：（2）（3）或
【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式，
（2）结合两个函数的交点，求出△AOB的面积；
（3）结合两个函数的交点，求出不等式的解集.
【详解】解：（1）把A点坐标（1,4）代入反比例函数，
得k=4，所以反比例函数为，
把B（-4，n）代入，得n=-1.
把A（1,4）、B（-4，-1）代入，
得，解得：，
所以一次函数为.
（2）一次函数与y轴的交点坐标为（0,3），
（3）结合图象，使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围是或
22．(1)
(2)四边形ABCD能成为菱形，
【分析】本题主要考查矩形的性质，菱形的性质，一元一次方程的应用
（1）根据矩形的性质可得，进而列方程，解方程可求解；
（2）根据菱形的性质可得，进而列方程，解方程可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，，则，
若四边形是矩形，则，
，
解得，
故当时，四边形是矩形；
（2）如图
由题意得，，则，
∴，，，
显然若要使四边形为菱形，只需保证，
，
解得，
故当时，四边形为菱形．
即四边形ABCD能成为菱形，此时．